2019年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)含答案解析

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资源描述

1、2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知复数 z 满足 1z2+i,则|z| (  )A B C D2 (5 分)已知集合 Ax| x1 或 x10 ,Bx|2x3,xZ ,则( RA)B(   )A 1,2 B2,2 C0 ,1,2 D 1,0,1,23 (5 分)已知函数 g(x)f (2x)x 2 为奇函数,且 f(2)1,则 f(2)(  )A2 B1 C1 D24 (5 分)已知圆 C:(x 3) 2+(y 3) 2

2、72,若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则 m(  )A2 或 10 B4 或 8 C4 或 6 D2 或 45 (5 分)已知向量 (1,3) , (2,m ) ,且 与 的夹角为 45,则 m(  )A4 B1 C4 或 1 D1 或 46 (5 分)正项等比数列a n中,a 1a5+2a3a7+a5a916,且 a5 与 a9 的等差中项为 4,则 an的公比是(  )A1 B2 C D7 (5 分)某人连续投篮 5 次,其中 3 次命中,2 次未命中,则他第 2 次,第 3 次两次均命中的概率是(  )A

3、 B C D8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该儿何体的体积是(  )第 2 页(共 25 页)A B C4 D9 (5 分)我们知道欧拉数 e27182818284,它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算当输入 i50 时,下列各式中用于计算 e 的近似值的是(  )A ( ) 49 B ( ) 50 C ( ) 51 D ( ) 5210 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,ADAB2,CDCB2 ,且 ADAB ,现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ABD,且使得 A'C2 ,则三棱锥 ABCD 的外接球表面积等于(  )A16

4、 B12 C4 D3第 3 页(共 25 页)11 (5 分)设 F 为双曲线 E: 1(a,b0)的右焦点,过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,四边形 OAFB 为菱形,圆x2+y2c 2(c 2a 2+b2)与 E 在第一象限的交点是 P,且 |PF| 1,则双曲线 E 的方程是(  )A 1 B 1C y 21 Dx 2 112 (5 分)已知函数 f(x )x 3x 2+axa 存在极值点 x0,且 f(x 1)f(x 0) ,其中x1x 0,x 1+2x0(  )A3 B2 C1 D0二、填空题:本题共 4 小题,

5、每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最大值是     14 (5 分)某次考试结束,甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说:“你们的成绩都没有我高 ”乙说:“我的成绩一定比丙高 ”丙说:“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后,三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对,若将三人成绩从高到低排序,则甲排在第     名15 (5 分)设 Sn 是数列a n的前 n 项和,满足 an2+12a nSn,且 an0,则 a100     16 (5 分)已知函数 f(x )cos x+sin(

6、x+ ) (0)在0,上恰有一个最大值点和两个零点,则 的取值范围是      三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.17 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 bcosCacosC+ccosA(1)求 C;(2)若 AB 边上的中线 CD 长为 1,求ABC 面积的最大值18 (12 分)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且DAB60,平面 PAB第 4 页(共 25 页)平面 ABCD,点 E

7、 为 BC 中点,F 为 AP 上一点,且满足PF FA,APPB AB (1)求证:PC平面 DEF;(2)求点 E 到平面 ADP 的距离19 (12 分)在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分 10 分的选做题,学生可以从 A,B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本,为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表以方框内的数字 5 为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机

8、数,一行读数用完之后接下一行左端写出样本编号的中位数;(2)若采用系统抽样法抽样,且样本中最小编号为 008,求样本中所有编号之和;(3)若采用分层抽样,按照学生选择 A 题目或 B 题目,将成绩分为两层,且样本中 A题目的成绩有 8 个,平均数为 7,方差为 4;样本中 B 题目的成绩有 2 个,平均数为8,方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差20 (12 分)已知抛物线 C: y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,若点 P 在 C 上,点E 在 l 上,且PEF 是边长为 8 的正三角形(1)求 C 的方程;(2)过点(1,0)的直线 n 与 C 相交于 A,

9、B 两点,若 23,求FAB 的面第 5 页(共 25 页)积21 (12 分)已知函数 f(x ) ,x (1,+) (1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x) 在(1,+ )上恒成立,求整数 k 的最大值(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)22 (10 分)在极坐标系中,直线 l:cos ,P 为直线 l 上一点,且点 P 在极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ(逆时针方向) ,且 OPQ 面积为 (1)求 Q 点

