1、2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 1z2+i，则|z| （ ）A B C D2 （5 分）已知集合 Ax| x1 或 x10 ，Bx|2x3，xZ ，则（ RA）B（ ）A 1，2 B2，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，23 （5 分）已知函数 g（x）f （2x）x 2 为奇函数，且 f（2）1，则 f（2）（ ）A2 B1 C1 D24 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y 3） 2
2、72，若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m（ ）A2 或 10 B4 或 8 C4 或 6 D2 或 45 （5 分）已知向量 （1，3） ， （2，m ） ，且 与 的夹角为 45，则 m（ ）A4 B1 C4 或 1 D1 或 46 （5 分）正项等比数列a n中，a 1a5+2a3a7+a5a916，且 a5 与 a9 的等差中项为 4，则 an的公比是（ ）A1 B2 C D7 （5 分）某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是（ ）A
3、 B C D8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是（ ）第 2 页（共 25 页）A B C4 D9 （5 分）我们知道欧拉数 e27182818284，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算当输入 i50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（ ）A （ ） 49 B （ ） 50 C （ ） 51 D （ ） 5210 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ADAB2，CDCB2 ，且 ADAB ，现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ABD，且使得 A'C2 ，则三棱锥 ABCD 的外接球表面积等于（ ）A16
4、 B12 C4 D3第 3 页（共 25 页）11 （5 分）设 F 为双曲线 E： 1（a，b0）的右焦点，过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四边形 OAFB 为菱形，圆x2+y2c 2（c 2a 2+b2）与 E 在第一象限的交点是 P，且 |PF| 1，则双曲线 E 的方程是（ ）A 1 B 1C y 21 Dx 2 112 （5 分）已知函数 f（x ）x 3x 2+axa 存在极值点 x0，且 f（x 1）f（x 0） ，其中x1x 0，x 1+2x0（ ）A3 B2 C1 D0二、填空题：本题共 4 小题，
5、每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值是 14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高 ”乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 名15 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，满足 an2+12a nSn，且 an0，则 a100 16 （5 分）已知函数 f（x ）cos x+sin（
6、x+ ） （0）在0，上恰有一个最大值点和两个零点，则 的取值范围是 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bcosCacosC+ccosA（1）求 C；（2）若 AB 边上的中线 CD 长为 1，求ABC 面积的最大值18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB60，平面 PAB第 4 页（共 25 页）平面 ABCD，点 E
7、 为 BC 中点，F 为 AP 上一点，且满足PF FA，APPB AB （1）求证：PC平面 DEF；（2）求点 E 到平面 ADP 的距离19 （12 分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字 5 为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机
8、数，一行读数用完之后接下一行左端写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为 008，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层，且样本中 A题目的成绩有 8 个，平均数为 7，方差为 4；样本中 B 题目的成绩有 2 个，平均数为8，方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在 C 上，点E 在 l 上，且PEF 是边长为 8 的正三角形（1）求 C 的方程；（2）过点（1，0）的直线 n 与 C 相交于 A，
9、B 两点，若 23，求FAB 的面第 5 页（共 25 页）积21 （12 分）已知函数 f（x ） ，x （1，+） （1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x） 在（1，+ ）上恒成立，求整数 k 的最大值(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：cos ，P 为直线 l 上一点，且点 P 在极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，且 OPQ 面积为 （1）求 Q 点
