2019年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)含答案解析

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资源描述

1、2019年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (3 分)若复数 z 满足 2z 3+12i,其中 i 为虚数单位, 是 z 的共轭复数,则复数|z|(   )A3 B2 C4 D52 (3 分)已知集合 A1, 2,3,4 ,By|y 2x3,xA,则集合 AB 的子集个数为(  )A1 B2 C4 D83 (3 分)现有甲班 A,B,C 三名学生,乙班 D,E 两名学生,从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动,则选取的 2 名学生来自于不同班级的概率是(  )A B C D4 (3 分)平

2、行四边形 ABCD 中,BAD120,| |2,| |3, ,则(  )A3 B3 C2 D25 (3 分)有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性这是真的么?某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的 100 名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生,得到下面的列联表:男 女 合计无 40 35 75有 15 10 25合计 55 45 100附:K 2P(K 2k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706据此表,可得(  )A认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%B认为

3、机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 50%第 2 页(共 23 页)C认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 60%D认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 60%6 (3 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的所对的边分别为 a,b,c,且 acosB(4cb)cosA,则 cos2A(  )A B C D7 (3 分)设 F1,F 2 分别为离心率 e 的双曲线 C: 1(a0,b0)的左、右焦点,A 为双曲线 C 的右顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M,N 两点,则 tanMAN(  )A1 B C D28 (3 分)已知实数 m 是给定

4、的常数,函数 f(x)mx 3x 22mx1 的图象不可能是(  )A B C D9 (3 分)在三棱锥 PABC 中,ABBC 2,AC 2 ,PB 面 ABC,M ,N ,Q 分别为 AC,PB ,AB 的中点,MN ,则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为(  )A B C D10 (3 分)把函数 yf(x)的图象向左平移 个单位长度,再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍,得到函数 g(x)的图象,并且 g(x)的图象如图所示,则 f(x )的表达式可以为(  )Af(x)2sin(x+ ) Bf(x )sin (4x + )Cf(

5、x)sin(4x ) Df(x )2sin(4x )第 3 页(共 23 页)11 (3 分)设椭圆 C: 1(ab0)的右焦点为 F,经过原点 O 的直线与椭圆C 相交于点 A,B,若|AF|2,| BF|4,椭圆 C 的离心率为 ,则AFB 的面积是(  )A B2 C2 D12 (3 分)函数 f(x )对于任意实数 x,都有 f(x )f(x)与 f(1+x)f(1x)成立,并且当 0x 1 时,f( x)x 2,则方程 f(x) 0 的根的个数是(  )A2020 B2019 C1010 D1009二、填空题(将答案填在答题纸上)13 (3 分)已知函数 f(x

6、)e xcosx+x5,则曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程是     14 (3 分)若实数 x,y 满足不等式组 ,且 zx2y 的最小为 0,则实 m      15 (3 分)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元 5 世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数设这个整数为 a,当 a2,2019时,符合条件的 a 共有     个16 (3 分)圆锥 的底面半径

7、为 2,母线长为 4正四棱柱 ABCDABC D 的上底面的顶点 A,B,C,D均在圆锥 的侧面上,棱柱下底面在圆锥 的底面上,则此正四棱柱体积的最大值为     三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17S n 为数列a n的前 n 项和,已知 Sn (1)求a n的通项公式;(2)设 bn ,T nb 1+b2+bn,求 Tn18四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,BAD 60,PAPBPD (1)求证:PDAB ;(2)若 AB6,PC8,E 是 BD 的中点,求点 E 到平面 PCD 的距离第 4 页(共 23 页)19某小区为了调查居民

8、的生活水平,随机从小区住户中抽取 6 个家庭,得到数据如下:家庭编号 1 2 3 4 5 6月收入 x(千元)20 30 35 40 48 55月支出 y(千元)4 5 6 8 8 11参考公式:回归直线的方程是: x ,其中, , (1)据题中数据,求月支出 y(千元)关于月收入 x(千元)的线性回归方程(保留一位小数) ;(2)从这 6 个家庭中随机抽取 2 个,求月支出都少于 1 万元的概率20已知定点 F(1,0) ,横坐标不小于 0 的动点在 y 轴上的射影为 H,若|TF| |TH|+1(1)求动点 T 的轨迹 C 的方程;(2)若点 P(4,4)不在直 l:ykx+m 线上,并且

