1、第二章 变化率与导数,章末复习,学习目标,1.梳理本章知识要点,构建知识网络. 2.进一步理解导数的概念及其几何意义. 3.能熟练应用公式及运算法则求导.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.导数的概念,2.导数的几何意义 (1)f(x0)是函数yf(x)在点(x0,f(x0)处切线的斜率,这是导数的几何意义. (2)求切线方程 常见的类型有两种: 一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”,这种类型中(x0,f(x0)是曲线上的点,其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). 二是函数yf(x)“过某点的切线方程”,这种类型中,该点不一定为切点,可先设切点为Q(x1,y
2、1),则切线方程为yy1f(x1)(xx1),再由切线过点P(x0,y0)得y0y1f(x1)(x0x1),又y1f(x1), 由上面两个方程可解得x1,y1的值,即求出了过点P(x0,y0)的切线方程.,3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数 f(x)c,则f(x)0; f(x)x,则f(x)x1; f(x)ax(a0且a1),则f(x)axln a; f(x)logax(a0,且a1),则f(x) ; f(x)sin x,则f(x)cos x; f(x)cos x,则f(x) ; f(x)tan x,则f(x) ; f(x)cot x,则f(x),sin x,(2)导数四则运算法则 f(
3、x)g(x)f(x)g(x); f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);,(3)复合函数的求导法则 设复合函数u(x)在点x处可导,yf(u)在点u处可导,则复合函数f(x)在点x处可导,且f(x)f(u)(x),即yxyuux,利用复合函数求导法则求导后,要把中间变量换成自变量.,题型探究,类型一 导数的概念及应用,解答,例1 已知一个质量为1的物体的运动方程是s(t)3t2t2.试求物体在t10时的瞬时速度和加速度.,解 物体的瞬时速度v(t)s(t)6t1, 所以物体在t10时的瞬时速度为v(10)59. 物体的加速度a(t)v(t)6, 所以物体在t10时的加速度为6.,反思
4、与感悟 位移的瞬时变化率是瞬时速度,速度的导数是加速度.,跟踪训练1 对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2),|f(x2)f(x1)|x2x1|恒成立的函数叫作函数,则下面四个函数中属于函数的为 A.f(x) B.f(x)|x| C.f(x)2x D.f(x)x2,解析,答案,解析 |f(x2)f(x1)|x2x1|,,例2 求下列函数的导数.,类型二 导数的计算,解答,(2)yexsin x;,解 y(ex)sin xex(sin x)ex(sin xcos x).,解答,(4)y(23x)(35xx2);,解 y(23x)(35xx2)(23x)(35xx2)9x226x1.,解
5、答,(6)y2xlog2x.,反思与感悟 (1)求函数的导数,首先要看函数式的结构形式是否为复合函数,能否化简等. (2)若函数是复合函数,要注意函数的外层,内层,准确运用复合函数求导公式求导.,解析 f2(x)f1(x)cos xsin x,f3(x)(cos xsin x)sin xcos x, f4(x)cos xsin x,f5(x)sin xcos x,以此类推可得出fn(x)fn4(x). 又f1(x)f2(x)f3(x)f4(x)0,,答案,0,解析,类型三 导数的应用,例3 已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切,则a .,答案,8,解析,得曲
6、线在点(1,1)处的切线的斜率为k2, 所以切线方程为y12(x1),即y2x1. 此切线与曲线yax2(a2)x1相切, 消去y,得ax2ax20, 所以a0且a28a0,解得a8.,反思与感悟 (1)利用导数运算法则解决与切线相关问题的两个方法 此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系. 准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键. (2)常见的两个问题 已知点是否在曲线上,求在某点处的切线方程,还是过某点的切线方程,一定要分清楚. 如果曲线在P(x0,y0)处导数不存在,那么切线不一定不存在,也可能切线垂直
7、于x轴,此种情况可运用数形结合来进行判断.,跟踪训练3 在平面直角坐标系xOy中,若曲线yax2 (a,b均为常数)过点P(2,5),且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行,则ab的值是 .,答案,3,解析,达标检测,1.函数f(x)xsin t的导数为 A.f(x)xcos t B.f(x)sin t C.f(x)sin txcos t D.f(x)cos t,解析 所给函数解析式中,x为自变量,故f(x)sin t.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,2.定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且f(4)2,f(x)的图像在点(4,f(4)处的切线方程为y
8、kx2,则f(4)等于 A.4 B.6 C.10 D.12,解析 由导数的几何意义可知kf(4)2, 又因为切点(4,f(4)在切线上, 所以可得f(4)24210.,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,3,解答,1,2,3,4,5,解 x32e2t.,5.一听汽水放入冰箱后,其摄氏温度x(单位:)随时间t(单位:h)的变化满足关系:x416e2t. (1)求汽水温度x在t1处的导数;,解答,1,2,3,4,5,本章的内容要点有两个,一个是导数的概念求法,另一个是导数的应用. 1.求函数yf(x)在点x0处的导数的方法 一般有两种方法,即导数定义法和导函数的函数值法. (1)用定义求函数在点x0处的导数的方法: 计算函数值的增量yf(x0x)f(x0);,规律与方法,(2)利用导数公式及运算法则求函数的导数f(x),则函数在xx0点的导数为f(x0).,2.利用导数求曲线的切线方程的步骤 (1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0). (2)利用直线方程的点斜式得切线方程为yy0f(x0)(xx0).,