10、的极坐标；（2）求OPQ 外接圆的极坐标方程，并判断直线 l 与OPQ 外接圆的位置关系选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1|2| x1|+a（1）当 a0 时，解不等式 f（x ）0；（2）若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf（x）的图象下方，求 a 的取值范围第 6 页（共 25 页）2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）已知复数 z 满足 1z2+i，则|z| （ ）A B
11、 C D【分析】直接利用复数的模的计算方法求解即可【解答】解：复数 z 满足 1z2+i，可得z1+i，所以|z| 故选：D【点评】本题考查复数的模的求法，是基本知识的考查2 （5 分）已知集合 Ax| x1 或 x10 ，Bx|2x3，xZ ，则（ RA）B（ ）A 1，2 B2，2 C0 ，1，2 D 1，0，1，2【分析】可解出集合 B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：B1，0，1 ，2 ， RAx|1x10；（ RA）B1，0，1，2故选：D【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算3 （5 分）已知函数 g（x）f （2x）x 2 为奇函数，且 f（
12、2）1，则 f（2）（ ）A2 B1 C1 D2【分析】根据 g（x）为奇函数可得出 g（2）g（2） ，再根据 f（2）1 即可得出f（2）11+1 ，从而求出 f（2）1【解答】解：g（x）为奇函数，且 f（2）1；g（1）g（1） ；f（2）1f（2）+11+1；f（2）1故选：C第 7 页（共 25 页）【点评】考查奇函数的定义，已知函数求值的方法4 （5 分）已知圆 C：（x 3） 2+（y 3） 272，若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则 m（ ）A2 或 10 B4 或 8 C4 或 6 D2 或 4【分析】根据
13、题意，分析圆 C 的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离为 ，则有 d ，解可得 m 的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆 C：（x 3） 2+（y 3） 272，其圆心 C（3，3） ，半径r3 ，若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则圆心到直线的距离为 ，则有 d ，变形可得|6m|2，解可得：m4 或 8，故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线垂直的判定，属于基础题5 （5 分）已知向量 （1，3） ， （2，m ） ，且 与 的夹角为 45，则 m（ ）A4 B1 C4 或 1 D1 或 4【分析】
14、根据向量夹角公式计算可得【解答】解：cos ， ，cos45 ，解得m1 或 m4（舍去） 故选：B【点评】本题考查了数量表示两个向量，属基础题6 （5 分）正项等比数列a n中，a 1a5+2a3a7+a5a916，且 a5 与 a9 的等差中项为 4，则 an的公比是（ ）A1 B2 C D【分析】设等比数列的公比为 q，q0，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比 q【解答】解：正项等比数列a n中，a 1a5+2a3a7+a5a916，第 8 页（共 25 页）可得 a32+2a3a7+a72（a 3+a7） 216，即 a3+a74，a5 与
15、 a9 的等差中项为 4，即 a5+a98，设公比为 q，则 q2（a 3+a7）4q 28，则 q （负的舍去） ，故选：D【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题7 （5 分）某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，则他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n 10，他第 2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m 3，由此能求出他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率【解答】解：某人连续投篮 5 次，其中 3 次命中，2 次未命中，基本事件总数 n 10，他第
16、2 次，第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m 3，他第 2 次，第 3 次两次均命中的概率是 p 故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是（ ）第 9 页（共 25 页）A B C4 D【分析】根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥 PABCD，如图所示；则该四棱锥的高为 2，底面积为 122，所以该四棱锥的体积是 V 22 故选：B【点评】本题考查了利用三视图求几
17、何体体积的应用问题，是基础题9 （5 分）我们知道欧拉数 e27182818284，它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算当输入 i50 时，下列各式中用于计算 e 的近似值的是（ ）第 10 页（共 25 页）A （ ） 49 B （ ） 50 C （ ） 51 D （ ） 52【分析】根据条件得到临界值，当 n49 时，e 的取值，然后验证当 n50，51 时是否满足，从而确定此时对应的 m 和 k 的值即可得到结论【解答】解：当 n49 时，n50 不成立，则 n50，此时 m49，k51，此时 e（） 50，当 n50 时，n50 不成立，则 n51，此时 m50
