1、设集合 Mx|1，Nx|lgx0，则 M（RN）（ ） A B （1，1） C （1，+） D （，1） 2 （5 分）已知复数 z 满足|zi|2（i 是虚数单位） ，则|z|的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 3 （5 分）已知 a6，blog22，c1.22，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 4 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，直线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b” 是“”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 5 （5 分）已知 （2，6） ， （3，1） ，则向量 + 在 方向上
2、的投影为（ ） A6 B C D 6 （5 分）已知 （0，） ，2sin+cos1，则（ ） A B C7 D 7 （5 分）已知函数 f（x）ax2xa+2，若 ylnf（x）在（，+）为增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B1，2） C1，2 D （，2 8 （5 分） “岂曰无衣，与子同袍” ， “山川异域，风月同天” 自新冠肺炎疫情爆发以来，全 国各省争相施援湖北截至 3 月初，山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击 新型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组， 负责三个不同病房的医疗工作
3、， 则不同的安排方案共有 （ ） A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 9 （5 分）点 P 的坐标（x，y）满足，若直线 l：x+2y+z0 经过点 P，则实 第 2 页（共 26 页） 数 z 的最大值为（ ） A3 B5 C9 D11 10 （5 分）如图，F1，F2是双曲线 l：1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1 的直线与双曲线左、 右两支分别交于点 P， Q 若5，M 为 PQ 的中点，且 ，则双曲线的离心率为（ ） A B C D2 11 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBCCAAA12，则三棱 柱 ABCA1B1C1的外接
4、球的体积与三棱柱的体积之比为（ ） A B C D 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标为，下面 4 个有关函数 f（x）的结论： 函数 yf（x+）的图象关于原点对称； 在区间，上，f（x）的最大值为； x是 f（x）的一条对称轴； 将 f（x）的图象向左平移个单位，得到 g（x）的图象，若 A，B，C 为两个函数图 象的交点，则ABC 面积的最小值为 其中正确的结论个数为（ ） A1 B2 C3 D4 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）一组样本数
5、据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21， 则 ab 第 3 页（共 26 页） 14 （5 分）2019 国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七 局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜） ，已知每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五 局比赛甲 3：2 领先，则甲获得冠军的概率是 15 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，asinBbcosA，且 a 2若 D，E 分别为边 BC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心，则GDE 面积的最大 值为 16 （5 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
6、F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直 线与抛物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足2n（nN*） ，求数列b
7、n的前 n 项和 Tn 18 （12 分）如图 1，在ABC 中，ABBC2，ABC，D 为 AC 的中点， 将ABD 沿 BD 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 PBCD，二面角 PBDC 为直二面 角 （1）求证：平面 PBC平面 PBD； （2）设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，求二面角 CDEF 的余弦值 19 （12 分）我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据 显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如 图）为了了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部
