1、2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x1 或 x10 ，Bx|2x3，xZ ，则（ RA）B（ ）A 1，2 B2，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，22 （5 分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）Ayx 3x Bye |x| Cy|lnx | Dy sin x3 （5 分）已知复数 z 满足 2+i（i 为虚数单位） ，则 z（ ）A2+ i B2i C2+i D2i4 （5 分）某
2、人连续投篮 6 次，其中 3 次命中，3 次未命中则他第 1 次、第 2 次两次均未命中的概率是（ ）A B C D5 （5 分）已知直线 l：4x 3y+60 和抛物线 C：y 24x，P 为 C 上的一点，且 P 到直线l 的距离与 P 到 C 的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个6 （5 分）已知函数 f（x ）sin2x+sin （2x+ ） ，将其图象向左平移 （0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A B C D7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ &nbs
3、p;）A B C D8 （5 分）我们知道欧拉数 e27182818284，它的近似值可以通开始过执行如图所示的第 2 页（共 25 页）程序框图计算当输入 i50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（ ）A （ ） 52 B （ ） 51 C （ ） 50 D （ ） 499 （5 分）在正三角形 ABC 中，AB2， ， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则 （ ）A B C D10 （5 分） （2x3y ） n（nN *）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x 2y） n 展开式中各项的二项式系数之和等于（ ）A16 B3
4、2 C64 D12811 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若ABC 的面积为（a 2+c2b 2） ，周长为 6，则 b 的最小值是（ ）A2 B C3 D12 （5 分）设函数 f（x ） （a R） ，若曲线 ycosx+2 上存在点（x 0，y 0）使得 f（f（y 0） ） y0，则 a 的取值范围是（ ）Aln36，0 B ln36，ln22C2ln212，0 D2ln 212，ln 22第 3 页（共 25 页）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知 sin3cos0，则 sin2
5、 14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高 ”乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 名15 （5 分）若双曲线 E： 1（a，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为 E 右支上一点，|PF 1| F1F2|， PF1F230，PF 1F2 的面积为 2，则 a 16 （5 分）已知空间直角坐标系中的四个点 A（4，1，1） ，B（4，2，1） ，
6、C（2，2，1） ，D（2，1，1） 经过 A，B，C，D 四点的球记作球 M从球M 内部任取一点 P，则点 P 落在三棱锥 ABCD 内部的概率是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）在等差数列a n和等比数列b n中，a 20，b 21，且 a3b 3，a 4b 4（1）求 an 和 bn；（2）求数列nb n的前 n 项和 Sn18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面
7、 ABCD 为菱形，且DAB60，平面PAB平面 ABCD，点 E 为 BC 中点，点 F 满足 ，APPB AB （1）求证：PC平面 DEF；（2）求二面角 FDEB 的余弦值19 （12 分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解第 4 页（共 25 页）该校学生解答该选做题的得分情况，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以
8、方框内的数字 5 为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为 008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层，且样本中 A题目的成绩有 8 个，平均数为 7，方差为 4；样本中 B 题目的成绩有 2 个，平均数为8，方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 Q（ ， ） ，椭圆上的动点 P与其短轴两端点连线斜率乘积为 （1）求椭圆 E 的方程；（2）设 F1，F