18、，k 52，此时 e（ ） 51，当 n51 时，n50 成立，程序终止，输出 e（ ） 51，故 e 的近似值为（ ） 51，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法，结合临界值n49，寻找对应规律是解决本题的关键10 （5 分）在平面四边形 ABCD 中，ADAB2，CDCB2 ，且 ADAB ，现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ABD，且使得 A'C2 ，则三棱锥 ABCD 的外接球表面积等于（ ）A16 B12 C4 D3第 11 页（共 25 页）【分析】由题意画出图形，求解三角形可得 AB，AC，AD 两两互相垂直且相等，补形
19、为正方体求解【解答】解：如图，平面四边形 ABCD 中，连结 AC，BD，交于点 O，ADAB2，CD CB2 ，且 ADAB，BD2 ，则 AO ，OC ，又 AC2，AO 2+OC2AC 2，则 AC AO ，进一步得到 AC平面 ABD ，分别以 AB ，A C ，A D 为过一个顶点的三条棱补形为正方体，则其外接球的半径为 ，其外接球的表面积为 S 故选：B【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题11 （5 分）设 F 为双曲线 E： 1（a，b0）的右焦点，过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四
20、边形 OAFB 为菱形，圆x2+y2c 2（c 2a 2+b2）与 E 在第一象限的交点是 P，且 |PF| 1，则双曲线 E 的方程是（ ）A 1 B 1C y 21 Dx 2 1第 12 页（共 25 页）【分析】根据题意可得 c2a， ，结合选项可知，只有 D 满足，因为本题属于选择题，可以不用继续计算了，另外可以求出点 P 的坐标，根据点与点的距离公式求 a的值，可可得双曲线的方程【解答】解：双曲线 E： 1 的渐近线方程为 y x，由过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，且四边形 OAFB 为菱形，则对角线互相平分，c2a， ，结合选项可知
21、，只有 D 满足，由 ，解得 x a，y a，PF| 1，（ a2a） 2+（ a） 2（ 1） 2，解得 a1，则 b ，故双曲线方程为 x2 1故选：D【点评】本题考查了双曲线的简单性质和菱形的性质，点与点的距离公式，考查了运算第 13 页（共 25 页）求解能力，属于中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）x 3x 2+axa 存在极值点 x0，且 f（x 1）f（x 0） ，其中x1x 0，x 1+2x0（ ）A3 B2 C1 D0【分析】f（x ）3x 22x+a由函数 f（x）x 3x 2+axa 存在极值点 x0，可得2x 0+a0，即 a +2x0由 f（x 1）
22、f（x 0） ，其中 x1x 0，化为：+x1x0+ （x 1+x0）+ a0，把 a +2x0 代入上述方程即可得出【解答】解：f（x ）3x 22x+a函数 f（x） x3x 2+axa 存在极值点 x0， 2x 0+a0，即 a +2x0f（x 1）f（x 0） ，其中 x1x 0， +ax1a +ax0a，化为： +x1x0+ （x 1+x0）+a0，把 a +2x0 代入上述方程可得： +x1x0+ （x 1+x0） +2x00，化为： +x1x02 +x0x 10，因式分解：（x 1x 0） （x 1+2x01）0，x 1x 00x 1+2x01故选：C【点评】本题考查了利用导数研
23、究函数的单调性极值、方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件 ，则 zx2y 的最大值是 1 【分析】先画出满足条件的平面区域，通过解方程求出 B 点的坐标，根据 zx2y 变形为 y x z，通过图象显然，直线过 B 时，z 最大，求出即可【解答】解：作出实数 x，y 满足约束条件 的平面区域，如图示：第 14 页（共 25 页）由 ，解得：A（1，0） ，由 zx 2y 得：y x z，显然，直线过 A（1，0）时，z 最大，z 的最大值是 1，故答案为：1【点评】本题考查了简单的
24、线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题14 （5 分）某次考试结束，甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说：“你们的成绩都没有我高 ”乙说：“我的成绩一定比丙高 ”丙说：“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后，三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对，若将三人成绩从高到低排序，则甲排在第 2 名【分析】分别讨论三人中一人说的不对，另外 2 人正确，然后进行验证是否满足条件即可【解答】解：若甲说的不对，乙，丙说的正确，则甲不是最高的，乙的成绩比丙高，则乙最高，丙若正确，则丙最低，满足条件，此时三人成绩从高到底为乙，甲，丙，若乙说的不对，甲丙说的正确，则甲最高，乙最小，丙第二，此时丙错误，不满足条件
25、若丙说的不对，甲乙说的正确，则甲最高，乙第二，丙最低，此时丙也正确，不满足条件故三人成绩从高到底为乙，甲，丙，则甲排第 2 位，故答案为：2第 15 页（共 25 页）【点评】本题主要考查合情推理的应用，利用三人中恰有一人说得不对，分别进行讨论是解决本题的关键15 （5 分）设 Sn 是数列a n的前 n 项和，满足 an2+12a nSn，且 an0，则 a100 【分析】利用已知条件求出数列的通项公式，进一步求出结果【解答】解：S n 是数列a n的前 n 项和，满足 an2+12a nSn，则： ，整理得：当 n1 时，S 1a 11，所以：数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列则