8、门 按年龄分为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如 第 4 页（共 26 页） 表： 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38 39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为 y，求样本数据的线性回归直线方程， 并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数 （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫
9、妻中任选 2 对 夫妻设其中不愿意生育二孩的夫妻数为 X，求 X 的分布列和数学期望 （参考数据和公式： r， ， ，（xi） （yi ） xiyiyi，xiyi26340，473.96 ） 20 （12 分）已知原点 O 到动直线 l 的距离为 2，点 P 到 A（1，0） ，B（1，0）的距离分 别与 A，B 到直线 l 的距离相等 （1）证明|PA|+|PB|为定值，并求点 P 的轨迹方程； （2）是否存在过点（0，3）的直线 l，与 P 点的轨迹交于 M，N 两点，Q 为线段 MN 的中点，且|MN|2AQ？若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21 （12 分）已知函
10、数 f（x）e2xax21（xR） （1）设 g（x）f（x）xf（x） ，当 a1 时，求函数 g（x）的单调减区间及极大值； （2）设函数 yf（x）有两个极值点 x1，x2， 第 5 页（共 26 页） 求实数 a 的取值范围； 求证：ae+ae2ee （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） ，以坐标原点 O 为极点，x 轴
11、的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 22sin （+）+10 （1）求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； （2）设直线 （R）与曲线 C 交于 A，B 两点（A 点在 B 点左边）与直线 l 交于 点 M求|AM|和|BM|的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23已知函数 f（x）|xa|+|x+3| （1）若 a1，解不等式 f（x）3x； （2）若对任意 a，xR，求证：f（x）2|a+1| 第 6 页（共 26 页） 2020 年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答
12、案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）设集合 Mx|1，Nx|lgx0，则 M（RN）（ ） A B （1，1） C （1，+） D （，1） 【分析】首先解不等式得 Mx|x1 或 x1和RNx|x1，再由集合运算求出 结果 【解答】解：由1，解得 x1 或 x1，Mx|x1 或 x1 由 lgx0，解得 x1，Nx|x1，RNx|x1 MRNx|x1， 故选：D 【点评】本题考查的知识点是集合的交
13、集，补集运算，集合的解法及应用，难度不大， 属于基础题 2 （5 分）已知复数 z 满足|zi|2（i 是虚数单位） ，则|z|的最大值为（ ） A2 B3 C4 D5 【分析】利用复数的模的几何意义求解，利用数形结合法得到当点 Z 的坐标为（0，3） 时，|z|的值最大，从而|z|的最大值为 3 【解答】解：由复数的模的几何意义可知，复数 z 在复平面内对应的点 Z 对应的轨迹为： 以（0，1）为圆心，以 2 为半径的圆的内部（包括圆周） ，而|z|表示点 Z 到点（0，0）的 距离，如图所示， ，当点 Z 的坐标为（0，3）时，|z|的值最大， 所以|z|的最大值为 3， 故选：B 第 7
14、 页（共 26 页） 【点评】本题主要考查了复数的模的几何意义，是基础题 3 （5 分）已知 a6，blog22，c1.22，则 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Bacb Cabc Dbac 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：，c1.221.44， 又， abc， 故选：C 【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 4 （5 分）已知 ， 是两个不同的平面，直线 a，b 满足 a，b，则“a 且 b” 是“”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】
15、由 a，b，利用面面平行的性质定理可得：a 且 b，反之不成 立，即可判断出关系 【解答】解：a，b，a 且 b，反之不成立， 与 可能相交 第 8 页（共 26 页） a 且 b”是“”成立的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了面面平行的性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 5 （5 分）已知 （2，6） ， （3，1） ，则向量 + 在 方向上的投影为（ ） A6 B C D 【分析】根据平面向量 + 在 方向上的投影的定义，计算即可 （ 【解答】解：由 （2，6） ， （3，1） ， 所以 + （5，5） ， 所以（ + ） 535110， | |