9、直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两个不同点问是否存在常数 k 使得当 m 的值变化时,直线 PA,PB 斜率之和是一个定值若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由21函数 g(x)(x 2)e xax +2,其中常数 aR(1)求 f(x) g(x)+e x+ax2 的最小值;(2)若 a0,讨论 g(x)的零点的个数选修 4-4:坐标系与参数方程第 5 页(共 23 页)22在直角坐标系 xOy 中,点 M(0,1) ,直线 l: (t 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 72+2cos224(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

10、(2)设直线 l 与曲线 C 交于点 A,B,求 的值选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|,g(x)|2x+3| (1)解不等式 f(x )g(x)2;(2)若 2f(x) g(x)+m 对于任意 xR 恒成立,求实数 m 的最小值,并求当 m 取最小值时 x 的范围第 6 页(共 23 页)2019 年广东省湛江市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (3 分)若复数 z 满足 2z 3+12i,其中 i 为虚数单位, 是 z 的共轭复数,则复数|z|(   )A3 B2 C4 D5【分析

11、】根据复数的四则运算法则先求出复数 z,再计算它的模长【解答】解:复数 za+ bi,a、b R,2z 3+12 i,2(a+bi) (abi)3+12i,即 ,解得 a3,b4,z3+4 i,|z| 故选:D【点评】本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题2 (3 分)已知集合 A1, 2,3,4 ,By|y 2x3,xA,则集合 AB 的子集个数为(  )A1 B2 C4 D8【分析】求出集合 B,然后求出 AB,从而可确定它的子集个数【解答】解:B1,1,3 ,5 ;AB1,3;AB 的子集个数为: 故选:C【点评】考查列举法、描

12、述法的定义,交集的运算,以及子集的定义及子集个数的求法3 (3 分)现有甲班 A,B,C 三名学生,乙班 D,E 两名学生,从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动,则选取的 2 名学生来自于不同班级的概率是(  )第 7 页(共 23 页)A B C D【分析】基本事件总数 n 10,抽到 2 名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m 4,由此能求出抽到 2 名学生来自于不同班级的概率【解答】解:从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动,基本事件总数 n 10,抽到 2 名学生来自于同一班级包含的基本事件个数 m 4,抽到 2 名学生来自于不同班级的概率是 P1 1 故选:

13、D【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题4 (3 分)平行四边形 ABCD 中,BAD120,| |2,| |3, ,则(  )A3 B3 C2 D2【分析】先根据向量的数量积求出 ,然后把 , 用 , 表示,代入结合已知即可求解【解答】解:平行四边形 ABCD 中,BAD120,| |2,| |3, 2 3, , , ,则 ( 3故选:B【点评】本题考查两个向量的数量积的定义,数量积公式的应用,考查计算能力与转化能力5 (3 分)有人认为在机动车驾驶技术上,男性优于女性这是真的么?某社会调查机构与交警合作随机统计

14、了经常开车的 100 名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违第 8 页(共 23 页)法事件发生,得到下面的列联表:男 女 合计无 40 35 75有 15 10 25合计 55 45 100附:K 2P(K 2k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706据此表,可得(  )A认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%B认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 50%C认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 60%D认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 60%【分析】由表中数据计算观测值,对

15、照临界值得出结论【解答】解:由表中数据,计算 K2 0.33670.455,认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%;故选:A【点评】本题考查独立性检验的应用,关键是理解独立性检验的思路属中档题6 (3 分)在ABC 中,内角 A,B,C 的所对的边分别为 a,b,c,且 acosB(4cb)cosA,则 cos2A(  )A B C D【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得 sinA,进而利用二倍角余弦公式得到结果【解答】解:acosB(4cb)cosA, sinAcosB 4sinCcosAsinBcosA即 sinAcosB+sinBcosA4

16、cos AsinCsinC4cosAsinC0C ,sinC0第 9 页(共 23 页)14cosA ,即 cosA ,那么 cos2A2cos 2A1 故选:C【点评】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用,考查计算能力,属于基础题7 (3 分)设 F1,F 2 分别为离心率 e 的双曲线 C: 1(a0,b0)的左、右焦点,A 为双曲线 C 的右顶点,以 F1F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M,N 两点,则 tanMAN(  )A1 B C D2【分析】由离心率公式和 a,b,c 的关系,求得直线 l 的方程 y2x,求得圆的方程,联立解得 M,N,再由直线的斜率