26、： ，由于：a n0，所以： ，故： 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16 （5 分）已知函数 f（x ）cos x+sin（x+ ） （0）在0，上恰有一个最大值点和两个零点，则 的取值范围是 ， ） 【分析】化函数 f（x ）为正弦型函数，由 x0，求得 x+ 的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，结合题意求出 的取值范围【解答】解：函数 f（x ）cosx+sin（x+ ） cosx+ sinx sin（x+ ） ， （0） ；由 x0，得 x+ ，+ ；第 16 页（共 25 页
27、）又 f（x）在0 ， 上恰有一个最大值点和两个零点，则 2+ ，解得 ，所以 的取值范围是 ， ） 故答案为： ， ） 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，是中档题三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 bcosCacosC+ccosA（1）求 C；（2）若 AB 边上的中线 CD 长为 1，求ABC 面积的最大值【分析】 （1）由正弦定理，两角和的正弦函
28、数公式化简已知等式可得sinBcosCsinB，结合 sinB0，可求 cosC 结合范围 0C，可求 C （2）根据余弦定理可得：c 2a 2+b2 ab，在ACD 与CBD 中，由余弦定理可得：2a2+2b2c 2+4，联立，利用基本不等式可求 ab ，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且有bcosCacosC+ccosA sinBcosCsinAcosC+sinC cosA， sinBcosCsin（A+C ）sin B，sinB0，解得：cosC0C ，C （2）根据余弦定理可得：c 2a 2+b2 ab，在AC
29、D 与CBD 中，由余弦定理可得：2a 2+2b2c 2+4，第 17 页（共 25 页）联立，可得： a2+b24 ab2ab，可得：ab ，当且仅当 aba 时等号成立，S ABC absin ab 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，属于基础题18 （12 分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB60，平面 PAB平面 ABCD，点 E 为 BC 中点， F 为 AP 上一点，且满足PF FA，APPB AB （1）求证：PC平面 DEF；（2）求点 E 到平
30、面 ADP 的距离【分析】 （1）连结 AC，交 DE 于点 G，连结 GF，推导出 GFPC，由此能证明 PC平面 DEF（2）取 AB 的中点为 O，连结 DO，PO ，则 POAB，从而 PO平面 ABD，三棱锥EADP 的体积 ，设点 E 到平面 ADP 的距离为h，则三棱锥 EADP 的体积：V ，由此能求出点 E 到平面 ADP 的距离【解答】证明：（1）如图，连结 AC，交 DE 于点 G，连结 GF，底面 ABCD 为菱形，且 E 为 BC 中点， ，F 为 AP 上一点，且满足 PF FA，GFPC，第 18 页（共 25 页）又 GF平面 DEF，PC平面 DEF，PC平面
31、 DEF解：（2）取 AB 的中点为 O，连结 DO，PO ，APPB，POAB，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，PO平面 PAB，PO平面 ABD，APPB AB ，且底面 ABCD 为菱形，DAB 60，ADAB2，且 DOAB， ，三棱锥 EADP 的体积为： ，ADP 中，ADPD2，AP ，S ADP ，设点 E 到平面 ADP 的距离为 h，三棱锥 EADP 的体积：V ，h ，点 E 到平面 ADP 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，
32、是中档题19 （12 分）在一次高三年级统一考试中，数学试卷有一道满分 10 分的选做题，学生可以第 19 页（共 25 页）从 A，B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本，为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900（1）若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表以方框内的数字 5 为起点，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端写出样本编号的中位数；（2）若采用系统抽样法抽样，且样本中最小编号为 00
33、8，求样本中所有编号之和；（3）若采用分层抽样，按照学生选择 A 题目或 B 题目，将成绩分为两层，且样本中 A题目的成绩有 8 个，平均数为 7，方差为 4；样本中 B 题目的成绩有 2 个，平均数为8，方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差【分析】 （1）根据题意读出的编号，将有效编号从小到大排列，由此能求出中位数（2）按照系统抽样法，抽出的编号可组成以 8 为首项，以 90 为公差的等差数列，由上能求出样本编号之和即（3）记样本中 8 个 A 题目成绩分别为 x1，x 2，x 8，2 个 B 题目成绩分别为 y1，y 2，由题意知 ，8432， 16， 212，由此
34、能用样本估计900 名考生选做题得分的平均数，方差【解答】解：（1）根据题意读出的编号依次是：512，916（超界） ，935（超界） ，805，770，951（超界） ，512（重复） ，687，858，554，876，647，547，332，将有效编号从小到大排列，得：332，512，547，647，687，770，805，858，876，第 20 页（共 25 页）中位数为： （2）由题意知，按照系统抽样法，抽出的编号可组成以 8 为首项，以 90 为公差的等差数列，故样本编号之和即为该数列的前 10 项之和，样本中所有编号之和为：S1010 4130（3）记样本中 8 个 A 题目成绩