16、， 所以向量 + 在 方向上的投影为 故选：D 【点评】本题考查了平面向量投影的定义与计算问题，是基础题 6 （5 分）已知 （0，） ，2sin+cos1，则（ ） A B C7 D 【分析】由已知可得 cos12sin，利用同角三角函数基本关系式可求 sin，cos 的 值，进而利用二倍角公式可求 sin2，cos2 的值，即可求解的值 【解答】解：（0，） ，2sin+cos1，即 cos12sin， sin2+（12sin）21，解得 sin，cos， sin22sincos，cos212sin2 第 9 页（共 26 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍
17、角公式在三角函数化简求值中 的应用，考查了转化思想，属于基础题 7 （5 分）已知函数 f（x）ax2xa+2，若 ylnf（x）在（，+）为增函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A1，+） B1，2） C1，2 D （，2 【分析】利用复合函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可 【解答】解：因为 ylnf（x）在（，+）为增函数，所以 f（x）ax2xa+2，在 （，+）为增函数，并且 f（x）0， 可得，解得 1a2 故选：C 【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，列出不等式是解题的关键，注意导数函数 的定义域 8 （5 分） “岂曰无衣，与子同袍” ， “山川异域，风月同天” 自新
18、冠肺炎疫情爆发以来，全 国各省争相施援湖北截至 3 月初，山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击 新型冠状病毒感染的肺炎疫情某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、2 人、 2 人分成了三个小组， 负责三个不同病房的医疗工作， 则不同的安排方案共有 （ ） A105 种 B210 种 C630 种 D1260 种 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组， 将分好的三组全排列，对应三个不同病房，由分步计算原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： 先将 7 人按照 3 人、2 人、2 人分成三个小组，
19、有105 种分组方法， 将分好的三组全排列，对应三个不同病房，有 A336 种情况， 则有 1056630 种安排方案； 故选：C 第 10 页（共 26 页） 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 9 （5 分）点 P 的坐标（x，y）满足，若直线 l：x+2y+z0 经过点 P，则实 数 z 的最大值为（ ） A3 B5 C9 D11 【分析】由约束条件画出可行域，再把目标函数平移，找出最优解，代入求最大值 【解答】解：根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域 ABC，直线 L 的方程 x+2y+z0 可化为 yxz，当直线 L 在 y 轴上的截
20、距最小时，实数 z 取得 最大值，在图中作出直线 yx 并平移，使它与图中阴影区域有公共点，且在 y 轴上 的截距最小， 由图可知， 当直线过 A 点时， 截距最小， 由， 求得 A （， ） ， 代入到 x+2y+z0 中，解得 z5，即 zmax5 故选：B 【点评】本题考查线性规划问题，由线性约束条件，目标函数求最大值，属于基础题 10 （5 分）如图，F1，F2是双曲线 l：1（a0，b0）的左、右焦点，过 F1 的直线与双曲线左、 右两支分别交于点 P， Q 若5，M 为 PQ 的中点，且 ，则双曲线的离心率为（ ） 第 11 页（共 26 页） A B C D2 【分析】连接 F2
21、P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t，由题意可得|F2P| t+2a，|F2Q|5t2a，在直角三角形 PMF2中，cosMPF2， 所以在三角形 P1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2，所以可得 2c27a2，求出离心率 e 【解答】解：连接 F2P，F2Q，设|F1P|t，则由题意可得|PM|MQ|2t， 因为 P，Q 为双曲线的点，所以|F2P|t+2a，|F2Q|5t2a， 因为 M 为 PQ 的中点，且， 所以|F2P|F2Q|，所以 t+2a5t2a，所以 ta， 所以|F1P|a，|PM|MQ|2a，|F2P|F2Q|3a， 在直角三角形 PMF2中，
22、cosMPF2， 所以在三角形 PF1F2中，由余弦定理可得 cosF1PF2， 所以可得 2c27a2，即 e， 故选：A 【点评】本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题 11 （5 分）在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，ABBCCAAA12，则三棱 第 12 页（共 26 页） 柱 ABCA1B1C1的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，求出其外接球的半径，然后分别求出多面体的体积及其外接 球的体积，作比得答案 【解答】解：如图，N，M 分别为三棱柱上、下底面的中心，O 为 MN 的中点，