10、的极坐标;(2)求OPQ 外接圆的极坐标方程,并判断直线 l 与OPQ 外接圆的位置关系选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23已知函数 f(x )|x +1|2| x1|+a(1)当 a0 时,解不等式 f(x )0;(2)若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf(x)的图象下方,求 a 的取值范围第 6 页(共 25 页)2019 年广东省湛江市高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)已知复数 z 满足 1z2+i,则|z| (  )A B

11、 C D【分析】直接利用复数的模的计算方法求解即可【解答】解:复数 z 满足 1z2+i,可得z1+i,所以|z| 故选:D【点评】本题考查复数的模的求法,是基本知识的考查2 (5 分)已知集合 Ax| x1 或 x10 ,Bx|2x3,xZ ,则( RA)B(   )A 1,2 B2,2 C0 ,1,2 D 1,0,1,2【分析】可解出集合 B,然后进行补集、交集的运算即可【解答】解:B1,0,1 ,2 , RAx|1x10;( RA)B1,0,1,2故选:D【点评】考查描述法、列举法的定义,以及交集、补集的运算3 (5 分)已知函数 g(x)f (2x)x 2 为奇函数,且 f(

12、2)1,则 f(2)(  )A2 B1 C1 D2【分析】根据 g(x)为奇函数可得出 g(2)g(2) ,再根据 f(2)1 即可得出f(2)11+1 ,从而求出 f(2)1【解答】解:g(x)为奇函数,且 f(2)1;g(1)g(1) ;f(2)1f(2)+11+1;f(2)1故选:C第 7 页(共 25 页)【点评】考查奇函数的定义,已知函数求值的方法4 (5 分)已知圆 C:(x 3) 2+(y 3) 272,若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则 m(  )A2 或 10 B4 或 8 C4 或 6 D2 或 4【分析】根据

13、题意,分析圆 C 的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线的距离为 ,则有 d ,解可得 m 的值,即可得答案【解答】解:根据题意,圆 C:(x 3) 2+(y 3) 272,其圆心 C(3,3) ,半径r3 ,若直线 x+ym0 垂直于圆 C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则圆心到直线的距离为 ,则有 d ,变形可得|6m|2,解可得:m4 或 8,故选:B【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及直线垂直的判定,属于基础题5 (5 分)已知向量 (1,3) , (2,m ) ,且 与 的夹角为 45,则 m(  )A4 B1 C4 或 1 D1 或 4【分析】

14、根据向量夹角公式计算可得【解答】解:cos , ,cos45 ,解得m1 或 m4(舍去) 故选:B【点评】本题考查了数量表示两个向量,属基础题6 (5 分)正项等比数列a n中,a 1a5+2a3a7+a5a916,且 a5 与 a9 的等差中项为 4,则 an的公比是(  )A1 B2 C D【分析】设等比数列的公比为 q,q0,运用等比数列的性质和通项公式,以及等差数列的中项性质,解方程可得公比 q【解答】解:正项等比数列a n中,a 1a5+2a3a7+a5a916,第 8 页(共 25 页)可得 a32+2a3a7+a72(a 3+a7) 216,即 a3+a74,a5 与

15、 a9 的等差中项为 4,即 a5+a98,设公比为 q,则 q2(a 3+a7)4q 28,则 q (负的舍去) ,故选:D【点评】本题考查等差数列的中项性质和等比数列的通项公式,考查方程思想和运算能力,属于基础题7 (5 分)某人连续投篮 5 次,其中 3 次命中,2 次未命中,则他第 2 次,第 3 次两次均命中的概率是(  )A B C D【分析】基本事件总数 n 10,他第 2 次,第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m 3,由此能求出他第 2 次,第 3 次两次均命中的概率【解答】解:某人连续投篮 5 次,其中 3 次命中,2 次未命中,基本事件总数 n 10,他第

16、2 次,第 3 次两次均命中包含的基本事件个数 m 3,他第 2 次,第 3 次两次均命中的概率是 p 故选:A【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题8 (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该儿何体的体积是(  )第 9 页(共 25 页)A B C4 D【分析】根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥,结合图中数据求出该几何体的体积【解答】解:根据三视图知,该几何体是底面为平行四边形的四棱锥 PABCD,如图所示;则该四棱锥的高为 2,底面积为 122,所以该四棱锥的体积是 V 22 故选:B【点评】本题考查了利用三视图求几

