1、2019年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）若复数 z 满足 2z 3+12i，其中 i 为虚数单位， 是 z 的共轭复数，则复数|z|（ ）A3 B2 C4 D52 （3 分）已知集合 A1， 2，3，4 ，By|y 2x3，xA，则集合 AB 的子集个数为（ ）A1 B2 C4 D83 （3 分）现有甲班 A，B，C 三名学生，乙班 D，E 两名学生，从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，则选取的 2 名学生来自于不同班级的概率是（ ）A B C D4 （3 分）平
2、行四边形 ABCD 中，BAD120，| |2，| |3， ，则（ ）A3 B3 C2 D25 （3 分）有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计了经常开车的 100 名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违法事件发生，得到下面的列联表：男 女 合计无 40 35 75有 15 10 25合计 55 45 100附：K 2P（K 2k 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706据此表，可得（ ）A认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%B认为
3、机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 50%第 2 页（共 23 页）C认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 60%D认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 60%6 （3 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的所对的边分别为 a，b，c，且 acosB（4cb）cosA，则 cos2A（ ）A B C D7 （3 分）设 F1，F 2 分别为离心率 e 的双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点，A 为双曲线 C 的右顶点，以 F1F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M，N 两点，则 tanMAN（ ）A1 B C D28 （3 分）已知实数 m 是给定
4、的常数，函数 f（x）mx 3x 22mx1 的图象不可能是（ ）A B C D9 （3 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC 2，AC 2 ，PB 面 ABC，M ，N ，Q 分别为 AC，PB ，AB 的中点，MN ，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（ ）A B C D10 （3 分）把函数 yf（x）的图象向左平移 个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，并且 g（x）的图象如图所示，则 f（x ）的表达式可以为（ ）Af（x）2sin（x+ ） Bf（x ）sin （4x + ）Cf（
5、x）sin（4x ） Df（x ）2sin（4x ）第 3 页（共 23 页）11 （3 分）设椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，经过原点 O 的直线与椭圆C 相交于点 A，B，若|AF|2，| BF|4，椭圆 C 的离心率为 ，则AFB 的面积是（ ）A B2 C2 D12 （3 分）函数 f（x ）对于任意实数 x，都有 f（x ）f（x）与 f（1+x）f（1x）成立，并且当 0x 1 时，f（ x）x 2，则方程 f（x） 0 的根的个数是（ ）A2020 B2019 C1010 D1009二、填空题（将答案填在答题纸上）13 （3 分）已知函数 f（x
6、）e xcosx+x5，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 14 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组 ，且 zx2y 的最小为 0，则实 m 15 （3 分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元 5 世纪）的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为 a，当 a2，2019时，符合条件的 a 共有 个16 （3 分）圆锥 的底面半径
7、为 2，母线长为 4正四棱柱 ABCDABC D 的上底面的顶点 A，B，C，D均在圆锥 的侧面上，棱柱下底面在圆锥 的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17S n 为数列a n的前 n 项和，已知 Sn （1）求a n的通项公式；（2）设 bn ，T nb 1+b2+bn，求 Tn18四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD 60，PAPBPD （1）求证：PDAB ；（2）若 AB6，PC8，E 是 BD 的中点，求点 E 到平面 PCD 的距离第 4 页（共 23 页）19某小区为了调查居民