23、连接 OC1，NC1，则 O 为三棱柱外接球的球心，OC1为外接球的半径， 在直角三角形 ONC1中，求得 ON1， ， 又 故选：C 【点评】本题考查多面体体积及其外接球的体积的求法，考查计算能力，是中档题 12 （5 分）已知函数 f（x）2sin（x+） （0，|）的图象与 x 轴的两个相邻交 点的横坐标为，下面 4 个有关函数 f（x）的结论： 函数 yf（x+）的图象关于原点对称； 在区间，上，f（x）的最大值为； x是 f（x）的一条对称轴； 将 f（x）的图象向左平移个单位，得到 g（x）的图象，若 A，B，C 为两个函数图 象的交点，则ABC 面积的最小值为 其中正确的结论个数
24、为（ ） 第 13 页（共 26 页） A1 B2 C3 D4 【分析】由题意求出函数 f（x）的解析式，再判断题目中的命题是否正确即可 【解答】解：由题意知，T2（），所以 2， 把点（，0）代入 f（x）2sin（2x+）中，得+k，kZ； 又|，所以 ，所以 f（x）2sin（2x） ； 对于，函数 yf（x+）2sin2（x+）2sin（2x+） ，不是奇函数， 其图象不关于原点对称，所以错误； 对于，当 x，时，2x，由正弦函数的单调性知， f（x）f（）2sin，即 f（x）的最大值为，正确； 对于，由 2x+k，kZ，得 f（x）图象的对称轴方程为 x+，kZ； 所以 x不是 f
25、（x）图象的一条对称轴，错误； 对于，将 f（x）的图象向左平移个单位， 得 g（x）f（x+）2sin2（x+）2cos（2x）的图象， 由 2sin（2x）2cos（2x） ，得 2xk+，kZ； 解得 x+，kZ；相邻两个交点的横坐标之差为， 将 x+，kZ 代入 f（x）2sin（2x） ，得到交点的纵坐标为； 所以ABC 面积的最小值为2，正确； 综上知，其中正确的结论序号是，共 2 个 故选：B 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的判断问题， 是综合题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分
26、13 （5 分）一组样本数据 10，23，12，5，9，a，21，b，22 的平均数为 16，中位数为 21， 则 ab 0 【分析】由数据的平均数为 16，可得 a+b42，又数据的中位数为 21，所以 a21，b 第 14 页（共 26 页） 21，所以 ab21，进而 ab0 【解答】解：数据的平均数为 16， 10+23+12+5+9+a+21+b+22169144， a+b42， 591012212223，且数据的中位数为 21， a21，b21， ab21， ab0， 故答案为：0 【点评】本题主要考查了样本的数字特征，是基础题 14 （5 分）2019 国际乒联世界巡回赛男子单打
27、决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七 局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜） ，已知每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五 局比赛甲 3：2 领先，则甲获得冠军的概率是 【分析】甲以 4：2 夺冠的概率为，甲以 4：3 夺冠的概率为，由此能求出甲 获得冠军的概率 【解答】解：每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五局比赛甲 3：2 领先， 甲以 4：2 夺冠的概率为，甲以 4：3 夺冠的概率为， 甲获得冠军的概率是 P 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 15 （5 分）已知 a，b，c 分别为ABC 三个内
28、角 A，B，C 的对边，asinBbcosA，且 a 2若 D，E 分别为边 BC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心，则GDE 面积的最大 值为 【分析】 由正弦定理求出 A 的值， 再由余弦定理和基本不等式求得ABC 面积的最大值， 利用平面几何的求得GDE 面积的最大值 【解答】解：ABC 中，asinBbcosA， 第 15 页（共 26 页） 由正弦定理得，sinAsinBsinBcosA； 又 sinB0，所以 sinAcosA， 所以 tanA； 又 A（0，） ，所以 A； 由余弦定理得，a2b2+c22bccosA， 由 a2，则 4b2+c22bccosb2+c2bc2
29、bcbcbc， 所以ABC 的面积为 SABCbcsinAbc； 又 D，E 分别为边 BC，AB 的中点，且 G 为ABC 的重心， 由平面几何知识可得GDE 的面积为 SGDESABC 所以GDE 面积的最大值为 故答案为： 【点评】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积计算问题， 是中档题 16 （5 分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，F 是抛物线 C：y2x 的焦点，过 F 的直 线与抛物线交于 A，B 两点若|AB|2，则OAB 的面积为 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标，设过焦点 F 的方程，与抛物线的方程联立求出 两根之和，由抛物线的性质可得弦长|AB
30、|，由题意可得参数，求出直线 AB 的方程，进而 求出 O 到直线的距离，代入面积公式求出面积的值 【解答】解：由抛物线 C：y2x 的方程可得焦点 F（，0） ，p， 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，y10， 显然直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：xmy+， 与抛物线方程联立整理可得 y2my0，y1+y2m，y1y2， 所以 x1+x2m（y1+y2）+m2+ 由抛物线的性质可得|AB|x1+x2+pm2+1， 第 16 页（共 26 页） 由题意|AB|2，所以 m2+12，解得 m1， 所以 O 到直线 AB 的距离 d， 所以 SOAB|AB|d 故答案