9、2 分别为 E 的左、右焦点，直线 l 过点 F1 且与 E 相交于 A，B 两点，当 2 时，求ABF 2 的面积21 （12 分）已知函数 f（x ）（kx1）e xk（x1） （1）若 f（x）在 xx 0 处的切线斜率与 k 无关求 x0；（2）若 xR，使得 f（x ）0 成立，求整数 k 的最大值(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：cos ，P 为直线 l 上一点，且点 P 在
10、极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，且 OPQ 面积为 （1）求 Q 点的极坐标；第 5 页（共 25 页）（2）求OPQ 外接圆的极坐标方程，并判断直线 l 与OPQ 外接圆的位置关系选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1|2| x1|+a（1）当 a0 时，解不等式 f（x ）0；（2）若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf（x）的图象下方，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给
11、出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知集合 Ax| x1 或 x10 ，Bx|2x3，xZ ，则（ RA）B（ ）A 1，2 B2，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，2【分析】可解出集合 B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：B1，0，1 ，2 ， RAx|1x10；（ RA）B1，0，1，2故选：D【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算2 （5 分）下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是（ ）Ayx 3x Bye |x| Cy|lnx | Dy sin x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得
12、答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，yx 3x，有 f（x）f（x） ，为奇函数，对于 B，ye |x|，有 f（x ） f（x） ，为偶函数，对于 C，y|lnx|，其定义域为（0，+） ，不关于原点对称，既不是奇函数，又不是偶函数；对于 D，ysinx ，为正弦函数，是奇函数；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题3 （5 分）已知复数 z 满足 2+i（i 为虚数单位） ，则 z（ ）A2+ i B2i C2+i D2i【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 2+i
13、，得 1+z（1z） （2+i）2+i+2zzi ，第 7 页（共 25 页）z 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题4 （5 分）某人连续投篮 6 次，其中 3 次命中，3 次未命中则他第 1 次、第 2 次两次均未命中的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n 20，他第 1 次、第 2 次两次均未命中包含的基本事件个数 m 4，由此能求出他第 1 次、第 2 次两次均未命中的概率【解答】解：某人连续投篮 6 次，其中 3 次命中，3 次未命中基本事件总数 n 20，他第 1 次、第 2 次两次均未命中包含的基本事件个数 m 4，他第 1 次、第
14、2 次两次均未命中的概率是 p 故选：D【点评】本题考查概率的求法，考查古典型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5 （5 分）已知直线 l：4x 3y+60 和抛物线 C：y 24x，P 为 C 上的一点，且 P 到直线l 的距离与 P 到 C 的焦点距离相等，那么这样的点 P 有（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D无数个【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出焦点到直线 4x3y+60 的距离，利用数形结合判断求解即可【解答】解：抛物线 C：y 24x 的焦点坐标（1，0） ， （1，0）到直线 4x3y+60 的距离为： 2，与抛物线的焦点坐标到准线的距离相等，所以
15、由题意可知：如图：第 8 页（共 25 页）直线 PF 与抛物线一定有两个交点故选：C【点评】本题求抛物线上的动点到两条定直线的距离之和的最小值着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的简单几何性质等知识，属于中档题6 （5 分）已知函数 f（x ）sin2x+sin （2x+ ） ，将其图象向左平移 （0）个单位长度之后得到的函数为偶函数，则 的最小值是（ ）A B C D【分析】利用两角和差的三角公式化简 f（x ）的解析式，利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律求得 g（x）的解析式，再根据三角函数的图象的对称性，求得 的最小值【解答】解：函数 f（x ）sin2x+sin
