1、第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 【知识重温】【知识重温】 一、必记 3 个知识点 1函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果函数 f(x)的定义域内_x 都有_， 那么函数 f(x)是偶函数 关于_对称 奇函数 如果函数 f(x)的定义域内_x 都有_， 那么函数 f(x)是奇函数 关于_对称 2.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上 的单调性_(填“相同”、“相反”) (2)在公共定义域内 ()两个奇函数的和函数是_，两个奇函数的积函数是_. ()两个偶函数的和函数、积函数是_. ()一个奇函数与一个偶函
2、数的积函数是_. (3)若 f(x)是奇函数且在 x0 处有意义，则 f(0)_. 3函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何 值时，都有 f(xT)_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中_的正数，那么这 个_就叫做 f(x)的最小正周期 (3)常见结论： 若 f(xa)f(x)， 则 T2a； 若 f(xa) 1 fx， 则 T2a； 若 f(xa) 1 fx， 则 T2a. 二、必明 2 个易误点 1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关
3、于原点对称定义域关于原点对称 是判断函数具有奇偶性的一个必要条件 2判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(x)f(x)或 f(x) f(x)，而不能说存在 x0使 f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0) 【小题热身】【小题热身】 一、判断正误 1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)“ab0”是“函数 f(x)在区间a，b(ab)上具有奇偶性”的必要条件( ) (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)0.( ) (3)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称( ) (4)若函数 yf(xb)是奇函数，则
4、函数 yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称( ) (5)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数，若在(，0)上是减函数，则在(0，) 上是增函数( ) (6)若 T 为 yf(x)的一周期，那么 nT(nZ)是函数 f(x)的周期( ) 二、教材改编 2下列函数中为奇函数的是( ) Ayx2sin x Byx2cos x Cy|ln x| Dy2 x 3已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x)，则 f(x)的解析式为 _ 三、易错易混 4关于函数 f(x) x24 4x2与 h(x) x4 4x的奇偶性，下列说法正确的是 ( ) A两函数均为偶函数
5、 B两函数都既是奇函数又是偶函数 C函数 f(x)是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 D函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，h(x)是非奇非偶函数 5设 f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数，f(2)0，则fx x 0 的解集为( ) Ax|x2 Bx|x2 或 0 x2 Cx|2x2 Dx|2x0 或 0 x2 四、走进高考 6 2019 全国卷已知f(x)是奇函数， 且当x0时， f(x)eax.若f(ln 2)8， 则a_. 考点一 函数的奇偶性分层深化型 考向一：判断函数的奇偶性 12021 成都市高三阶段考试已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函 数的是( )
6、 yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x. A B C D 2判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 3x2 x23； (2)f(x)(1x) 1x 1x； (3)f(x)lg1x 2 |x2|2； (4)f(x) x2x，x0. 考向二：函数奇偶性的应用 3 (1)2019 全国卷设 f(x)为奇函数， 且当 x0 时， f(x)ex1， 则当 x0 时， f(x)( ) Ae x1 Bex1 Ce x1 Dex1 (2)2021 浙江高三月考若函数 f(x) x x2xa为奇函数，则实数 a 的值为_ 悟 技法 1.判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法 (2)图象法 (3
7、)性质法 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶， 偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇 2函数奇偶性的应用 (1)求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x) f(x)0 得到关于参数的恒等式，由 系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值 (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象 (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的
8、函数值 注意 对于定义域为 I 的奇函数 f(x)，若 0I，则 f(0)0. 考点二 函数的周期性互动讲练型 例 1 (1)2021 绵阳模拟函数 f(x) 2x1，1x3， fx4，x3， 则 f(9)_. (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) 1 fx，当 x0,2)时，f(x)xe x，则 f(2 020) _. 悟 技法 1.求函数周期的方法 方法 解读 适合题型 定义法 具体步骤为：对于函数 yf(x)，如果能够找到一个非零 常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么 T 就是函数 yf(x)的周期 非零常数 T 容易确定的函数
9、 递推法 采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若 f(x a)f(x)， 则f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)， 所以 2a 为 f(x)的一个周期 含有 f(xa)与 f(x)的关系式 换元法 通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若 f(x a)f(xa)，令 xat，则 xta，则 f(t2a)f(t aa)f(taa)f(t)，所以 2a 为 f(x)的一个周期 f(bx a)f(bx c)型关系式 2.函数周期性的应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都 具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结
10、论：若 T 是 函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期. 变式练(着眼于举一反三) 1已知定义在 R 上的函数满足 f(x2) 1 fx，当 x(0,2时，f(x)2x1.则 f(17) _，f(20)_. 2已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x0(x1x2)恒成立，则 f 15 2 ，f(4)，f 11 2 的大小关系 正确的是( ) Af 11 2 f(4)f 15 2 Bf(4)f 11 2 f 15 2 Cf 15 2 f(4)f 11 2 Df 15 2 f 11 2 f(4) 悟 技法 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数