31、为： 【点评】本题考查抛物线的性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题， 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证朋过程或演算步解答应写出文字说明、证朋过程或演算步骤骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 毎个试题考生都必须作答毎个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 Sn+2an2（nN+） （1）求数列an的通项公式； （2）若数列bn满足2n（nN*） ，求数列bn的前 n 项和 Tn
32、【分析】 （1）由 Sn+2an2（nN+） ，可得 n2 时，Sn1+2an12，相减可得：anan 1n1 时，a1+2a12，解得 a1利用等比数列的通项公式即可得出 an （2）由数列bn满足2n（nN*） ，bn2n设数列n的前 n 项和 为 An利用错位相减法即可得出，进而得出 Tn 【解答】解： （1）Sn+2an2（nN+） ，n2 时，Sn1+2an12，相减可得：an+2an 2an10，anan1， n1 时，a1+2a12，解得 a1 数列an是等比数列，首项与公比都为 an （2）由数列bn满足2n（nN*） ， bn2n 第 17 页（共 26 页） 设数列n的前
33、n 项和为 An 则 An+2+3+n， An+2+（n1） +n， 相减可得：An+nn ， 可得：An6（9+3n） ， 数列bn的前 n 项和 Tn124（3+n） 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式与求和公式、错位相减法，考查 了推理能力与计算能力，属于中档题 18 （12 分）如图 1，在ABC 中，ABBC2，ABC，D 为 AC 的中点， 将ABD 沿 BD 折起，得到如图 2 所示的三棱锥 PBCD，二面角 PBDC 为直二面 角 （1）求证：平面 PBC平面 PBD； （2）设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，求二面角 CDEF 的余弦值 【分析】 （1）推
34、导出 AC2，CD，BD1，从而 BCBD，再由平面 BCD平 面 PBD，得 BC平面 PBD，由此能证明平面 PBC平面 PBD （2）以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，BD 为 y 轴，过点 B 作垂直于平面 BDC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CDEF 的余弦值 【解答】解： （1）证明：在ABC 中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC20， AC2， D 为 AC 的中点，CD， 第 18 页（共 26 页） ，（）21，BD1， BD2+BC2CD2，BCBD， 二面角 PBDC 为直二面角，平面 BCD平面 PBD， BC平面 PBD
35、， BC平面 PBC，平面 PBC平面 PBD （2）解：以 B 为坐标原点，BC 为 x 轴，BD 为 y 轴，过点 B 作垂直于平面 BDC 的垂线 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0） ，C（2，0，0） ，D（0，1，0） ，P（0，2，2） ， 设 E，F 分别为 PC，BC 的中点，E（1，1，1） ，F（1，0，0） ， （2，1，0） ，（1，0，1） ，（1，1，0） ， 设平面 CDE 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，2，1） ， 设平面 DEF 的法向量 （a，b，c） ， 则，取 a1，得 （1，1，1） ， 设二面角 CDEF
36、的平面角为 ， 则 cos 二面角 CDEF 的余弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）我国全面二孩政策已于 2016 年 1 月 1 日起正式实施国家统计局发布的数据 第 19 页（共 26 页） 显示，从 2012 年到 2017 年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在 5上下波动（如 图）为了了解年龄介于 24 岁至 50 岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门 按年龄分为 9 组，每组选取 150 对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到如 表：
37、 年龄区 间 24，26 27，29 30，32 33，35 36，38 39，41 42，44 45，47 48，50 有意愿 数 80 81 87 88 84 83 83 70 66 （1）设每个年龄区间的中间值为 x，有意愿数为 y，求样本数据的线性回归直线方程， 并求该模型的相关系数 r（结果保留两位小数 （2）从24，26，33，35，39，41，45，47，48，50这五个年龄段中各选出一对 夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这 5 对夫妻中任选 2 对 夫妻设其中不愿意生育二孩的夫妻数为 X，求 X 的分布列和数学期望 （参考数据和公式： r， ， ，（xi