8、的生活水平，随机从小区住户中抽取 6 个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6月收入 x（千元）20 30 35 40 48 55月支出 y（千元）4 5 6 8 8 11参考公式：回归直线的方程是： x ，其中， ， （1）据题中数据，求月支出 y（千元）关于月收入 x（千元）的线性回归方程（保留一位小数） ；（2）从这 6 个家庭中随机抽取 2 个，求月支出都少于 1 万元的概率20已知定点 F（1，0） ，横坐标不小于 0 的动点在 y 轴上的射影为 H，若|TF| |TH|+1（1）求动点 T 的轨迹 C 的方程；（2）若点 P（4，4）不在直 l：ykx+m 线上，并且
9、直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两个不同点问是否存在常数 k 使得当 m 的值变化时，直线 PA，PB 斜率之和是一个定值若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由21函数 g（x）（x 2）e xax +2，其中常数 aR（1）求 f（x） g（x）+e x+ax2 的最小值；（2）若 a0，讨论 g（x）的零点的个数选修 4-4：坐标系与参数方程第 5 页（共 23 页）22在直角坐标系 xOy 中，点 M（0，1） ，直线 l： （t 为参数） ，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 72+2cos224（1）求曲线 C 的直角坐标方程；
10、（2）设直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求 的值选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|，g（x）|2x+3| （1）解不等式 f（x ）g（x）2；（2）若 2f（x） g（x）+m 对于任意 xR 恒成立，求实数 m 的最小值，并求当 m 取最小值时 x 的范围第 6 页（共 23 页）2019 年广东省湛江市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （3 分）若复数 z 满足 2z 3+12i，其中 i 为虚数单位， 是 z 的共轭复数，则复数|z|（ ）A3 B2 C4 D5【分析
11、】根据复数的四则运算法则先求出复数 z，再计算它的模长【解答】解：复数 za+ bi，a、b R，2z 3+12 i，2（a+bi） （abi）3+12i，即 ，解得 a3，b4，z3+4 i，|z| 故选：D【点评】本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题2 （3 分）已知集合 A1， 2，3，4 ，By|y 2x3，xA，则集合 AB 的子集个数为（ ）A1 B2 C4 D8【分析】求出集合 B，然后求出 AB，从而可确定它的子集个数【解答】解：B1，1，3 ，5 ；AB1，3；AB 的子集个数为： 故选：C【点评】考查列举法、描
12、述法的定义，交集的运算，以及子集的定义及子集个数的求法3 （3 分）现有甲班 A，B，C 三名学生，乙班 D，E 两名学生，从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，则选取的 2 名学生来自于不同班级的概率是（ ）第 7 页（共 23 页）A B C D【分析】基本事件总数 n 10，抽到 2 名学生来自于同一班级包含的基本事件个数m 4，由此能求出抽到 2 名学生来自于不同班级的概率【解答】解：从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，基本事件总数 n 10，抽到 2 名学生来自于同一班级包含的基本事件个数 m 4，抽到 2 名学生来自于不同班级的概率是 P1 1 故选：
13、D【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题4 （3 分）平行四边形 ABCD 中，BAD120，| |2，| |3， ，则（ ）A3 B3 C2 D2【分析】先根据向量的数量积求出 ，然后把 ， 用 ， 表示，代入结合已知即可求解【解答】解：平行四边形 ABCD 中，BAD120，| |2，| |3， 2 3， ， ， ，则 （ 3故选：B【点评】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力5 （3 分）有人认为在机动车驾驶技术上，男性优于女性这是真的么？某社会调查机构与交警合作随机统计
14、了经常开车的 100 名驾驶员最近三个月内是否有交通事故或交通违第 8 页（共 23 页）法事件发生，得到下面的列联表：男 女 合计无 40 35 75有 15 10 25合计 55 45 100附：K 2P（K 2k 0） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706据此表，可得（ ）A认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%B认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 50%C认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 60%D认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性超过 60%【分析】由表中数据计算观测值，对