35、分别为 x1，x 2，x 8，2 个 B 题目成绩分别为 y1，y 2，由题意知 ， 8432，16， 212，样本平均数为： 7.2，样本方差为： 3.56，用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数为 7.2，方差为 3.56【点评】本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法，考查系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20 （12 分）已知抛物线 C： y22px（p0）的焦点为 F，准线为 l，若点 P 在 C 上，点E 在 l 上，且PEF 是边长为 8 的正三角形第 21 页（共 25 页）（1）求 C 的方程；（2）过点（1，0）的直线 n 与 C 相交于 A，B
36、 两点，若 23，求FAB 的面积【分析】 （1）根据等边三角形的性质，即可求出 p 的值，则抛物线方程可求；（2）设过点（1，0）的直线 n 的方程为 xty+1，联立直线方程与抛物线方程，得y28ty 80利用根与系数的关系结合 23 求得 t，进一步求出|AB| 与 F 到直线的距离，代入三角形面积公式求解【解答】解：（1）由题知，|PF |PE| ，则 PEl设准线 l 与 x 轴交于点 D，则 PEDF又PEF 是边长为 8 的等边三角形，PEF60，EFD60，|DF|EF|cosEFD8 4，即 p4抛物线 C 的方程为 y28x；（2）设过点（1，0）的直线 n 的方程为 xt
37、y+1，联立 ，得 y28ty 80设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 y1+y28t ，y 1y28x1x2（ty 1+1） （ty 2+1）t 2y1y2+t（y 1+y2）+11x1+x2t（y 1+y2）+28t 2+2由 23，得（x 12，y 1）（x 22，y 2）（x 12） （x 22）+y 1y2x 1x22（x 1+x2）+4+y 1y212（8t 2+2）+4823，解得 t1不妨取 t1，则直线方程为 xy10|AB| 而 F 到直线 x y10 的距离 d FAB 的面积为 第 22 页（共 25 页）【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与抛
38、物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21 （12 分）已知函数 f（x ） ，x （1，+） （1）求 f（x）的单调区间；（2）若 f（x） 在（1，+ ）上恒成立，求整数 k 的最大值【分析】 （1）对函数 f（x ）求导数，可判 f（x）0，进而可得单调性；（2）问题转化为 h（x）k 恒成立，通过构造函数可得 h（x） min（3，4） ，进而可得 k值【解答】解：（1）f（x ）的定义域是（0，1）（1，+） ，f（x） ，令 （x ） +lnx，则 （x） ，x（0，1）时， （x ）0， （x）递减，（x ） （1）10，f（x）0 ，f（x ）递减，x（1，+）时，（x）
39、0， （x）递增，（x ） （1）10，f （x）0，f（x）递减，综上，f（x）在（ 0，1） ， （1，+）递减；（2）f（x） （x1）恒成立，令 h（x） k 恒成立，即 h（x）的最小值大于 k，第 23 页（共 25 页）h（x） ， （x 1） ，令 g（x）x2lnx（x1） ，则 g（x） 0，故 g（x）在（1，+）递增，又 g（3）1ln30，g（4 ）22ln 20，g（x）0 存在唯一的实数根 a，且满足 a（3，4） ，a2lna0，故 xa 时，g（x ）0，h（x ）0，h（x）递增，1xa 时，g（x ）0，h（x ）0，h（x）递减，故 h（x） minh（
40、a） a（3，4） ，故正整数 k 的最大值是 3【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在极坐标系中，直线 l：cos ，P 为直线 l 上一点，且点 P 在极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，且 OPQ 面积为 （1）求 Q 点的极坐标；（2）求OPQ 外接圆的极坐标方程，并判断直线 l
41、与OPQ 外接圆的位置关系【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【解答】解：（1）直线 l：cos ，以 OP 为一边作正三角形 OPQ（逆时针方向） ，设 P（ ，） ，由且OPQ 面积为 则： ，由于OPQ 为正三角形，第 24 页（共 25 页）所以：OQ 的极角为且|PO |OQ| 2，所以：Q（2， ） （2）由于OPQ 为正三角形，得到其外接圆的直径 ，设 M（ ，）为 OPQ 外接圆上任意一点在 Rt OMR 中，cos（ ） ，所以：M（ ， ）满足 故：OPQ 的外接圆方程 ，直线 l：x
42、，：OPQ 的外接圆直角坐标方程为 圆心到直线的距离 d ，即为半径，故直线与圆相外切【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +1|2| x1|+a（1）当 a0 时，解不等式 f（x ）0；（2）若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf（x）的图象下方，求 a 的取值范围【分析】 （1）a0 时，将不等式移项平方分解因式可解得；（2）根据题意，只需要考虑 x1 时，两函数的图象位置关系，利用抛物线的切线与抛
43、物线的位置关系做【解答】解：（1）当 a0 时，不等式 f（x ）0 化为：|x+1| 2|x1|0，移项得|x+1| 2|x 1| ，平方分解因式得（3x1） （x3）0，解得 x3第 25 页（共 25 页）解集为x| x3（2）化简得 f（x ） ，根据题意，只需要考虑 x1 时，两函数的图象位置关系，当 x1 时，f（ x）x+3+a，由 yx 2+8x14 得 y2x+8，设二次函数与直线 yx +3+a 的切点为（x 0，y 0） ，则2x 0+81，解得 x0 ，所以 y0 ，代入 f（x） x+3+a，解得 a ，所以 a 的取值范围是 a 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
