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第三章 导数应用 章末复习ppt课件

1、章末复习,第三章 导数应用,学习目标,1.梳理构建本章知识网络. 2.进一步熟练掌握用导数研究函数性质的方法. 3.能求函数的单调区间、极值及最值. 4.进一步体会导数的应用.,知识梳理,达标检测,题型探究,内容索引,知识梳理,1.函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a,b)内的函数yf(x),增加,减少,2.求函数yf(x)的极值的方法 (1)求出导数 ; (2)解方程 , (3)对于方程f(x)0的每一个解x0,分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性),确定 . 若f(x)在x0两侧的符号“左正右负”,则x0为 . 若f(x)在x0两侧的符号“左负右正”,则x0为 .

2、若f(x)在x0两侧的符号相同,则x0 极值点.,f(x),f(x)0,极值点,极大值点,极小值点,不是,3.函数yf(x)在a,b上最大值与最小值的求法 (1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值. (2)将函数yf(x)的各 与端点处的函数值 , 比较,其中 的一个是最大值, 的一个是最小值.,极值,f(a),f(b),最大,最小,题型探究,类型一 构造法的应用,命题角度1 比较函数值的大小,例1 已知定义在 上的函数f(x),f(x)是它的导函数,且sin xf(x) cos xf(x)恒成立,则,答案,解析,解析 由f(x)sin xf(x)cos x, 得f(x)sin xf(x)c

3、os x0,,反思与感悟 用构造法比较函数值的大小的关键是构造出恰当的函数,利用函数的单调性确定函数值的大小.,解析,答案,解析 令g(x)xf(x), 则g(x)xf(x)xf(x), g(x)是偶函数.g(x)f(x)xf(x),,当x0时,xf(x)f(x)0. g(x)在(0,)上是减函数.,g(x)是偶函数,,命题角度2 求解不等式,例2 已知定义域为R的可导函数yf(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且f(0)2,则不等式f(x)2ex的解集为 A.(,0) B.(,2) C.(0,) D.(2,),答案,解析,f(x)f(x),g(x)0,不等式的解集为(0,),故选

4、C.,反思与感悟 构造恰当函数并判断其单调性,利用单调性得到x的取值范围.,解析,答案,(0,10),f(1)1,F(1)f(1)1110.,F(lg x)F(1). F(x)在R上是减少的,lg x1,0x10, 原不等式的解集为(0,10).,例3 已知函数f(x)ax 2ln x(aR). (1)若函数f(x)在区间1,)上是单调函数,求实数a的取值范围;,类型二 利用导数研究函数的单调性,解答,当a0时,f(x)0时,令g(x)ax22xa, 函数f(x)在区间1,)上是单调函数, g(x)0在区间1,)上恒成立,,当且仅当x1时取等号. a1. 当a1时,函数f(x)是增加的. 实数

5、a的取值范围是(,01,).,(2)讨论函数f(x)的单调区间.,解答,解 由(1)可知:当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,)上是减少的; 当a1时,此时函数f(x)在(0,)上是增加的. 当0a1时,由ax22xa0,,反思与感悟 利用导数研究函数单调性应注意以下几点 (1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间. (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价. (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集. (4)求参数的范围时常用到分离参数法.,跟踪训练3 设函数f(x)ln xx22axa2,aR. (1)当a2时,求函数f(x)的单调区间;,解 当a2时,f(

6、x)ln xx24x4(x0),,解答,(2)若函数f(x)在1,3上不存在单调增区间,求实数a的取值范围.,解答,设g(x)2x22ax1, 假设函数f(x)在1,3上不存在单调增区间, 必有g(x)0,,例4 已知函数f(x)2axln(2x),x(0,e,g(x) ,x(0,e,其中e是自然对数的底数,aR. (1)当a1时,求函数f(x)的单调区间和极值;,类型三 函数的极值、最值与导数,解答,解 当a1时,f(x)2xln(2x),,(2)求证:在(1)的条件下,f(x)g(x) ;,证明,当00,此时h(x)是增加的,,由(1)知f(x)min1,,(3)是否存在实数a,使f(x)

7、的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.,解答,解 假设存在实数a,使f(x)2axln(2x),x(0,e有最小值3,,当a0时,因为x(0,e, 所以f(x)0,f(x)在(0,e上是减少的, 所以f(x)minf(e)2aeln(2e)3,,解得ae2,满足条件;,综上,存在实数ae2,使得当x(0,e时,f(x)的最小值为3.,反思与感悟 (1)已知极值点求参数的值后,要代回验证参数值是否满足极值的定义. (2)讨论极值点的实质是讨论函数的单调性,即f(x)的正负. (3)求最大值要在极大值与端点值中取最大者,求最小值要在极小值与端点值中取最小者.,跟踪训练4 已知函数

8、f(x) aln x(a0,aR). (1)若a1,求函数f(x)的极值和单调区间;,解答,又f(x)的定义域为(0,), 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,当x1时,f(x)的极小值为1,无极大值. f(x)的单调增区间为(1,),单调减区间为(0,1).,(2)若在区间(0,e上至少存在一点x0,使得f(x0)0成立,求实数a的取值范围.,解答,若在区间(0,e上存在一点x0,使得f(x0)0成立, 其充要条件是f(x)在区间(0,e上的最小值小于0.,f(x)在区间(0,e上是减少的,,f(x)在区间(0,e上是减少的,,显然,f(x)在区间(0,e上的最小值小于0不成立

9、.,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,得1ln ae,即a(e,).,达标检测,1.下列函数中,在区间(0,)上是增函数的是 A.ysin2x B.yxex C.yx3x D.yxln(1x),解析 对于B,y(xex)(1x)ex,x(0,), 则y0,yxex在(0,)上是增函数,故选B.,1,2,3,4,5,答案,解析,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,解析 由题意可知f(0)0,f(1)0,f(2)0,,所以函数的解析式为f(x)x33x22x. f(x)3x26x2,,1,2,3,4,5,答案,3.已知f(x)是定义在(0,)上的非负可导函数,且满足

10、xf(x)f(x)0,对任意的正数a,b,若ab,则必有 A.bf(b)af(a) B.bf(a)af(b) C.af(a)bf(b) D.af(b)bf(a),解析,解析 设g(x)xf(x),x(0,), 则g(x)xf(x)f(x)0, g(x)在区间(0,)上是减少的或g(x)为常函数. ab,g(a)g(b),即af(a)bf(b),故选A.,答案,解析,4.若函数f(x)x2 ln x1在其定义域内的一个子区间(a1,a1)内存 在极值,则实数a的取值范围是_.,1,2,3,4,5,解析 f(x)的定义域为(0,),,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解答,1,2,3,4,5

11、,1,2,3,4,5,解 由f(x)x3ax23x, 得f(x)3x22ax3,,f(x)x35x23x,f(x)3x210x3,,1,2,3,4,5,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:,解答,1,2,3,4,5,(2)若f(x)在1,)上是增函数,求实数a的取值范围.,1,2,3,4,5,解 f(x)3x22ax3, 由f(x)在1,)上是增加的,得3x22ax30,,由于g(x)在1,)上是增加的, g(x)min2,a3, 即实数a的取值范围是(,3.,导数作为一种重要的工具,在研究函数中具有重要的作用,例如函数的单调性、极值与最值等问题,都可以通过导数得以解决.不但如此,利用研究导数得到函数的性质后,还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题,所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.,规律与方法,