15、照临界值得出结论【解答】解：由表中数据，计算 K2 0.33670.455，认为机动车驾驶技术与性别有关的可靠性不足 50%；故选：A【点评】本题考查独立性检验的应用，关键是理解独立性检验的思路属中档题6 （3 分）在ABC 中，内角 A，B，C 的所对的边分别为 a，b，c，且 acosB（4cb）cosA，则 cos2A（ ）A B C D【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得 sinA，进而利用二倍角余弦公式得到结果【解答】解：acosB（4cb）cosA， sinAcosB 4sinCcosAsinBcosA即 sinAcosB+sinBcosA4
16、cos AsinCsinC4cosAsinC0C ，sinC0第 9 页（共 23 页）14cosA ，即 cosA ，那么 cos2A2cos 2A1 故选：C【点评】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题7 （3 分）设 F1，F 2 分别为离心率 e 的双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点，A 为双曲线 C 的右顶点，以 F1F2 为直径的圆交双曲线的渐近线 l 于 M，N 两点，则 tanMAN（ ）A1 B C D2【分析】由离心率公式和 a，b，c 的关系，求得直线 l 的方程 y2x，求得圆的方程，联立解得 M，N，再由直线的斜率
17、公式，计算可得所求值【解答】解：离心率 e ，可得 b2a，可设双曲线的渐近线 l 的方程为 y2x，A（a，0）为双曲线 C 的右顶点，以 F1F2 为直径的圆方程为 x2+y2c 2，解得 M（ ， ）即（a， 2a） ，N（a，2a） ，直线 AN 的斜率为 1，可得 OAN45，且 MAx 轴，可得 tanMANtan（90+45）1故选：A【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的运用，考查方程是想和运算能力，属于基础题第 10 页（共 23 页）8 （3 分）已知实数 m 是给定的常数，函数 f（x）mx 3x 22mx1 的图象不可能是（ ）A B
18、 C D【分析】令 m0，排除 D，对函数求导，确定其极值点的正负即可判断【解答】解：当 m0 时，C 符合题意；当 m0 时，f（x）3mx 22x2m，4+24m 20，设 3mx22x2m0 的两根为 x1，x 2，则 0，则两个极值点 x1，x 2 异号，则 D 不合题意故选：D【点评】本题考查函数图象的识别与判断，导数的应用，考查推理能力，是基础题9 （3 分）在三棱锥 PABC 中，ABBC 2，AC 2 ，PB 面 ABC，M ，N ，Q 分别为 AC，PB ，AB 的中点，MN ，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为（ ）A B C D【分析】推导出 ABB
19、C，PB面 ABC，以 B 为原点，BA，BC，BP 所在直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值【解答】解：在三棱锥 PABC 中，ABBC 2，AC 2 ，AB 2+BC2AC 2，ABBC ，又 PB面 ABC，以 B 为原点，BA ，BC，BP 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，设 PBt，M，N ，Q 分别为 AC，PB，AB 的中点，MN ，P（0，0，t） ，N（0，0， ） ，A（2，0，0） ，C（0，2，0） ，M （1，1，0） ，MN ，解得 t2，P（0，0，2） ，Q（1，0， 0） ，
20、N（0，0，1） ，（1，0，2） ， （1，1，1） ，设异面直线 PQ 与 MN 所成角为 ，第 11 页（共 23 页）则 cos ，异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值为 故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题10 （3 分）把函数 yf（x）的图象向左平移 个单位长度，再把所得的图象上每个点的横、纵坐标都变为原来的 2 倍，得到函数 g（x）的图象，并且 g（x）的图象如图所示，则 f（x ）的表达式可以为（ ）Af（x）2sin（x+ ） Bf（x ）sin （4x + ）Cf（x）
21、sin（4x ） Df（x ）2sin（4x ）【分析】根据条件先求出 和 ，结合函数 yAsin （x+）的图象变换规律，求得f（x）的解析式【解答】解：设 g（x）2sin （ x+） ，由图象可得 g（0）2sin1，即 sin第 12 页（共 23 页）， +2k，kZ，或 +2k，k Z （舍去） ，则 g（x）2sin（ x+ ） 由五点法作图可得 + 2 ， 2，故 g（x）2sin（2x+ ） 由题意可得，把函数 g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到到原来的 ，得到y2sin （4x + ） ，再把所得曲线向右平移 个单位长度得到函数 f（x ）的图象，即 f（x）2sin（4