17、何体体积的应用问题,是基础题9 (5 分)我们知道欧拉数 e27182818284,它的近似值可以通开始过执行如图所示的程序框图计算当输入 i50 时,下列各式中用于计算 e 的近似值的是(  )第 10 页(共 25 页)A ( ) 49 B ( ) 50 C ( ) 51 D ( ) 52【分析】根据条件得到临界值,当 n49 时,e 的取值,然后验证当 n50,51 时是否满足,从而确定此时对应的 m 和 k 的值即可得到结论【解答】解:当 n49 时,n50 不成立,则 n50,此时 m49,k51,此时 e() 50,当 n50 时,n50 不成立,则 n51,此时 m50

18、,k 52,此时 e( ) 51,当 n51 时,n50 成立,程序终止,输出 e( ) 51,故 e 的近似值为( ) 51,故选:C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件利用模拟运算法,结合临界值n49,寻找对应规律是解决本题的关键10 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,ADAB2,CDCB2 ,且 ADAB ,现将ABD 沿着对角线 BD 翻折成 ABD,且使得 A'C2 ,则三棱锥 ABCD 的外接球表面积等于(  )A16 B12 C4 D3第 11 页(共 25 页)【分析】由题意画出图形,求解三角形可得 AB,AC,AD 两两互相垂直且相等,补形

19、为正方体求解【解答】解:如图,平面四边形 ABCD 中,连结 AC,BD,交于点 O,ADAB2,CD CB2 ,且 ADAB,BD2 ,则 AO ,OC ,又 AC2,AO 2+OC2AC 2,则 AC AO ,进一步得到 AC平面 ABD ,分别以 AB ,A C ,A D 为过一个顶点的三条棱补形为正方体,则其外接球的半径为 ,其外接球的表面积为 S 故选:B【点评】本题考查多面体外接球的表面积的求法,考查数形结合的解题思想方法,是中档题11 (5 分)设 F 为双曲线 E: 1(a,b0)的右焦点,过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,四

20、边形 OAFB 为菱形,圆x2+y2c 2(c 2a 2+b2)与 E 在第一象限的交点是 P,且 |PF| 1,则双曲线 E 的方程是(  )A 1 B 1C y 21 Dx 2 1第 12 页(共 25 页)【分析】根据题意可得 c2a, ,结合选项可知,只有 D 满足,因为本题属于选择题,可以不用继续计算了,另外可以求出点 P 的坐标,根据点与点的距离公式求 a的值,可可得双曲线的方程【解答】解:双曲线 E: 1 的渐近线方程为 y x,由过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A,B 两点,且四边形 OAFB 为菱形,则对角线互相平分,c2a, ,结合选项可知

21、,只有 D 满足,由 ,解得 x a,y a,PF| 1,( a2a) 2+( a) 2( 1) 2,解得 a1,则 b ,故双曲线方程为 x2 1故选:D【点评】本题考查了双曲线的简单性质和菱形的性质,点与点的距离公式,考查了运算第 13 页(共 25 页)求解能力,属于中档题12 (5 分)已知函数 f(x )x 3x 2+axa 存在极值点 x0,且 f(x 1)f(x 0) ,其中x1x 0,x 1+2x0(  )A3 B2 C1 D0【分析】f(x )3x 22x+a由函数 f(x)x 3x 2+axa 存在极值点 x0,可得2x 0+a0,即 a +2x0由 f(x 1)

22、f(x 0) ,其中 x1x 0,化为:+x1x0+ (x 1+x0)+ a0,把 a +2x0 代入上述方程即可得出【解答】解:f(x )3x 22x+a函数 f(x) x3x 2+axa 存在极值点 x0, 2x 0+a0,即 a +2x0f(x 1)f(x 0) ,其中 x1x 0, +ax1a +ax0a,化为: +x1x0+ (x 1+x0)+a0,把 a +2x0 代入上述方程可得: +x1x0+ (x 1+x0) +2x00,化为: +x1x02 +x0x 10,因式分解:(x 1x 0) (x 1+2x01)0,x 1x 00x 1+2x01故选:C【点评】本题考查了利用导数研

23、究函数的单调性极值、方程的应用,考查了推理能力与计算能力,属于难题二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.13 (5 分)若实数 x,y 满足约束条件 ,则 zx2y 的最大值是 1 【分析】先画出满足条件的平面区域,通过解方程求出 B 点的坐标,根据 zx2y 变形为 y x z,通过图象显然,直线过 B 时,z 最大,求出即可【解答】解:作出实数 x,y 满足约束条件 的平面区域,如图示:第 14 页(共 25 页)由 ,解得:A(1,0) ,由 zx 2y 得:y x z,显然,直线过 A(1,0)时,z 最大,z 的最大值是 1,故答案为:1【点评】本题考查了简单的

