函数周期

1、考点 11 函数的奇偶性与周期性 命题解读命题解读 关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数二次函数指数函数对数函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性单调性与最值函数与方程零。

2、第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 知识重温知识重温 一必记 3 个知识点 1函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果函数 fx的定义域内x 都有， 那么函数 fx是偶函数 关于对称 奇函数 如果函数 fx的定。

3、x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x )，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数 f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数 f(x)g(x)，f(x) g(x)的奇偶性有什么结论？提示 在函数 f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数 f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa) f( x)(a0)_ (2)f(xa) (a0)_。

4、考点11 函数的奇偶性与周期性命题解读关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数二次函数指数函数对数函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性单调性与最值函数与方程零点不等式的解法。

5、奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)；(2)f(xa)(a0)；(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)T2|a。

6、周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.,答案 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.,答案,梳理,(1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,最小的正数,非零的常数,f(xT)f(x),知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期,思考,6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？,答案 是的.由sin(6x)sin x恒成。

7、T ONE,1.函数的奇偶性,f(x)f(x),y轴,f(x)f(x),原点,知识梳理,ZHISHISHULI,2.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期.,f(xT)f(x),最小,最小正数,1.如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？,提示 在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.,【概念方法微思考】,提示 T2|a|； 提示 T2|a|； 提示 T|ab|.,2.已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？ (1)f(xa)f(x)(a0).,(3)f(xa)f(xb)(ab。

8、轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa)f(x)(a0)(2)f(xa)(a0)(3)f(xa)f(xb)(ab)提示(1)T2|a|(2)。

9、题为主， 中等偏上难度. 1函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时， 都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期 知识拓展 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单 调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇，偶 偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇。

10、23 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 教材梳理 1奇偶函数的概念 1偶函数 一般地，如果对于函数 fx的定义域内任意一个 x，都有，那么函数 fx就叫做偶函数 2奇函数 一般地，如果对于函数 fx的定义域内任意一个 x，都有，那么。

11、是第二象限角，舍去)或x(舍去)或x.故选D.2若函数f(x)是以为周期的周期函数，且f1，则f的值是()A1 B1C1 D无法确定答案A解析fff1，故选A.3已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为()A. B. C. D.答案D解析sin ，cos ，角的终边在第四象限，角的最小正值为2.4若三角形的两内角，满足sin cos 0，则此三角形必为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上三种情况都可能考点三角函数值在各象限的符号题点三角函数值在各象限的符号答案B解析sin cos 0，cos 0，为钝角5某点从点(1,0)出发，沿单位圆x2y21按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为()。

12、1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)g(x)，f(x)g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数。

13、CD解析依题意得cos x0，由此解得x.答案D3下列函数中周期为的是()Aysin Bysin 2xCycos Dycos(4x)解析A中，f(x)sinsin()，不满足对任意x，f(x)f(x)；B中，f(x)sin 2(x)sin (2x)，不满足对任意x，f(x)f(x)；C中，f(x)cos (x)cos()，不满足对任意x，f(x)f(x)；D中，f(x)coscos(4x2)cos(4x)f(x)，选D.答案D4已知f(x)是R上的奇函数，且f(1)2，f(x3)f(x)，则f(8)_.解析f(x3)f(x)，f(x)是周期函数，3就是它的一个周期，且f(x)f(x)f(8)f(223)f(2)f(13)f(1)f(1)2.答案25下列说法中正确的为_终边相同的角的同名三角函数值。

14、u，v)，那么点P的纵坐标v定义为角的正弦函数，记作vsin ；点P的横坐标u定义为角的余弦函数，记作ucos .2对于给定的角，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的，所以正弦函数、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数知识点二正弦、余弦函数的定义域函数名定义域正弦函数R余弦函数R知识点三正弦、余弦函数值在各象限的符号象限三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限sin cos 知识点四周期函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的周期特别地，正弦函数、余弦函数是周期函数，称2k(kZ，k0)为正弦函数、余弦函数的周期，其中2是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正周期，简称为周期1函数f(x)x2满足f(36)f(3)，所以f(x)x2是以6为周期。

15、对称.点评研究函数的对称性时，易错的地方是：忽视函数的定义域.如误认为函数ylg sin x的图象是中心对称图形，事实上，这里sin x必须为正，所以ylg sin x的图象不关于原点对称.例2已知函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则函数f(x)的图象的一条对称轴方程是()A.x B.x C.x D.x答案C解析由T得1，所以f(x)sin，由2xk，kZ，解得f(x)的对称轴方程为x，kZ，所以x为f(x)的一条对称轴，故选C.点评解本题的关键是先由周期公式求得的值，再解决对称轴问题，求解对称轴有两种方法：一种是直接求得函数的对称轴；另一种是根据对称轴的特征对应的函数值为函数的最值解决.同样地，求解对称中心也有两种方法.例3函数y3cos x(0x)的图象与直线y3及y轴围成的图形的面积为_.答案3解析如图，由于y3cos x(0x)的图象关于点对称，所以区域()与区域()也关于点成中心对称图形，。

16、1 5.4.2 正弦函数余弦函数的性质正弦函数余弦函数的性质 第第 1 课时课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数周期最小正周期的定义 2 会求函数 yAsinx及 yAcosx的周期重点 3掌。

17、答案D3.函数y2cos(0)的最小正周期为4，则_.解析由周期公式可知4|，由0，可知.答案4.函数y的最小正周期为_.解析因为ysin ，所以最小正周期为4.答案45.函数f(x)且f(x)的周期为2，则f(2 019)_.解析由于f(x)的周期为2，f(2 019)f(1 00921)f(1)1.答案16.设函数yf(x)，xR，若函数yf(x)为偶函数并且图象关于直线xa(a0)对称，求证：函数yf(x)为周期函数.证明由yf(x)的图象关于xa对称得f(2ax)f(x)，f(2ax)f(x).f(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(2ax)f(x)，f(x)是以2a为周期的函数.7.已知函数f(x)log|sin x|.判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期.解f(x)log|sin(x)|log|。

18、答诱导公式sin(x2k)sinx(kZ)当自变量x的值增加2的整数倍时，函数值重复出现2设f(x)sinx，则sin(x2k)sinx可以怎样表示？答f(x2k)f(x)这就是说：当自变量x的值增加到x2k时，函数值重复出现预习导引1函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期2正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x2k)sin_x，cos(x2k)cos_x知ysinx与ycosx都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2.3yAsin(x)，yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)及yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的最小正周期T.。

19、义域内的每一个x值 ，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期2最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期知识点二正弦函数、余弦函数、正切函数的周期1正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k(kZ且k0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2.2正切函数的周期正切函数是周期函数，最小正周期是.3函数yAsin(x)和yAcos(x)的周期一般地，函数yAsin(x)和yAcos(x)(其中A，为常数，且A0，0)的周期T.1周期函数yf(x)的定义域可以为a，b(a，bR)()提示周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界2任何周期函数都有最小正周期()提示常函数f(x)c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期3当x时，coscos 。