22、x 4 + ）2sin （4x ）2sin（4x+ ） ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数图象的应用，根据条件求出 和 的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决本题的关键，属于中档题11 （3 分）设椭圆 C： 1（ab0）的右焦点为 F，经过原点 O 的直线与椭圆C 相交于点 A，B，若|AF|2，| BF|4，椭圆 C 的离心率为 ，则AFB 的面积是（ ）A B2 C2 D【分析】由椭圆定义及离心率，可得 a，c 的值，利用余弦定理可得 cosFAF，进而利用面积公式得到结果【解答】解：设椭圆的左焦点为 F，由椭圆的对称性可知，|AF| |BF|4，|AF|+|AF|2
23、+4 62a， a3，又 e ，c ，由余弦定理可得，cosFAF ，故 sinFAF S AFB S AFF |AF|AF|sinFAF 故选：C【点评】本题考查了椭圆的定义与几何性质，考查了余弦定理及面积公式，属于中档题第 13 页（共 23 页）12 （3 分）函数 f（x ）对于任意实数 x，都有 f（x ）f（x）与 f（1+x）f（1x）成立，并且当 0x 1 时，f（ x）x 2，则方程 f（x） 0 的根的个数是（ ）A2020 B2019 C1010 D1009【分析】由函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化即可得解【解答】解：由函数 f（x ）
24、对于任意实数 x，都有 f（x）f（x） ，则函数 f（x）为偶函数，又 f（1+x）f（1x ）成立，所以函数 f（x）的图象关于直线 x1 对称，联立 f（x） f（x ）与 f（1+x）f（1x ）可得 f（x）f（2+x） ，即函数 f（x）为周期为 2 的周期函数，则函数 yf（x）的图象与直线 y 在0，1 有两个交点，在（1，3有两个交点，在（3，5有两个交点在（ 2017，2019 有两个交点，在（ 2019，+）无交点，在（，0）无交点，即交点个数为 2020，故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性及周期性，方程的解及函数图象的交点个数的转化，属中档题二、填空题（将答案填在答
25、题纸上）13 （3 分）已知函数 f（x ）e xcosx+x5，则曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程是 y x +1 【分析】求导，x0 代入求 k，点斜式求切线方程即可【解答】解：函数 f（x ）e xcosx+x5，f（x）e x（cosx sin x）+5x 4，则 f（0）1，又 f（0）1，故切线方程为 yx +1，故答案为：yx +1【点评】本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题第 14 页（共 23 页）14 （3 分）若实数 x，y 满足不等式组 ，且 zx2y 的最小为 0，则实 m 【分析】画出可行域，由 z 的几何意义确定
26、其最小值，列 m 的方程求解即可【解答】解：画出可行域如图阴影部分所示：当 zx 2y 过 A 时取得最小值，联立 得 A ，则 ，解 m 故答案为： 【点评】本题考查线性规划，z 的几何意义，数形结合思想，确定取得最小值的最优解是关键，是中档题15 （3 分）一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元 5 世纪）的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为 a，当 a2，2019时，符合条件的 a 共有 135 个【分析】由题设 a3m+25n+3，m
27、，nN *，得 3m5n +1，对 m 讨论求解即可【解答】解：由题设 a3m+25n+3，m ，nN *，则 3m5n+1第 15 页（共 23 页）当 m5k，n 不存在；当 m5k+1，n 不存在当 m5k+2，n3k+1 ，满足题意当 m5k+3，n 不存在；当 m5k+4，n 不存在；故 2a15k+82019，解 k ，则 k0，1，2134，共 135 个故答案为：135【点评】本题以传统文化为背景考查整数的运算性质，考查不等式性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题16 （3 分）圆锥 的底面半径为 2，母线长为 4正四棱柱 ABCDA
28、BC D 的上底面的顶点 A，B，C，D均在圆锥 的侧面上，棱柱下底面在圆锥 的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 【分析】设正四棱柱的底面边长为 x，设棱柱的高 h，利用相似性表示h ，从而得到 V 的表达式，利用导数知识求最值即可【解答】解：设正四棱柱的底面边长为 x，设棱柱的高 h，根据相似性可得：，解得：h ， （其中 0x2 ） 此正四棱柱体积为：Vx 2hx 2 ，V令 V0，解得：x ，易得：Vx 2 ，在（0， ）上递增，在（ ，2 ）上递减，所以此正四棱柱体积的最大值为 第 16 页（共 23 页）故答案为： 【点评】本题考查了空间几何体的结构特征及