16、（2x+ ）sin2x+ sin2x+ cos2x sin（2x+） ，将其图象向左平移 （0）个单位长度之后，得到 y sin（2x+2+ ）的图象得到的函数为偶函数，则 2+ k + ，k Z，故 的最小值为 ，故选：B【点评】本题主要考查两角和差的三角公式，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题7 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）第 9 页（共 25 页）A B C D【分析】根据三视图知该几何体是一正方体，截去一个三棱柱和一个三棱锥剩余部分，结合图中数据求出它的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是一正方体，
17、截去一个三棱柱和一个三棱锥，如图粗线部分结合图中数据，计算该几何体的体积是 V2 3 212 212 故选：D【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题，是基础题8 （5 分）我们知道欧拉数 e27182818284，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算当输入 i50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（ ）第 10 页（共 25 页）A （ ） 52 B （ ） 51 C （ ） 50 D （ ） 49【分析】根据条件得到临界值，当 n49 时，e 的取值，然后验证当 n50，51 时是否满足，从而确定此时对应的 m 和 k 的值即可得到结论【解答】
18、解：当 n49 时，n50 不成立，则 n50，此时 m49，k51，此时 e（） 50，当 n50 时，n50 不成立，则 n51，此时 m50，k 52，此时 e（ ） 51，当 n51 时，n50 成立，程序终止，输出 e（ ） 51，故 e 的近似值为（ ） 51，故选：B【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n49 寻找对应规律是解决本题的关键9 （5 分）在正三角形 ABC 中，AB2， ， ，且 AD 与 BE 相交于点 O，则 （ ）A B C D第 11 页（共 25 页）【分析】本题主要是根据题意将 用设成的基底向量 表示出
19、来，然后通过基底向量来进行向量之间的运算【解答】解：由题意，画图如下：设 ， 可得方程组：，解得： ， 故选：B【点评】本题主要考查基底向量的建立以及如何用基底向量来表示所求向量，如何表示是本题的难点，本题是一道较难的中档题10 （5 分） （2x3y ） n（nN *）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，则（3x 2y） n 展开式中各项的二项式系数之和等于（ ）A16 B32 C64 D128【分析】由题意可得 2n1 （3） 22（3） n2 ，检验可得，n4，从第 12 页（共 25 页）而求得（3x2y ） n 展开式中各项的二项式系数之和 2n 的值【解答
20、】解：（2x3y ） n（nN *）的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数， 2n1 （3） 22（3） n2 ，检验可得，n4，则（3x2y） n 展开式中各项的二项式系数之和等于 2n16，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11 （5 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ，若ABC 的面积为（a 2+c2b 2） ，周长为 6，则 b 的最小值是（ ）A2 B C3 D【分析】先根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出 B ，再根据余弦定理结合基本不等式即可求出 b 的最小值【解答】解：
21、ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，ABC 的面积为（a 2+c2b 2） ，则 SABC acsinB （a 2+c2b 2） ，sinB cosB，tanB ，0BB ，a+b+c6，a+c6bb 2a 2+c22ac cosBa 2+c2ac（a+c） 23ac （a+c）23 2 （a+c） 2 （6b） 2，当且仅当 ac 时取等号，b 2+4b120，即（b2） （b+6）0，解得 b2，第 13 页（共 25 页）故 b 的最小值为 2，故选：A【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
22、想，是中档题12 （5 分）设函数 f（x ） （a R） ，若曲线 ycosx+2 上存在点（x 0，y 0）使得 f（f（y 0） ） y0，则 a 的取值范围是（ ）Aln36，0 B ln36，ln22C2ln212，0 D2ln 212，ln 22【分析】根据曲线 ycos x+21，3上存在点（x 0，y 0） ，即 y01，3 ，使得 f（f（y 0） ）y 0，那么函数 f（x） 1，3，即函数 f（x）x 在 x1，3 有解；平方化简即可求解；【解答】解：由题意，根据曲线 ycosx+21，3上存在点（x 0，y 0） ，使得 f（f（y 0） ）y 0，即 y0