24、线性规划问题,考查数形结合思想,是一道基础题14 (5 分)某次考试结束,甲、乙、丙三位同学聚在一起聊天甲说:“你们的成绩都没有我高 ”乙说:“我的成绩一定比丙高 ”丙说:“你们的成绩都比我高 ”成绩公布后,三人成绩互不相同且三人中恰有一人说得不对,若将三人成绩从高到低排序,则甲排在第 2 名【分析】分别讨论三人中一人说的不对,另外 2 人正确,然后进行验证是否满足条件即可【解答】解:若甲说的不对,乙,丙说的正确,则甲不是最高的,乙的成绩比丙高,则乙最高,丙若正确,则丙最低,满足条件,此时三人成绩从高到底为乙,甲,丙,若乙说的不对,甲丙说的正确,则甲最高,乙最小,丙第二,此时丙错误,不满足条件

25、若丙说的不对,甲乙说的正确,则甲最高,乙第二,丙最低,此时丙也正确,不满足条件故三人成绩从高到底为乙,甲,丙,则甲排第 2 位,故答案为:2第 15 页(共 25 页)【点评】本题主要考查合情推理的应用,利用三人中恰有一人说得不对,分别进行讨论是解决本题的关键15 (5 分)设 Sn 是数列a n的前 n 项和,满足 an2+12a nSn,且 an0,则 a100 【分析】利用已知条件求出数列的通项公式,进一步求出结果【解答】解:S n 是数列a n的前 n 项和,满足 an2+12a nSn,则: ,整理得:当 n1 时,S 1a 11,所以:数列 是以 1 为首项,1 为公差的等差数列则

26、: ,由于:a n0,所以: ,故: 故答案为: 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型16 (5 分)已知函数 f(x )cos x+sin(x+ ) (0)在0,上恰有一个最大值点和两个零点,则 的取值范围是   , )  【分析】化函数 f(x )为正弦型函数,由 x0,求得 x+ 的取值范围,根据正弦函数的图象与性质,结合题意求出 的取值范围【解答】解:函数 f(x )cosx+sin(x+ ) cosx+ sinx sin(x+ ) , (0) ;由 x0,得 x+ ,+ ;第 16 页(共 25 页

27、)又 f(x)在0 , 上恰有一个最大值点和两个零点,则 2+ ,解得 ,所以 的取值范围是 , ) 故答案为: , ) 【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题,也考查了三角恒等变换应用问题,是中档题三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.17 (12 分)ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 bcosCacosC+ccosA(1)求 C;(2)若 AB 边上的中线 CD 长为 1,求ABC 面积的最大值【分析】 (1)由正弦定理,两角和的正弦函

28、数公式化简已知等式可得sinBcosCsinB,结合 sinB0,可求 cosC 结合范围 0C,可求 C (2)根据余弦定理可得:c 2a 2+b2 ab,在ACD 与CBD 中,由余弦定理可得:2a2+2b2c 2+4,联立,利用基本不等式可求 ab ,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解:(1)ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且有bcosCacosC+ccosA sinBcosCsinAcosC+sinC cosA, sinBcosCsin(A+C )sin B,sinB0,解得:cosC0C ,C (2)根据余弦定理可得:c 2a 2+b2 ab,在AC

29、D 与CBD 中,由余弦定理可得:2a 2+2b2c 2+4,第 17 页(共 25 页)联立,可得: a2+b24 ab2ab,可得:ab ,当且仅当 aba 时等号成立,S ABC absin ab 【点评】本题主要考查了正弦定理,两角和的正弦函数公式,余弦定理,基本不等式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查推理论证能力、运算求解能力,属于基础题18 (12 分)在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且DAB60,平面 PAB平面 ABCD,点 E 为 BC 中点, F 为 AP 上一点,且满足PF FA,APPB AB (1)求证:PC平面 DEF;(2)求点 E 到平

30、面 ADP 的距离【分析】 (1)连结 AC,交 DE 于点 G,连结 GF,推导出 GFPC,由此能证明 PC平面 DEF(2)取 AB 的中点为 O,连结 DO,PO ,则 POAB,从而 PO平面 ABD,三棱锥EADP 的体积 ,设点 E 到平面 ADP 的距离为h,则三棱锥 EADP 的体积:V ,由此能求出点 E 到平面 ADP 的距离【解答】证明:(1)如图,连结 AC,交 DE 于点 G,连结 GF,底面 ABCD 为菱形,且 E 为 BC 中点, ,F 为 AP 上一点,且满足 PF FA,GFPC,第 18 页(共 25 页)又 GF平面 DEF,PC平面 DEF,PC平面