17、公式,计算可得所求值【解答】解:离心率 e ,可得 b2a,可设双曲线的渐近线 l 的方程为 y2x,A(a,0)为双曲线 C 的右顶点,以 F1F2 为直径的圆方程为 x2+y2c 2,解得 M( , )即(a, 2a) ,N(a,2a) ,直线 AN 的斜率为 1,可得 OAN45,且 MAx 轴,可得 tanMANtan(90+45)1故选:A【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要是离心率和渐近线方程的运用,考查方程是想和运算能力,属于基础题第 10 页(共 23 页)8 (3 分)已知实数 m 是给定的常数,函数 f(x)mx 3x 22mx1 的图象不可能是(  )A B

18、 C D【分析】令 m0,排除 D,对函数求导,确定其极值点的正负即可判断【解答】解:当 m0 时,C 符合题意;当 m0 时,f(x)3mx 22x2m,4+24m 20,设 3mx22x2m0 的两根为 x1,x 2,则 0,则两个极值点 x1,x 2 异号,则 D 不合题意故选:D【点评】本题考查函数图象的识别与判断,导数的应用,考查推理能力,是基础题9 (3 分)在三棱锥 PABC 中,ABBC 2,AC 2 ,PB 面 ABC,M ,N ,Q 分别为 AC,PB ,AB 的中点,MN ,则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为(  )A B C D【分析】推导出 ABB

19、C,PB面 ABC,以 B 为原点,BA,BC,BP 所在直线分别为x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值【解答】解:在三棱锥 PABC 中,ABBC 2,AC 2 ,AB 2+BC2AC 2,ABBC ,又 PB面 ABC,以 B 为原点,BA ,BC,BP 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 PBt,M,N ,Q 分别为 AC,PB,AB 的中点,MN ,P(0,0,t) ,N(0,0, ) ,A(2,0,0) ,C(0,2,0) ,M (1,1,0) ,MN ,解得 t2,P(0,0,2) ,Q(1,0, 0) ,

20、N(0,0,1) ,(1,0,2) , (1,1,1) ,设异面直线 PQ 与 MN 所成角为 ,第 11 页(共 23 页)则 cos ,异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为 故选:B【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题10 (3 分)把函数 yf(x)的图象向左平移 个单位长度,再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍,得到函数 g(x)的图象,并且 g(x)的图象如图所示,则 f(x )的表达式可以为(  )Af(x)2sin(x+ ) Bf(x )sin (4x + )Cf(x)

21、sin(4x ) Df(x )2sin(4x )【分析】根据条件先求出 和 ,结合函数 yAsin (x+)的图象变换规律,求得f(x)的解析式【解答】解:设 g(x)2sin ( x+) ,由图象可得 g(0)2sin1,即 sin第 12 页(共 23 页), +2k,kZ,或 +2k,k Z (舍去) ,则 g(x)2sin( x+ ) 由五点法作图可得 + 2 , 2,故 g(x)2sin(2x+ ) 由题意可得,把函数 g(x)的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的 ,得到y2sin (4x + ) ,再把所得曲线向右平移 个单位长度得到函数 f(x )的图象,即 f(x)2sin(4

22、x 4 + )2sin (4x )2sin(4x+ ) ,故选:B【点评】本题主要考查三角函数图象的应用,根据条件求出 和 的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键,属于中档题11 (3 分)设椭圆 C: 1(ab0)的右焦点为 F,经过原点 O 的直线与椭圆C 相交于点 A,B,若|AF|2,| BF|4,椭圆 C 的离心率为 ,则AFB 的面积是(  )A B2 C2 D【分析】由椭圆定义及离心率,可得 a,c 的值,利用余弦定理可得 cosFAF,进而利用面积公式得到结果【解答】解:设椭圆的左焦点为 F,由椭圆的对称性可知,|AF| |BF|4,|AF|+|AF|2

23、+4 62a, a3,又 e ,c ,由余弦定理可得,cosFAF ,故 sinFAF S AFB S AFF |AF|AF|sinFAF 故选:C【点评】本题考查了椭圆的定义与几何性质,考查了余弦定理及面积公式,属于中档题第 13 页(共 23 页)12 (3 分)函数 f(x )对于任意实数 x,都有 f(x )f(x)与 f(1+x)f(1x)成立,并且当 0x 1 时,f( x)x 2,则方程 f(x) 0 的根的个数是(  )A2020 B2019 C1010 D1009【分析】由函数的奇偶性及周期性,方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解【解答】解:由函数 f(x )

