第一章 推理与证明 章末复习ppt课件

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1、章末复习,第一章 推理与证明,学习目标,1.整合本章知识要点. 2.进一步理解归纳推理与类比推理的概念、思维形式、应用等. 3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明. 4.理解数学归纳法,并会用数学归纳法证明问题.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.归纳与类比 (1)归纳推理:由 到 、由 到 的推理. (2)类比推理:由 到 的推理. (3)合情推理:合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.,部分,整体,个别,一般,特殊,特殊,2.综合法和分析法 (1) 是从已知条件推出结论的证明方法; (2)

2、 是从结论追溯到条件的证明方法. 3.反证法 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与_ 矛盾,或与 矛盾,或与 矛盾等.,综合法,分析法,已知条件,假设,定义、公理、定理,4.数学归纳法 数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题.证明时,它的两个步骤缺一不可,它的第一步(归纳奠基)是证当n 时结论成立;第二步(归纳递推)是假设当n 时结论成立,推得当n 时结论也成立.,k,n0,k1,题型探究,类型一 合情推理,例1 (1)观察下列等式:,照此规律,,答案,解析,答案,解析,解析 题干两图中,与PAB,PAB相对应的是三棱锥PABC, PABC; 与PAB两边PA,PB相对

3、应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC. 与PAB的两条边PA,PB相对应的是三棱锥PABC的三条侧棱PA,PB,PC.,反思与感悟 (1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律,但应注意,仅根据一系列有限的特殊事例,所得出的一般结论不一定可靠,其结论的正确与否,还要经过严格的理论证明. (2)进行类比推理时,要尽量从本质上思考,不要被表面现象所迷惑,否则,只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错误.,跟踪训练1 (1)如图所示,已知正方形ABCD的边长为1,以A为圆心,AD长为半径画弧,交BA的延长线于P1,然后以B为圆心,BP1长为半径画弧,交CB的延长线于P2,再以

4、C为圆心,CP2长为半径画弧,交DC的延长线于P3,再以D为圆心,DP3长为半径画弧,交AD的延长线于P4,再以A为圆心,AP4长为半径画弧,如此继续下去,画出的第8道弧的半 径是_,画出第n道弧时,这n道弧的弧长之和为_.,答案,解析,8,第二道弧所在圆的半径为2,圆心角为90,因此弧长为;,(2)设P是ABC内一点,ABC中BC,AC,AB边上的高分别为hA,hB,hC,P到BC,AC,AB三边的距离依次为la,lb,lc,则有 ,类比到空间,设P是四面体ABCD内一点,A,B,C,D四个顶点到对面的距离分别是hA,hB,hC,hD,P到这四个面的距离依次是la,lb,lc,ld, 则有_

5、.,答案,解析,类型二 综合法与分析法,证明,证明 方法一 分析法,(0,),sin 0,,1cos 0, 4cos (1cos )1, 可变形为4cos24cos 10, 只需证(2cos 1)20,显然成立.,方法二 综合法,(0,),sin 0,,反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件.,跟踪训练2 设a,b是两个正实数,且ab,求证:a3b3a2bab2.,证明,证明

6、要证a3b3a2bab2成立,即需证 (ab)(a2abb2)ab(ab)成立, 即需证a2abb2ab成立. 只需证a22abb20成立, 即需证(ab)20成立. 而由已知条件可知,ab,所以ab0, 所以(ab)20显然成立. 即a3b3a2bab2.,类型三 反证法,证明,因为x0且y0, 所以1x2y且1y2x, 两式相加,得2xy2x2y,所以xy2. 这与已知xy2矛盾.,反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命题时,也常用反证法.,跟踪训练3 已知:ac2(bd). 求证:方程x2axb0与方程x2cxd0中至

7、少有一个方程有实数根.,证明,证明 假设两方程都没有实数根, 则1a24b2ac, 即ac2(bd),与已知矛盾,故原命题成立.,类型四 数学归纳法,解答,下面用数学归纳法证明:,(2)假设当nk(k1,kN)时猜想成立,,那么当nk1时,,即当nk1时猜想成立. 由(1)(2)可知,对任意正整数n,猜想均成立.,反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型,其关键点在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由nk到nk1时,除等式两边变化的项外还要利用当nk时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.,跟踪

8、训练4 观察下列四个等式: 第一个式子 11 第二个式子 2349 第三个式子 3456725 第四个式子 4567891049 (1)按照此规律,写出第五个等式;,解答,解 第5个等式:5671381.,(2)请你做出一般性的猜想,并用数学归纳法证明.,解答,解 猜想第n个等式为 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2. 下面用数学归纳法证明. 当n1时,左边1,右边(21)21, 猜想成立. 假设当nk(k1,kN)时,猜想成立, 即有k(k1)(k2)(3k2)(2k1)2.,那么当nk1时, 左边(k1)(k2)(3k2)(3k1)3k(3k1) k(k1)(k2)(3k2)(2k1

9、)3k(3k1) (2k1)2(2k1)3k(3k1) 4k24k18k(2k1)2 2(k1)12. 右边2(k1)12, 即当nk1时,猜想也成立. 根据知,猜想对任意nN都成立.,达标检测,1.数列5,9,17,33,x,中的x等于 A.47 B.65 C.63 D.128,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 5221,9231,17241,33251, 归纳可得:x26165.,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解析,答案,3.若a0,b0,则有,解析,解析 方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根,故选A.,1,2,3,4

10、,5,答案,4.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3axb0至少有一个实根”时,要做的假设是 A.方程x3axb0没有实根 B.方程x3axb0至多有一个实数 C.方程x3axb0至多有两个实根 D.方程x3axb0恰好有两个实根,解答,1,2,3,4,5,左边右边,所以等式成立. (2)假设当nk(k1,kN)时等式成立,,则当nk1时,,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,所以当nk1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对于一切nN,等式都成立.,1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明. 2.综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用.反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法.,规律与方法,3.数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时,它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)当nn0时,结论成立.第二步(归纳递推)假设当nk时,结论成立,推得当nk1时,结论也成立.数学归纳法是在可靠的基础上,利用命题自身具有的传递性,运用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.,

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