31、 DEF解:(2)取 AB 的中点为 O,连结 DO,PO ,APPB,POAB,平面 PAB平面 ABCD,平面 PAB平面 ABCDAB,PO平面 PAB,PO平面 ABD,APPB AB ,且底面 ABCD 为菱形,DAB 60,ADAB2,且 DOAB, ,三棱锥 EADP 的体积为: ,ADP 中,ADPD2,AP ,S ADP ,设点 E 到平面 ADP 的距离为 h,三棱锥 EADP 的体积:V ,h ,点 E 到平面 ADP 的距离为 【点评】本题考查线面平行的证明,考查点到平面的距离的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,

32、是中档题19 (12 分)在一次高三年级统一考试中,数学试卷有一道满分 10 分的选做题,学生可以第 19 页(共 25 页)从 A,B 两道题目中任选一题作答某校有 900 名高三学生参加了本次考试,为了了解该校学生解答该选做题的得分情况,计划从 900 名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为 10 的样本,为此将 900 名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为 001900(1)若采用随机数表法抽样,并按照以下随机数表以方框内的数字 5 为起点,从左向右依次读取数据,每次读取三位随机数,一行读数用完之后接下一行左端写出样本编号的中位数;(2)若采用系统抽样法抽样,且样本中最小编号为 00

33、8,求样本中所有编号之和;(3)若采用分层抽样,按照学生选择 A 题目或 B 题目,将成绩分为两层,且样本中 A题目的成绩有 8 个,平均数为 7,方差为 4;样本中 B 题目的成绩有 2 个,平均数为8,方差为 1用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数与方差【分析】 (1)根据题意读出的编号,将有效编号从小到大排列,由此能求出中位数(2)按照系统抽样法,抽出的编号可组成以 8 为首项,以 90 为公差的等差数列,由上能求出样本编号之和即(3)记样本中 8 个 A 题目成绩分别为 x1,x 2,x 8,2 个 B 题目成绩分别为 y1,y 2,由题意知 ,8432, 16, 212,由此

34、能用样本估计900 名考生选做题得分的平均数,方差【解答】解:(1)根据题意读出的编号依次是:512,916(超界) ,935(超界) ,805,770,951(超界) ,512(重复) ,687,858,554,876,647,547,332,将有效编号从小到大排列,得:332,512,547,647,687,770,805,858,876,第 20 页(共 25 页)中位数为: (2)由题意知,按照系统抽样法,抽出的编号可组成以 8 为首项,以 90 为公差的等差数列,故样本编号之和即为该数列的前 10 项之和,样本中所有编号之和为:S1010 4130(3)记样本中 8 个 A 题目成绩

35、分别为 x1,x 2,x 8,2 个 B 题目成绩分别为 y1,y 2,由题意知 , 8432,16, 212,样本平均数为: 7.2,样本方差为: 3.56,用样本估计 900 名考生选做题得分的平均数为 7.2,方差为 3.56【点评】本题考查中位数、平均数、言状工样本编号、概率的求法,考查系统抽样等基础知识,考查运算求解能力,是基础题20 (12 分)已知抛物线 C: y22px(p0)的焦点为 F,准线为 l,若点 P 在 C 上,点E 在 l 上,且PEF 是边长为 8 的正三角形第 21 页(共 25 页)(1)求 C 的方程;(2)过点(1,0)的直线 n 与 C 相交于 A,B

36、 两点,若 23,求FAB 的面积【分析】 (1)根据等边三角形的性质,即可求出 p 的值,则抛物线方程可求;(2)设过点(1,0)的直线 n 的方程为 xty+1,联立直线方程与抛物线方程,得y28ty 80利用根与系数的关系结合 23 求得 t,进一步求出|AB| 与 F 到直线的距离,代入三角形面积公式求解【解答】解:(1)由题知,|PF |PE| ,则 PEl设准线 l 与 x 轴交于点 D,则 PEDF又PEF 是边长为 8 的等边三角形,PEF60,EFD60,|DF|EF|cosEFD8 4,即 p4抛物线 C 的方程为 y28x;(2)设过点(1,0)的直线 n 的方程为 xt