38、） （yi ） xiyiyi，xiyi26340，473.96 ） 【分析】 （1）根据图中数据代入线性回归方程公式和相关系数公式求出结果即可； （2）根据题意，在24，26，33，35，39，41这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生 育二孩的意愿，在45，47，48，50这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的 意愿， 所以从 5 对夫妻中任选 2 对，其中不愿意生育二孩的夫妻数 X0，1，2，再求出 X 的概 第 20 页（共 26 页） 率和分布列，求出数学期望即可 【解答】解： （1）根据题意可得，37， ，xiyi26340， （xi） （yi ）xiyiyi26340377203
39、00， 又， 所以（xi）2 （yi ）2540416224640， 所以 ， 80+37100.56， 故线性回归方程为：y， 相关系数 r0.63； （2）根据题意，在24，26，33，35，39，41这三个年龄段中，超过半数的夫妻由生 育二孩的意愿， 在45，47，48，50这两个年龄段中，超过半数的夫妻没有生育二孩的意愿， 所以从 5 对夫妻中任选 2 对，其中不愿意生育二孩的夫妻数 X0，1，2， 其中， X 的分布列如下： X 0 1 2 P 0.3 0.6 0.1 EX00.3+10.6+20.10.8 第 21 页（共 26 页） 【点评】本题考查了求线性回归方程和相关系数，考
40、查了超几何分布求分布列和数学期 望，考查运算能力和实际应用能力，中档题 20 （12 分）已知原点 O 到动直线 l 的距离为 2，点 P 到 A（1，0） ，B（1，0）的距离分 别与 A，B 到直线 l 的距离相等 （1）证明|PA|+|PB|为定值，并求点 P 的轨迹方程； （2）是否存在过点（0，3）的直线 l，与 P 点的轨迹交于 M，N 两点，Q 为线段 MN 的中点，且|MN|2AQ？若存在，请求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【分析】 （1）设 A，B，O 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d运用中位线定理和椭圆的定 义，可得所求轨迹方程； （2）假设直线 l存在
41、，当 l的斜率不存在时，设 l：ykx3，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得所求直线方程 【解答】解： （1）证明：设 A，B，O 到直线 l 的距离分别为 d1，d2，d 由已知可得|PA|d1，|PB|d2，又因为 O 为 AB 的中点， 所以|PA|+|PB|d1+d22d4|AB|2，所以由椭圆的定义可得 P 的轨迹为中心在原点， 以 A，B 为焦点的椭圆所以 2a4，c1，则 b2a2c23， 所以 P 的轨迹方程为+1； （2）假设直线 l存在，当 l的斜率不存在时，显然|MN|2|AQ|不成立 所以设 l：yk
42、x3，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，联立椭圆方程可得（3+4k2）x224kx+24 0， 由（24k） 2424（3+4k2）0，解得 k 或 k，又 x1+x2， x1x2， 由|MN|2|AQ|，可得|2|2|（+）|+|， 所以|2 2+2+2 ，AM2+AN2MN222|AM|AN|cosMAN， 可得0， 所以（x1+1） （x2+1）+y1y20，所以（1+k2）x1x2+（13k） （x1+x2）+10 第 22 页（共 26 页） 0， 解得 k或 k，因为，且， 所以存在直线 l满足条件，直线 l的方程为 yx3 或 yx3 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查
43、直线和椭圆的位置关系，注意运用韦达定理 和向量数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）e2xax21（xR） （1）设 g（x）f（x）xf（x） ，当 a1 时，求函数 g（x）的单调减区间及极大值； （2）设函数 yf（x）有两个极值点 x1，x2， 求实数 a 的取值范围； 求证：ae+ae2ee 【分析】 （1）根据题意可得 g（x）（12x）e2x+ax21，所以当 a1 时，g（x）（1 2x）e2x+x21，对其求导，进而分析函数的单调递减区间，及极值 （2）根据题意问题可以转化为方程 f（x）2e2x2ax0，有两个不等实根，显然 a
44、0 时，方程无根，所以 a0，有两个根，求导，分析单调性，及函数取值， 即可得到答案 不妨设 x1x2，由知 0x1x2，且有，题目不等式可转化为证明 x1+x22x1x2， 所以即证 2 （x2x1） （x2+x1） 2x1x2（lnx2lnx1） ， 即证， 即证，设 t（t1） ，即证当 t1 时成立，求导 数，分析单调性，即可得出答案 【解答】解： （1）因为 f（x）2e2x2ax， 所以 g（x）e2xax212xe2x+2ax2（12x）e2x+ax21， 所以当 a1 时，g（x）（12x）e2x+x21， 所以 g（x）2x（12e2x） ， 令 g（x）0，解得 x10，x20， 第 23 页（共 26 页） 当 x（，）时，g（x）0，g（x）为单调递减函数， 当 x（，0）时，g（x）0，g（x）为单调递增函数， 当 x（0，+）时，g（x）0，g（x）为单调递减函数， 所以函数 g（x）单调递减区间为（，）