24、对于任意实数 x,都有 f(x)f(x) ,则函数 f(x)为偶函数,又 f(1+x)f(1x )成立,所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称,联立 f(x) f(x )与 f(1+x)f(1x )可得 f(x)f(2+x) ,即函数 f(x)为周期为 2 的周期函数,则函数 yf(x)的图象与直线 y 在0,1 有两个交点,在(1,3有两个交点,在(3,5有两个交点在( 2017,2019 有两个交点,在( 2019,+)无交点,在(,0)无交点,即交点个数为 2020,故选:A【点评】本题考查了函数的奇偶性及周期性,方程的解及函数图象的交点个数的转化,属中档题二、填空题(将答案填在答

25、题纸上)13 (3 分)已知函数 f(x )e xcosx+x5,则曲线 yf(x)在点(0,f(0) )处的切线方程是 y x +1 【分析】求导,x0 代入求 k,点斜式求切线方程即可【解答】解:函数 f(x )e xcosx+x5,f(x)e x(cosx sin x)+5x 4,则 f(0)1,又 f(0)1,故切线方程为 yx +1,故答案为:yx +1【点评】本题考查切线方程,求导法则及运算,考查直线方程,考查计算能力,是基础题第 14 页(共 23 页)14 (3 分)若实数 x,y 满足不等式组 ,且 zx2y 的最小为 0,则实 m 【分析】画出可行域,由 z 的几何意义确定

26、其最小值,列 m 的方程求解即可【解答】解:画出可行域如图阴影部分所示:当 zx 2y 过 A 时取得最小值,联立 得 A ,则 ,解 m 故答案为: 【点评】本题考查线性规划,z 的几何意义,数形结合思想,确定取得最小值的最优解是关键,是中档题15 (3 分)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元 5 世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数设这个整数为 a,当 a2,2019时,符合条件的 a 共有 135 个【分析】由题设 a3m+25n+3,m

27、,nN *,得 3m5n +1,对 m 讨论求解即可【解答】解:由题设 a3m+25n+3,m ,nN *,则 3m5n+1第 15 页(共 23 页)当 m5k,n 不存在;当 m5k+1,n 不存在当 m5k+2,n3k+1 ,满足题意当 m5k+3,n 不存在;当 m5k+4,n 不存在;故 2a15k+82019,解 k ,则 k0,1,2134,共 135 个故答案为:135【点评】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质,考查不等式性质,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题16 (3 分)圆锥 的底面半径为 2,母线长为 4正四棱柱 ABCDA

28、BC D 的上底面的顶点 A,B,C,D均在圆锥 的侧面上,棱柱下底面在圆锥 的底面上,则此正四棱柱体积的最大值为    【分析】设正四棱柱的底面边长为 x,设棱柱的高 h,利用相似性表示h ,从而得到 V 的表达式,利用导数知识求最值即可【解答】解:设正四棱柱的底面边长为 x,设棱柱的高 h,根据相似性可得:,解得:h , (其中 0x2 ) 此正四棱柱体积为:Vx 2hx 2 ,V令 V0,解得:x ,易得:Vx 2 ,在(0, )上递增,在( ,2 )上递减,所以此正四棱柱体积的最大值为 第 16 页(共 23 页)故答案为: 【点评】本题考查了空间几何体的结构特征及

29、函数的最值问题,导数的应用,考查空间想象能力与计算能力,属于中档题三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17S n 为数列a n的前 n 项和,已知 Sn (1)求a n的通项公式;(2)设 bn ,T nb 1+b2+bn,求 Tn【分析】 (1)运用数列的递推式,当 n2 时,a nS nS n1 ,检验 n1 成立即可得到所求通项公式;(2)由 bn ( ) ,裂项相消求和即可【解答】解:(1)当 n2 时,a nS nS n1 + (n1)2 (n1)11n,当 n1 时,满足上式,可得 an11n;(2)由 an11n,可得 bn ( ) ,Tn ( + + ) (

30、) 【点评】本题考查数列通项公式,裂项相消求和,考查计算能力,熟记求和的基本方法,准确计算是关键,是基础题18四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是菱形,BAD 60,PAPBPD (1)求证:PDAB ;第 17 页(共 23 页)(2)若 AB6,PC8,E 是 BD 的中点,求点 E 到平面 PCD 的距离【分析】 (1)设 K 为 AB 的中点,要证 ABPD ,转证 AB平面 PKD,即证ABPK,AB DK;(2)设 H 为ABD 的中心,点 E 到平面 PCD 的距离为 h,则点 K 到平面 PCD 的距离为 2h,由(1)可知,AB平面 PKD得平面 PDC平面 PKD,故