37、y+1,联立 ,得 y28ty 80设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,则 y1+y28t ,y 1y28x1x2(ty 1+1) (ty 2+1)t 2y1y2+t(y 1+y2)+11x1+x2t(y 1+y2)+28t 2+2由 23,得(x 12,y 1)(x 22,y 2)(x 12) (x 22)+y 1y2x 1x22(x 1+x2)+4+y 1y212(8t 2+2)+4823,解得 t1不妨取 t1,则直线方程为 xy10|AB| 而 F 到直线 x y10 的距离 d FAB 的面积为 第 22 页(共 25 页)【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查直线与抛

38、物线位置关系的应用,考查计算能力,是中档题21 (12 分)已知函数 f(x ) ,x (1,+) (1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x) 在(1,+ )上恒成立,求整数 k 的最大值【分析】 (1)对函数 f(x )求导数,可判 f(x)0,进而可得单调性;(2)问题转化为 h(x)k 恒成立,通过构造函数可得 h(x) min(3,4) ,进而可得 k值【解答】解:(1)f(x )的定义域是(0,1)(1,+) ,f(x) ,令 (x ) +lnx,则 (x) ,x(0,1)时, (x )0, (x)递减,(x ) (1)10,f(x)0 ,f(x )递减,x(1,+)时,(x)

39、0, (x)递增,(x ) (1)10,f (x)0,f(x)递减,综上,f(x)在( 0,1) , (1,+)递减;(2)f(x) (x1)恒成立,令 h(x) k 恒成立,即 h(x)的最小值大于 k,第 23 页(共 25 页)h(x) , (x 1) ,令 g(x)x2lnx(x1) ,则 g(x) 0,故 g(x)在(1,+)递增,又 g(3)1ln30,g(4 )22ln 20,g(x)0 存在唯一的实数根 a,且满足 a(3,4) ,a2lna0,故 xa 时,g(x )0,h(x )0,h(x)递增,1xa 时,g(x )0,h(x )0,h(x)递减,故 h(x) minh(

40、a) a(3,4) ,故正整数 k 的最大值是 3【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,考查转化思想,是一道综合题(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答 .如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修 4-4:坐标系与参数方程(10 分)22 (10 分)在极坐标系中,直线 l:cos ,P 为直线 l 上一点,且点 P 在极轴上方以 OP 为一边作正三角形 OPQ(逆时针方向) ,且 OPQ 面积为 (1)求 Q 点的极坐标;(2)求OPQ 外接圆的极坐标方程,并判断直线 l

41、与OPQ 外接圆的位置关系【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果【解答】解:(1)直线 l:cos ,以 OP 为一边作正三角形 OPQ(逆时针方向) ,设 P( ,) ,由且OPQ 面积为 则: ,由于OPQ 为正三角形,第 24 页(共 25 页)所以:OQ 的极角为且|PO |OQ| 2,所以:Q(2, ) (2)由于OPQ 为正三角形,得到其外接圆的直径 ,设 M( ,)为 OPQ 外接圆上任意一点在 Rt OMR 中,cos( ) ,所以:M( , )满足 故:OPQ 的外接圆方程 ,直线 l:x

42、,:OPQ 的外接圆直角坐标方程为 圆心到直线的距离 d ,即为半径,故直线与圆相外切【点评】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型选修 4-5:不等式选讲 (10 分)23已知函数 f(x )|x +1|2| x1|+a(1)当 a0 时,解不等式 f(x )0;(2)若二次函数 yx 2+8x14 的图象在函数 yf(x)的图象下方,求 a 的取值范围【分析】 (1)a0 时,将不等式移项平方分解因式可解得;(2)根据题意,只需要考虑 x1 时,两函数的图象位置关系,利用抛物线的切线与抛

43、物线的位置关系做【解答】解:(1)当 a0 时,不等式 f(x )0 化为:|x+1| 2|x1|0,移项得|x+1| 2|x 1| ,平方分解因式得(3x1) (x3)0,解得 x3第 25 页(共 25 页)解集为x| x3(2)化简得 f(x ) ,根据题意,只需要考虑 x1 时,两函数的图象位置关系,当 x1 时,f( x)x+3+a,由 yx 2+8x14 得 y2x+8,设二次函数与直线 yx +3+a 的切点为(x 0,y 0) ,则2x 0+81,解得 x0 ,所以 y0 ,代入 f(x) x+3+a,解得 a ,所以 a 的取值范围是 a 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题

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