23、1，3，下面证明 f（y 0）y 0，假设 f（y 0） Cy 0，则 f（f（y 0） ）f（C）f （y 0） ） Cy 0，不足满 f（f（y 0） ）y 0，同理 f（y 0） Cy 0，不足满 f（f（y 0） ）y 0，f（y 0）y 0，那么函数 f（x） 1，3 ，即函数 f（x）x 在 x1，3 有解；lnx+xax 2即 lnx+xx 2a；x 1，3令 h（x）lnx+ xx 2，则 h（x） +12x ，令 h（x）0，可得 x1 或 x （舍）当 x（0，1 时， h（x ） 0，h（x）在 x（0，1 单调递增；当 x1，3时，h（x）0，h（x）在 x1，3 单调
24、递减；ln36h（x ）0；即 ln36a0；故选：A第 14 页（共 25 页）【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，讨论以及转化思想的应用以及导函数单调性的应用二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）已知 sin3cos0，则 sin2 【分析】由已知求得 tan，再由同角三角函数基本关系式求解【解答】解：由 sin3cos0，得 tan3，则 sin2 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都
25、没有我高 ”乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 2 名【分析】分别讨论三人中一人说的不对，另外 2 人正确，然后进行验证是否满足条件即可【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第 2
26、位，故答案为：2【点评】本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键第 15 页（共 25 页）15 （5 分）若双曲线 E： 1（a，b0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，P 为 E 右支上一点，|PF 1| F1F2|， PF1F230，PF 1F2 的面积为 2，则 a +1 【分析】根据双曲线的定义结合已知条件|PF 1|2c，求出 c，转化求解 P 的坐标，代入双曲线方程，求解即可【解答】解：|PF 1| F1F2|2c，PF 1F230，PF 1F2 的面积为 2，可得解得 c ，P（ 2， ） ，代入双曲线方程可得
27、：， （0a ） ，解得 a 故答案为： 【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，双曲线的定义以及三角形的面积的转化，建立方程是解决本题的关键16 （5 分）已知空间直角坐标系中的四个点 A（4，1，1） ，B（4，2，1） ，C（2，2，1） ，D（2，1，1） 经过 A，B，C，D 四点的球记作球 M从球M 内部任取一点 P，则点 P 落在三棱锥 ABCD 内部的概率是 【分析】由 A，B，C，D 四点的坐标知，BCD 三点在平行于 xoy 坐标面的平面上，且三角形 BCD 是以 C 为直角顶点的直角三角形，故球心在过 BD 中点且垂直于 xoy 坐标面的直线上
28、，设出球心坐标，即可求出球心，然后求出三棱锥的体积及球的体积，可得【解答】解：依题意：BCD 三点在平行于 xoy 坐标面的平面上，且满足 （4+2）2+（21） 1+（1+1 ） 2（4+2 ） 2+（2+2） 2+（1+1） 2+（2+2）2+（21） 2+（1+1 ） 2，即 BD2BC 2+CD2，BCD 是以 C 为直角顶点的直角三角形， BD 中点 E（1， ，1）到BCD 三顶点的距离相等，又 BCD 三点在竖坐标皆为1，故三点在平行于 xoy 坐标面的平面内，所以球心在过 E 且垂直于 xoy 坐标面的直线上，设球心 F 坐标为（1， ，z） ，则DFAF，即 ，得第 16 页
29、（共 25 页）z0，所以球的半径 r ，所以，球的体积 V ，三棱锥 ABCD 是以直角三角形 BCD 为底，高为 2 的三棱锥，其体积V1 6，点 P 落在三棱锥 ABCD 内部的概率是：P 故填： 【点评】本题的突破口为发现三角形 BCD 是直角三角形，且在平行于 xoy 坐标面的平面上，进而分析得到球心位置，并设出球心，本题属于难题三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17 （12 分）在等差数列a n和等比数列b n中，a 20，b 2
30、1，且 a3b 3，a 4b 4（1）求 an 和 bn；（2）求数列nb n的前 n 项和 Sn【分析】 （1）设等差数列a n的公差为 d，等比数列b n的公比为 q，由 a20，b 21，且 a3b 3，a 4b 4a 1+d0，b 1q1，a 1+2db 1q2，a 1+3db 1q3，联立解得：a1，d，b 1，q，利用通项公式即可得出（2）利用错位相减法即可得出【解答】解：（1）设等差数列a n的公差为 d，等比数列 bn的公比为q，a 20，b 21，且 a3b 3，a 4b 4a 1+d0，b 1q1，a 1+2db 1q2，a 1+3db 1q3，联立解得：a 12，d2，b