31、 H 到直线 PD 的距离为 ,在 RtAHD 中计算 H 到 PD 的距离即可得出答案【解答】 (1)证明:由于四边形 ABCD 是菱形,BAD60,所以ABD 是正三角形设 AB 的中点为 K,连接 PK,DK,如图所示,则 ABDK ,又 PAPB,所以 ABPK又 PK,DK 相交于 K,所以 AB平面 PKD又 PD平面 PKD,所以 ABPD(2)解:由(1)可知,AB平面 PKD又 ABCD,所以 CD平面 PKD又 CD平面 PDC,所以平面 PDC平面 PKD,设点 E 到平面 PCD 的距离为 h,则由于 BD2ED ,得点 B 到平面 PCD 的距离为 2h由于 KB平面

32、 PCD,所以 K,B 两点到平面 PCD 的距离均为 2h所以点 K 到直线 PD 的距离就是 2h设ABD 的中心为 H,则 PH平面 ABDHC4HE4 ,在 rtPHC 中,PH 4,在 Rt PHD 中,PH4,DH2 ,所以 PD 2 由 DH2HK,得点 H 到直线 PD 的距离为 ,即 ,得 h所以点 E 到平面 PCD 的距离为 第 18 页(共 23 页)【点评】本题考查线面垂直的判定,点到平面的距离,考查空间想象能力与计算能力,属于中档题19某小区为了调查居民的生活水平,随机从小区住户中抽取 6 个家庭,得到数据如下:家庭编号 1 2 3 4 5 6月收入 x(千元)20

33、 30 35 40 48 55月支出 y(千元)4 5 6 8 8 11参考公式:回归直线的方程是: x ,其中, , (1)据题中数据,求月支出 y(千元)关于月收入 x(千元)的线性回归方程(保留一位小数) ;(2)从这 6 个家庭中随机抽取 2 个,求月支出都少于 1 万元的概率【分析】 (1)由题意得到 、 , , ,从而得到月支出 y(千元)关于月收入 x(千元)的线性回归方程;(2)从 6 个家庭中抽取 2 个,共包含 15 种情况,其中月支出都少于 1 万元的基本事件共 10 种,从而得到结果【解答】解:(1) 38, 7;其中第 19 页(共 23 页) 0.2, 70.238

34、0.6,故月支出 y 关于 x 月收入的线性回归方程是: 0.2x 0.6 ,(2)若从 6 个家庭中抽取 2 个,则基本事件为12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共 15 种,月支出都少于 1 万元的基本事件为 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共 10种,则月支出都少于 1 万元的概率为 P 【点评】本题考查线性回归方程的应用,考查最小二乘法求线性回归方程,考查古典概型概率公式,考查计算能力,是中档题20已知定点 F(1,0) ,横坐标不小于 0 的动点在 y 轴上的射影为 H,若|TF| |TH|+1(1)求

35、动点 T 的轨迹 C 的方程;(2)若点 P(4,4)不在直 l:ykx+m 线上,并且直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两个不同点问是否存在常数 k 使得当 m 的值变化时,直线 PA,PB 斜率之和是一个定值若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由【分析】 (1)利用抛物线定义,即可得到动点 T 的轨迹 C 的方程;(2)设 A( ,a) ,B( ,b) ,利用斜率计算公式可得 k1+k2,利用韦达定理即可得到结果【解答】解:(1)设点 T 在直线 x1 上的射影是 R,则由于 T 的横坐标不小于 0,|TR| | TH|+1,又| TF| TH|+1,|TF| | TR|,即点

36、T 到 F(1,0)的距离与 T 到直线 x1 的距离相等,T 的轨迹是以 F 为焦点,以 x1 为准线的抛物线即 C 的方程是 y24x第 20 页(共 23 页)(2)由于 A,B 在曲线 C 上,可设 A( ,a) ,B( ,b) ,则PA 的斜率 k1 ,同理 PB 的斜率 k2 k 1+k2 + 又曲线 C 与直线 l 相交于 A,B 两点,k0,于是联立方程,得ky24y+4m0,a+b ,ab k 1+k2 1 ,令 4k+40,解得 k1则 k1+k20 为定值,4k+40 时,此式随着 m 的变化,值也在变化,不存在 k 值满足题意综上可得:存在常数 k1 使得当 m 的值变

