1、章末复习一、选择题1函数f(x)xcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A. B(，2)C. D(2，3)考点函数的单调性与导数的关系题点利用导数值的正负号判定函数的单调性答案B解析f(x)cos xxsin xcos xxsin x，若f(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内f(x)大于或等于0(不恒为0)即可只有选项B符合题意2对任意的xR，函数f(x)x3ax27ax不存在极值点的充要条件是()A0a21 Ba0或a7Ca21 Da0或a21考点利用导数研究函数的极值题点极值存在性问题答案A解析f(x)3x22ax7a，当4a284a0，即0a21时，f(x)0恒成立，函数f
2、(x)不存在极值点3若函数f(x)(x2ax1)ex1的一个极值点为x1，则f(x)的极大值为()A1 B2e3C5e3 D1考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案C解析f(x)(x2ax12xa)ex1，由f(1)0，即1a12a0，解得a1，f(x)(x2x2)ex1，则函数的极值点为x12，x21，当x1时，f(x)0，函数是增函数，当x(2,1)时，函数是减函数，f(x)极大值f(2)5e3.4.已知定义在R上的函数f(x)的图像如图，则xf(x)0的解集为()A(，0)(1,2) B(1,2)C(，1) D(，1)(2，)考点函数的单调性与导数的关系题点根据单调性确定导数值
3、的正负号答案A解析不等式xf(x)0等价于当x0时，f(x)0，即当x0时，函数是增加的，此时1x2；或者当x0时，f(x)0，即当x0时，函数是减少的，此时x0，综上，1x2或x1f(x)，f(0)6，其中f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0，) B(，0)(3，)C(，0)(1，) D(3，)考点利用导数研究函数的单调性题点构造法的应用答案A解析不等式exf(x)ex5可化为exf(x)ex50.设g(x)exf(x)ex5，则g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数g(x)在定义域R上是增加的又g
4、(0)0，所以g(x)0的解集为(0，)二、填空题8函数f(x)x33axb(a0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调增区间为_考点利用导数研究函数的极值题点已知极值求参数答案(，1)和(1，)解析令f(x)3x23a0，得x.由题意得f()2，f()6，得a1，b4.由f(x)3x230，得f(x)的单调增区间为(，1)和(1，)9已知函数f(x)满足f(x)f(x)，且当x时，f(x)xsin x，设af(1)，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系是_考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案ca2130，所以f(2)f(1)f(3)即ca0，得1x1，即函数f
5、(x)的增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上是增加的，所以解得11在区间(1，)内恒成立，则实数a的取值范围为_考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案1，)解析由f(x)1，得axln x1，x1，原不等式转化为a，设g(x)(x1)，得g(x)，当x(1，)时，g(x)0，则g(x)在(1，)上是减少的，则g(x)在(1，)上恒成立，a1.三、解答题12已知函数f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的单调减区间；(2)若f(x)在区间2,2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值考点导数在最值问题中的应用题点求函数的最值解(1)f(x)3
6、x26x9，令f(x)0，解得x3，函数f(x)的单调减区间为(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218a22a，f(2)f(2)于是有22a20，a2，f(x)x33x29x2.当x(1,3)时，f(x)0，f(x)在1,2上是增加的又由于f(x)在2，1)上是减少的，f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，f(1)13927，即f(x)的最小值为7.13已知函数f(x)x2aln x(aR)(1)若f(x)在x2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时，x2ln xx3.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数
7、证明不等式(1)解f(x)x，因为x2是一个极值点，所以20，则a4.此时f(x)x，因为f(x)的定义域是(0，)，所以当x(0,2)时，f(x)0，所以当a4时，x2是一个极小值点，故a4.(2)解因为f(x)x，所以当a0时，f(x)的单调增区间为(0，)当a0时，f(x)x，所以函数f(x)的单调增区间为(，)；单调减区间为(0，)(3)证明设g(x)x3x2ln x(x1)，则g(x)2x2x，因为当x1时，g(x)0，所以g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)g(1)0，所以当x1时，x2ln x0时，有0，则不等式x2f(x)0的解集是_考点利用导数求函数的单调区间题点求不等
8、式的解集答案(1,0)(1，)解析令g(x)(x0)，则g(x).当x0时，0，即g(x)0，g(x)在(0，)上为增函数又f(1)0，g(1)f(1)0，在(0，)上，g(x)0的解集为(1，)，此时f(x)0.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在(，0)上，g(x)0.由x2f(x)0，得f(x)0(x0)又f(x)0的解集为(1,0)(1，)，不等式x2f(x)0的解集为(1,0)(1，)15设函数f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在单调增区间，求a的取值范围；(2)当0a0，即a.即实数a的取值范围为.(2)已知0a0，f(4)1642a2a120，所以f(4)64168a8a0.所以f(4)8a，即a1.此时，由f(x0)xx020，得x02或1(舍去)，即f(x)在1,2上是增加的，在2,4上是减少的所以函数f(x)maxf(2).
