1、章末复习,第三章 导数应用,学习目标,1.梳理构建本章知识网络. 2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法. 3.能求函数的单调区间、极值及最值. 4.进一步体会导数的应用.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数yf(x),增加,减少,2.求函数yf(x)的极值的方法 (1)求出导数 ； (2)解方程 ， (3)对于方程f(x)0的每一个解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定 . 若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为 . 若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为 .
2、若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0 极值点.,f(x),f(x)0,极值点,极大值点,极小值点,不是,3.函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法 (1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值. (2)将函数yf(x)的各 与端点处的函数值 ， 比较，其中 的一个是最大值， 的一个是最小值.,极值,f(a),f(b),最大,最小,题型探究,类型一 构造法的应用,命题角度1 比较函数值的大小,例1 已知定义在 上的函数f(x)，f(x)是它的导函数，且sin xf(x) cos xf(x)恒成立，则,答案,解析,解析 由f(x)sin xf(x)cos x， 得f(x)sin xf(x)c
3、os x0，,反思与感悟 用构造法比较函数值的大小的关键是构造出恰当的函数，利用函数的单调性确定函数值的大小.,解析,答案,解析 令g(x)xf(x)， 则g(x)xf(x)xf(x)， g(x)是偶函数.g(x)f(x)xf(x)，,当x0时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数.,g(x)是偶函数，,命题角度2 求解不等式,例2 已知定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)2ex的解集为 A.(，0) B.(，2) C.(0，) D.(2，),答案,解析,f(x)f(x)，g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选
4、C.,反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.,解析,答案,(0,10),f(1)1，F(1)f(1)1110.,F(lg x)F(1). F(x)在R上是减少的，lg x1，0x10， 原不等式的解集为(0,10).,例3 已知函数f(x)ax 2ln x(aR). (1)若函数f(x)在区间1，)上是单调函数，求实数a的取值范围；,类型二 利用导数研究函数的单调性,解答,当a0时，f(x)0时，令g(x)ax22xa， 函数f(x)在区间1，)上是单调函数， g(x)0在区间1，)上恒成立，,当且仅当x1时取等号. a1. 当a1时，函数f(x)是增加的. 实数
5、a的取值范围是(，01，).,(2)讨论函数f(x)的单调区间.,解答,解 由(1)可知：当a0时，f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的； 当a1时，此时函数f(x)在(0，)上是增加的. 当0a1时，由ax22xa0，,反思与感悟 利用导数研究函数单调性应注意以下几点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,跟踪训练3 设函数f(x)ln xx22axa2，aR. (1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；,解 当a2时，f(
6、x)ln xx24x4(x0)，,解答,(2)若函数f(x)在1,3上不存在单调增区间，求实数a的取值范围.,解答,设g(x)2x22ax1， 假设函数f(x)在1,3上不存在单调增区间， 必有g(x)0，,例4 已知函数f(x)2axln(2x)，x(0，e，g(x) ，x(0，e，其中e是自然对数的底数，aR. (1)当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；,类型三 函数的极值、最值与导数,解答,解 当a1时，f(x)2xln(2x)，,(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x) ；,证明,当00，此时h(x)是增加的，,由(1)知f(x)min1，,(3)是否存在实数a，使f(x)
7、的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,解答,解 假设存在实数a，使f(x)2axln(2x)，x(0，e有最小值3，,当a0时，因为x(0，e， 所以f(x)0，f(x)在(0，e上是减少的， 所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3，,解得ae2，满足条件；,综上，存在实数ae2，使得当x(0，e时，f(x)的最小值为3.,反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者，求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,跟踪训练4 已知函数
8、f(x) aln x(a0，aR). (1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；,解答,又f(x)的定义域为(0，)， 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x1时，f(x)的极小值为1，无极大值. f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1).,(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0成立，求实数a的取值范围.,解答,若在区间(0，e上存在一点x0，使得f(x0)0成立， 其充要条件是f(x)在区间(0，e上的最小值小于0.,f(x)在区间(0，e上是减少的，,f(x)在区间(0，e上是减少的，,显然，f(x)在区间(0，e上的最小值小于0不成立
9、.,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,得1ln ae，即a(e，).,达标检测,1.下列函数中，在区间(0，)上是增函数的是 A.ysin2x B.yxex C.yx3x D.yxln(1x),解析 对于B，y(xex)(1x)ex，x(0，)， 则y0，yxex在(0，)上是增函数，故选B.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,解析 由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，,所以函数的解析式为f(x)x33x22x. f(x)3x26x2，,1,2,3,4,5,答案,3.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足
10、xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),解析,解析 设g(x)xf(x)，x(0，)， 则g(x)xf(x)f(x)0， g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数. ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)，故选A.,答案,解析,4.若函数f(x)x2 ln x1在其定义域内的一个子区间(a1，a1)内存 在极值，则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,解析 f(x)的定义域为(0，)，,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5
11、,1,2,3,4,5,解 由f(x)x3ax23x， 得f(x)3x22ax3，,f(x)x35x23x，f(x)3x210x3，,1,2,3,4,5,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,解答,1,2,3,4,5,(2)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,解 f(x)3x22ax3， 由f(x)在1，)上是增加的，得3x22ax30，,由于g(x)在1，)上是增加的， g(x)min2，a3， 即实数a的取值范围是(，3.,导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决.不但如此，利用研究导数得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,规律与方法,