31、 1 ，q2，a n2+2（n1）2n4，b n2 n2 （2）数列nb n的前 n 项和 Sn +2+32+422+n2n2 ，2S n1+22+32 2+（n1）2 n2 +n2n1 ，第 17 页（共 25 页）S n +1+2+22+2n2 n2 n1 n2 n1 ，化为：S n（n1）2 n1 + 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB60，平面PAB平面 ABCD，点 E 为 BC 中点，点 F 满足 ，APPB AB （1）求证：PC
32、平面 DEF；（2）求二面角 FDEB 的余弦值【分析】 （1）连结 AC，交 DE 于点 G，连结 GF，推导出 GFPC，由此能证明 PC平面 DEF（2）取 AB 的中点为 O，连结 DO，PO ，以 OP，OB，OD 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 FDEB 的余弦值【解答】证明：（1）连结 AC，交 DE 于点 G，连结 GF，底面 ABCD 为菱形，且 E 为 BC 中点， ，F 为 AP 上一点，且满足 ，GFPC，又 GF平面 DEF，PC平面 DEF，PC平面 DEF解：（2）取 AB 的中点为 O，连结 DO，PO ，底面 AB
33、CD 是菱形，且DAB60，DOAB ，平面 PAB平面 ABCD，DO平面 PAB，第 18 页（共 25 页）APPB AB，POAB，以 OP，OB ，OD 所在直线分别为 x，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则 F（ ， ，0） ，B（0，1，0） ，D （0，0， ） ，E （0， ） ， （0， ） ， （ ， ） ，设平面 DEF 的一个法向量 （x，y ，z） ，则 ，取 z ，得 （5，1， ） ，平面 DEB 的一个法向量 （1，0，0） ，设二面角 FDEB 的平面角为 ，则 cos ，二面角 FDEB 的余弦值为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求
34、法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题19 （12 分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字 5 为起点，从左向第 19 页（共 25 页）右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完
35、之后接下一行左端写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为 008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层，且样本中 A题目的成绩有 8 个，平均数为 7，方差为 4；样本中 B 题目的成绩有 2 个，平均数为8，方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差【分析】 （1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以 8 为首项，以 90 为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即（3）记样本中 8 个 A 题目成绩分别为 x1，x 2，x
36、8，2 个 B 题目成绩分别为 y1，y 2，由题意知 ，8432， 16， 212，由此能用样本估计900 名考生选做题得分的平均数，方差【解答】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界） ，935（超界） ，805，770，951（超界） ，512（重复） ，687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，中位数为： （2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以 8 为首项，以 90 为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前 10 项之和，样本中所有编号之
37、和为：第 20 页（共 25 页）S1010 4130（3）记样本中 8 个 A 题目成绩分别为 x1，x 2，x 8，2 个 B 题目成绩分别为 y1，y 2，由题意知 ， 8432，16， 212，样本平均数为： 7.2，样本方差为： 3.56，用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数为 7.2，方差为 3.56【点评】本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）已知椭圆 E： + 1（ab0）过点 Q（ ， ） ，椭圆上的动点 P与其短轴两端点连线斜率乘积为 （1）求椭圆 E 的方程；（2）设 F1，F 2
38、分别为 E 的左、右焦点，直线 l 过点 F1 且与 E 相交于 A，B 两点，当 2 时，求ABF 2 的面积第 21 页（共 25 页）【分析】 （1）根据椭圆上的动点 P 与其短轴两端点连线斜率乘积为 ，以及过点 Q（， ） ，即可得到 a22b 2， + 1，解得即可，（2）设直线 l 的方程为 xmy1，代入到 +y21 可得（ m2+2）y 22my10，根据韦达定理和向量的运算即可求出 m 的值，求出三角形的面积即可【解答】解：（1）设 B1（0，b） ，B 2（0，b） ，P（x ， y） ，则 + 1（ab0） ，由 ，a 22b 2，又 Q 在 E 上 + 1，由解得 a2