29、函数的最值问题，导数的应用，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17S n 为数列a n的前 n 项和，已知 Sn （1）求a n的通项公式；（2）设 bn ，T nb 1+b2+bn，求 Tn【分析】 （1）运用数列的递推式，当 n2 时，a nS nS n1 ，检验 n1 成立即可得到所求通项公式；（2）由 bn （ ） ，裂项相消求和即可【解答】解：（1）当 n2 时，a nS nS n1 + （n1）2 （n1）11n，当 n1 时，满足上式，可得 an11n；（2）由 an11n，可得 bn （ ） ，Tn （ + + ） （
30、） 【点评】本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题18四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD 60，PAPBPD （1）求证：PDAB ；第 17 页（共 23 页）（2）若 AB6，PC8，E 是 BD 的中点，求点 E 到平面 PCD 的距离【分析】 （1）设 K 为 AB 的中点，要证 ABPD ，转证 AB平面 PKD，即证ABPK，AB DK；（2）设 H 为ABD 的中心，点 E 到平面 PCD 的距离为 h，则点 K 到平面 PCD 的距离为 2h，由（1）可知，AB平面 PKD得平面 PDC平面 PKD，故
31、 H 到直线 PD 的距离为 ，在 RtAHD 中计算 H 到 PD 的距离即可得出答案【解答】 （1）证明：由于四边形 ABCD 是菱形，BAD60，所以ABD 是正三角形设 AB 的中点为 K，连接 PK，DK，如图所示，则 ABDK ，又 PAPB，所以 ABPK又 PK，DK 相交于 K，所以 AB平面 PKD又 PD平面 PKD，所以 ABPD（2）解：由（1）可知，AB平面 PKD又 ABCD，所以 CD平面 PKD又 CD平面 PDC，所以平面 PDC平面 PKD，设点 E 到平面 PCD 的距离为 h，则由于 BD2ED ，得点 B 到平面 PCD 的距离为 2h由于 KB平面
32、 PCD，所以 K，B 两点到平面 PCD 的距离均为 2h所以点 K 到直线 PD 的距离就是 2h设ABD 的中心为 H，则 PH平面 ABDHC4HE4 ，在 rtPHC 中，PH 4，在 Rt PHD 中，PH4，DH2 ，所以 PD 2 由 DH2HK，得点 H 到直线 PD 的距离为 ，即 ，得 h所以点 E 到平面 PCD 的距离为 第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查线面垂直的判定，点到平面的距离，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题19某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取 6 个家庭，得到数据如下：家庭编号 1 2 3 4 5 6月收入 x（千元）20
33、 30 35 40 48 55月支出 y（千元）4 5 6 8 8 11参考公式：回归直线的方程是： x ，其中， ， （1）据题中数据，求月支出 y（千元）关于月收入 x（千元）的线性回归方程（保留一位小数） ；（2）从这 6 个家庭中随机抽取 2 个，求月支出都少于 1 万元的概率【分析】 （1）由题意得到 、 ， ， ，从而得到月支出 y（千元）关于月收入 x（千元）的线性回归方程；（2）从 6 个家庭中抽取 2 个，共包含 15 种情况，其中月支出都少于 1 万元的基本事件共 10 种，从而得到结果【解答】解：（1） 38， 7；其中第 19 页（共 23 页） 0.2， 70.238
34、0.6，故月支出 y 关于 x 月收入的线性回归方程是： 0.2x 0.6 ，（2）若从 6 个家庭中抽取 2 个，则基本事件为12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，共 15 种，月支出都少于 1 万元的基本事件为 12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，共 10种，则月支出都少于 1 万元的概率为 P 【点评】本题考查线性回归方程的应用，考查最小二乘法求线性回归方程，考查古典概型概率公式，考查计算能力，是中档题20已知定点 F（1，0） ，横坐标不小于 0 的动点在 y 轴上的射影为 H，若|TF| |TH|+1（1）求
35、动点 T 的轨迹 C 的方程；（2）若点 P（4，4）不在直 l：ykx+m 线上，并且直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两个不同点问是否存在常数 k 使得当 m 的值变化时，直线 PA，PB 斜率之和是一个定值若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由【分析】 （1）利用抛物线定义，即可得到动点 T 的轨迹 C 的方程；（2）设 A（ ，a） ，B（ ，b） ，利用斜率计算公式可得 k1+k2，利用韦达定理即可得到结果【解答】解：（1）设点 T 在直线 x1 上的射影是 R，则由于 T 的横坐标不小于 0，|TR| | TH|+1，又| TF| TH|+1，|TF| | TR|，即点