37、化时,直线 PA,PB 斜率之和是一个定值【点评】本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题21函数 g(x)(x 2)e xax +2,其中常数 aR(1)求 f(x) g(x)+e x+ax2 的最小值;(2)若 a0,讨论 g(x)的零点的个数【分析】 (1)导数为 f(x )xe x,研究单调性即可得到 f(x)g(x)+e x+ax2 的最小值;(2)g(x)在其定义域 R 上的导数是 g(x)(x1)e xa,对 a 分类讨论,数形结合即可明确 g(x)的零点的个数【解答】解:(1)f(x )(x1)e

38、x 在定义域 R 上的导数为 f(x)xe x当 x0 时,f(x)0;当 x0 时,f (x)0f(x)的单调递减区间是(,0) ,单调增区间是(0,+) f(x)的最小值是 F(0)1(2)g(x)在其定义域 R 上的导数是 g(x)(x1)e xa第 21 页(共 23 页)当 a 1 时,由( 1)可得 g(x)0,g(x)在 R 上是增函数,此时由 g(0)0,可得函数 g(x)有唯一的零点当 1a 0 时,g(0)1a0,并且对于负数 2ln(a)5,有g2ln(a)52 ln(a)51 e2ln(a)5 a2ln(a)6e 2ln(a)5 a 又2aln(a)6a6e 5,2al

39、n (a)6ae 50,即 g2ln(a)50在区间(2ln(a)5, 0)上存在负数 t,使得 g( t)0,则在(,t)上g(x)0,g(x )是增函数;在区间(t,0)上 g(x )0,g(x)是减函数则 g(t)g(0)0,g( )( ) 0在(,0)上,g(x)有且仅有 1 个零点;在区间(0,+)上,g(0)1a0,g(1)a0 并且 g(x)是增函数存在正数 n,使得在(0,n)上,g(x)0,g(x)是减函数;在(n,+)上,g(x)0,g(x )是增函数于是有 g(n)g(0)0,g(2)22a0在(0,+)上,g(x)恰有唯一的零点当1a0 时,g(x)在 R 上恰有三个不

40、同的零点综上所述,当 a1 时,g(x)有唯一的零点;当1a0 时,g(x)有三个不同的零点【点评】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断,考查转化思想与函数方程思想,考查转化能力与计算能力,属于难题选修 4-4:坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中,点 M(0,1) ,直线 l: (t 为参数) ,以原点 O 为极点,第 22 页(共 23 页)x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 72+2cos224(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)设直线 l 与曲线 C 交于点 A,B,求 的值【分析】 (1)利用极坐标与普通的互化求解即可;(2)将直线 l 的参数

41、方程化为标准形式为: (t 为参数) ,与椭圆联立,利用 t 的几何意义求解 + 即可【解答】解(1)7 2+2cos224,7 2+2(2cos 21)24又 2 x2+y2,x cos曲线 C 的直角坐标方程为: + 1(2)将直线 l 的参数方程化为标准形式为: (t 为参数) ,代入曲线 C 方程,得19t 2+6 t4500 恒成立t 1+t2 ,t 1t2 + + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,考查直线参数方程 t 的几何意义,考查计算能力,属中档题选修 4-5:不等式选讲23已知函数 f(x )|x 1|,g(x)|2x+3| (1)解不等式 f(x )g(x)2;(2

42、)若 2f(x) g(x)+m 对于任意 xR 恒成立,求实数 m 的最小值,并求当 m 取最小值时 x 的范围【分析】 (1)零点分段去绝对值化简 f(x )g(x)解不等式即可;(2)2f(x) g(x)+m 恒成立,即|2 x2|2 x+3|m 恒成立,即m(|2x2| |2 x+3|) max,由绝对值三角不等式求 m( |2x2|2x+3| ) max,即可求第 23 页(共 23 页)解【解答】解:(1)f(x )g(x)|x 1|2x+3| ,当 x 时,不等式化为 x+42,解得 x2,可得 2x ;当 x1 时,不等式化为3x22,解得 x ,可得 x ;当 x1 时,不等式化为x 42,解得 x6,可得 x综上可得,原不等式的解集为x|2x (2)若 2f(x) g(x)+m 恒成立,则|2 x2|2 x+3|m 恒成立,m(|2x2|2 x+3|) max,又|2 x2| |2 x+3|2x2(2x+3)| 5,m 最小值为 5此时 ,解得 x 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式求最值,熟记定理,准确计算是关键,绝对值三角不等式成立条件是易错点,是中档题

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