39、2，b 21，椭圆 E 的方程为 +y21（2）设直线 l 的方程为 xmy1，代入到 +y21 可得（ m2+2）y 22my10，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，y 1+y2 ，y 1y2 ， （x 11，y 1） （x 21，y 2）（my 12，y 1） （my 22，y 2）（m 2+1）y 1y22m（y 1+y2）+4 ，把代入 得 2，解得 m1，由对称性，不妨取 m1，则 变为 3y22y 10，解得 y1 ，y 21则ABF 2 的面积 S 2（y 1y 2）1+ 【点评】本题考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解
40、决问题的能力，属于中档题21 （12 分）已知函数 f（x ）（kx1）e xk（x1） 第 22 页（共 25 页）（1）若 f（x）在 xx 0 处的切线斜率与 k 无关求 x0；（2）若 xR，使得 f（x ）0 成立，求整数 k 的最大值【分析】 （1）由已知求得 f （x ）k（x+1）e x1 e x，得到 ，令g（x）（x+1）e x1，利用导数研究其单调性，结合函数零点的判定可得 g（x）有唯一零点，且 x00；（2）由 f（x） 0，即（kx 1）e xk（x1）0，得到 k（xe xx+1）e x，即 k，h（x） ，利用导数求其最大值的取值范围，可得整数 k 的最大值为
41、1【解答】解：（1）f（x ）（kx1）e xk（x1） ，f（x）（ kx+k1）e x kk（x+1）e x1 e x，由已知得， ，令 g（x）（x +1）e x1，则 g（x）（x +2）e x，当 x（， 2）时，g（x）0，g（x）单调递减，x2，x+11，则（x +1）e x10，因此 g（x）0；当 x（2，+）时，g（x）0，g（x）单调递增，又 g（0）0，g（x）有唯一零点，故 x00；（2）f（x） 0，即（kx1） exk（x1）0，k（xe xx+1）e x，当 x0 时，e x10，x（e x1）+10，当 x0 时，e x10，x（e x1）+10，x（e x1
42、）+10，则 k（xe xx+1）e xk 设 h（x） ，则 kh（x ） max又 h（x） ，令 （x）2e xx，则 （x） e x10，（x）在 R 上单调递减，第 23 页（共 25 页）又 （0）0，（1）0， x0（0，1） ，使得 （x 0）0，即 ，当 x（， x0）时，（x）0，即 h（x）0，h（ x）单调递增，当 x（x 0，+）时， （x ）0，即 h（x ）0，h（ x）单调递减，h（x） max 令 tx 02（ 2t1） ，则 yt + （ ） ，则 h（x） max（1，2） ，故整数 k 的最大值为 1【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，
43、考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：cos ，P 为直线 l 上一点，且点 P 在极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，且 OPQ 面积为 （1）求 Q 点的极坐标；（2）求OPQ 外接圆的极坐标方程，并判断直线 l 与OPQ 外接圆的位置关系【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转
44、换（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【解答】解：（1）直线 l：cos ，以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，设 P（ ，） ，由且OPQ 面积为 则： ，由于OPQ 为正三角形，所以：OQ 的极角为且|PO |OQ| 2，第 24 页（共 25 页）所以：Q（2， ） （2）由于OPQ 为正三角形，得到其外接圆的直径 ，设 M（ ，）为 OPQ 外接圆上任意一点在 Rt OMR 中，cos（ ） ，所以：M（ ， ）满足 故：OPQ 的外接圆方程 ，直线 l：x ，：OPQ 的外接圆直角坐标方程为 圆心到直线的距离 d ，即为半径，故直线与圆相外切【点评】本题考查的
45、知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1|2| x1|+a（1）当 a0 时，解不等式 f（x ）0；（2）若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf（x）的图象下方，求 a 的取值范围【分析】 （1）a0 时，将不等式移项平方分解因式可解得；（2）根据题意，只需要考虑 x1 时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛物线的位置关系做【解答】解：（1）当 a0 时，不等式 f（x ）0 化为：|x+1| 2|x1|0，移项得|x+1| 2|x 1| ，平方分解因式得（3x1） （x3）0，解得 x3解集为x| x3第 25 页（共 25 页）（2）化简得 f（x ） ，根据题意，只需要考虑 x1 时，两函数的图象位置关系，当 x1 时，f（ x）x+3+a，由 yx 2+8x14 得 y2x+8，设二次函数与直线 yx +3+a 的切点为（x 0，y 0） ，则2x 0+81，解得 x0 ，所以 y0 ，代入 f（x） x+3+a，解得 a ，所以 a 的取值范围是 a