36、T 到 F（1，0）的距离与 T 到直线 x1 的距离相等，T 的轨迹是以 F 为焦点，以 x1 为准线的抛物线即 C 的方程是 y24x第 20 页（共 23 页）（2）由于 A，B 在曲线 C 上，可设 A（ ，a） ，B（ ，b） ，则PA 的斜率 k1 ，同理 PB 的斜率 k2 k 1+k2 + 又曲线 C 与直线 l 相交于 A，B 两点，k0，于是联立方程，得ky24y+4m0，a+b ，ab k 1+k2 1 ，令 4k+40，解得 k1则 k1+k20 为定值，4k+40 时，此式随着 m 的变化，值也在变化，不存在 k 值满足题意综上可得：存在常数 k1 使得当 m 的值变
37、化时，直线 PA，PB 斜率之和是一个定值【点评】本题考查了定义法求轨迹方程、综合考查了直线与圆锥曲线方程联立解决复杂的存在探究问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21函数 g（x）（x 2）e xax +2，其中常数 aR（1）求 f（x） g（x）+e x+ax2 的最小值；（2）若 a0，讨论 g（x）的零点的个数【分析】 （1）导数为 f（x ）xe x，研究单调性即可得到 f（x）g（x）+e x+ax2 的最小值；（2）g（x）在其定义域 R 上的导数是 g（x）（x1）e xa，对 a 分类讨论，数形结合即可明确 g（x）的零点的个数【解答】解：（1）f（x ）（x1）e
38、x 在定义域 R 上的导数为 f（x）xe x当 x0 时，f（x）0；当 x0 时，f （x）0f（x）的单调递减区间是（，0） ，单调增区间是（0，+） f（x）的最小值是 F（0）1（2）g（x）在其定义域 R 上的导数是 g（x）（x1）e xa第 21 页（共 23 页）当 a 1 时，由（ 1）可得 g（x）0，g（x）在 R 上是增函数，此时由 g（0）0，可得函数 g（x）有唯一的零点当 1a 0 时，g（0）1a0，并且对于负数 2ln（a）5，有g2ln（a）52 ln（a）51 e2ln（a）5 a2ln（a）6e 2ln（a）5 a 又2aln（a）6a6e 5，2al
39、n （a）6ae 50，即 g2ln（a）50在区间（2ln（a）5， 0）上存在负数 t，使得 g（ t）0，则在（，t）上g（x）0，g（x ）是增函数；在区间（t，0）上 g（x ）0，g（x）是减函数则 g（t）g（0）0，g（ ）（ ） 0在（，0）上，g（x）有且仅有 1 个零点；在区间（0，+）上，g（0）1a0，g（1）a0 并且 g（x）是增函数存在正数 n，使得在（0，n）上，g（x）0，g（x）是减函数；在（n，+）上，g（x）0，g（x ）是增函数于是有 g（n）g（0）0，g（2）22a0在（0，+）上，g（x）恰有唯一的零点当1a0 时，g（x）在 R 上恰有三个不
40、同的零点综上所述，当 a1 时，g（x）有唯一的零点；当1a0 时，g（x）有三个不同的零点【点评】本题考查了函数的最值与函数零点的个数判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系 xOy 中，点 M（0，1） ，直线 l： （t 为参数） ，以原点 O 为极点，第 22 页（共 23 页）x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 72+2cos224（1）求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于点 A，B，求 的值【分析】 （1）利用极坐标与普通的互化求解即可；（2）将直线 l 的参数
41、方程化为标准形式为： （t 为参数） ，与椭圆联立，利用 t 的几何意义求解 + 即可【解答】解（1）7 2+2cos224，7 2+2（2cos 21）24又 2 x2+y2，x cos曲线 C 的直角坐标方程为： + 1（2）将直线 l 的参数方程化为标准形式为： （t 为参数） ，代入曲线 C 方程，得19t 2+6 t4500 恒成立t 1+t2 ，t 1t2 + + 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，考查直线参数方程 t 的几何意义，考查计算能力，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|x 1|，g（x）|2x+3| （1）解不等式 f（x ）g（x）2；（2
42、）若 2f（x） g（x）+m 对于任意 xR 恒成立，求实数 m 的最小值，并求当 m 取最小值时 x 的范围【分析】 （1）零点分段去绝对值化简 f（x ）g（x）解不等式即可；（2）2f（x） g（x）+m 恒成立，即|2 x2|2 x+3|m 恒成立，即m（|2x2| |2 x+3|） max，由绝对值三角不等式求 m（ |2x2|2x+3| ） max，即可求第 23 页（共 23 页）解【解答】解：（1）f（x ）g（x）|x 1|2x+3| ，当 x 时，不等式化为 x+42，解得 x2，可得 2x ；当 x1 时，不等式化为3x22，解得 x ，可得 x ；当 x1 时，不等式化为x 42，解得 x6，可得 x综上可得，原不等式的解集为x|2x （2）若 2f（x） g（x）+m 恒成立，则|2 x2|2 x+3|m 恒成立，m（|2x2|2 x+3|） max，又|2 x2| |2 x+3|2x2（2x+3）| 5，m 最小值为 5此时 ，解得 x 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值，熟记定理，准确计算是关键，绝对值三角不等式成立条件是易错点，是中档题