11、单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数 f(x)是偶函数， 那么 f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间 上具有相反的单调性 (2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将 所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 (3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所 在的区间，然后利用单调性求解. 同类练(着眼于触类旁通) 32020 全国卷设函数 f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)( ) A是偶函数，且在 1 2， 单调递增 B是奇
12、函数，且在 1 2， 1 2 单调递减 C是偶函数，且在 ，1 2 单调递增 D是奇函数，且在 ，1 2 单调递减 变式练(着眼于举一反三) 42021 武昌区调研考试已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且函数 yf(x1)为偶函数， 当 0 x1 时，f(x)x3，则 f 5 2 _. 拓展练(着眼于迁移应用) 5 2021 广东珠海模拟定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(2x)， f(x)f(x)， 且在0,1 上有 f(x)x2，则 f 2 0191 2 ( ) A. 9 4 B. 1 4 C9 4 D 1 4 6 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(
13、x)， 且在区间0,2上是增函数， 则( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 第三节第三节 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 【知识重温】【知识重温】 任意一个 f(x)f(x) y 轴 任意一个 f(x)f(x) 原点 相同 相反 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 0 f(x) 存在一个最小 最 小正数 【小题热身】【小题热身】 1答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2解析：A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 是非奇非偶函数 答案：A 3解析：当 x0， f(x)(
14、x)(1x)x(1x) 又 f(x)为奇函数， f(x)f(x)， f(x)x(1x)，即 f(x)x(1x) 答案：f(x) x1x，x0 x1x，x0 4解析：函数 f(x) x24 4x2的定义域满足 x240， 4x20， 即 x24，因此函数 f(x) 的定义域为2,2，关于原点对称，此时 f(x)0，满足 f(x)f(x)，f(x)f(x)，所以函 数 f(x)既是奇函数又是偶函数 而函数 h(x) x4 4x的定义域为4， 不关于原点对称， 因此函数 h(x)是非奇非偶函数 答案：D 5解析：f(x)为奇函数，且在(，0)内是减函数， 函数 f(x)在(0，)上也为减函数 f(2
15、)0，f(2)f(2)0，故函数 f(x)的大致图象如图所示 则由fx x 0，可得 xf(x)0，即 x 和 f(x)异号，由图象可得 x2. 故fx x 0 的解集为x|x2，故选 A. 答案：A 6解析：解法一 由 x0 可得x0 时，f(x)f(x)ea( x)eax， 则 f(ln 2)e aln 28， aln 2ln 83ln 2，a3. 解法二 由 f(x)是奇函数可知 f(x)f(x)， f(ln 2)f(ln 1 2)(ealn 1 2)8， aln 1 2ln 83ln 2， a3. 答案：3 课堂考点突破课堂考点突破 考点一 1解析：因为 yf(x)是定义在 R 上的奇
16、函数，所以 f(x)f(x)，由 f(|x|)f(|x|)，知 是偶函数；由 f(x)f(x)f(x)，知是奇函数；由 yf(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 yx 是定义在 R 上的奇函数，奇奇偶，知是偶函数；由 f(x)(x)f(x)x， 知是奇函数 答案：D 2解析：(1)由 3x20， x230， 得 x23，解得 x 3，即函数 f(x)的定义域为 3， 3， f(x) 3x2 x230. f(x)f(x)且 f(x)f(x)， 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (2)由1x 1x0 得1x0， |x2|2， 得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称 x20，|x2|2x，f
17、(x)lg1x 2 x . 又 f(x)lg1x 2 x lg1x 2 x f(x)， 函数 f(x)为奇函数 (4)显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当 x0， 则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，x0，则 f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知，对于定义域内的任意 x， 总有 f(x)f(x)，函数 f(x)为奇函数 3解析：(1)当 x0，因为当 x0 时，f(x)ex1，所以 f(x)e x1.又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)e x1.故选 D 项 (2)由于函数 f(x)为奇函数，故 f(x)f(x)0， 即 x x2x
18、a x x2xa0， 即 42ax2 x2x2xaxa0，故 42a0，即 a2. 答案：(1)D (2)2 考点二 例 1 解析：(1)f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2111. (2)因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) 1 fx， 所以 f(x4) 1 fx2f(x)， 所以函数 f(x) 的周期为 4. 当 x0,2)时，f(x)xex， 所以 f(2 020)f(50540)f(0)0e01. 答案：(1)1 (2)1 变式练 1解析：因为 f(x2) 1 fx， 所以 f(x4) 1 fx2f(x)， 所以函数 yf(x)的周期 T4. f(17)f(44
19、1)f(1)1. f(20)f(444)f(4)f(22) 1 f2 1 221 1 3. 答案：1 1 3 2解析：因为当 0 x0 时， 令 f(x1)0， 得 0 x12， 1x3； 当 x0 时， 令 f(x1)0， 得2x10， 1x1，又 x0，1xf(0)f 1 2 ， 即 f 15 2 f(4)f 11 2 . 答案：C 同类练 3解析： |2x1|0， |2x1|0 x x x 1 2 ，xR ，函数 f(x)的定义域关于原点对称，又 f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)是奇函数，排除 A、C； 当 x 1 2， 1 2 时，f(
20、x)ln(2x1)ln(12x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20，f(x)在 1 2， 1 2 单调递增，排除 B；当 x ，1 2 时，f(x)ln(2x1)ln(12x)，则 f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20，f(x)在 ，1 2 单调递减，D 正确 答案：D 变式练 4解析：解法一 因为 f(x)是 R 上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以 f(x1)f(x 1)f(x1)，所以 f(x2)f(x)，f(x4)f(x)，即 f(x)的周期 T4，因为 0 x1 时， f(x)x3，所以 f 5 2 f 5 24 f 3 2 f 3 2 f 11 2
21、 f 1 2 f 1 2 1 8. 解法二 因为 f(x)是 R 上的奇函数，yf(x1)为偶函数，所以 f(x1)f(x1)f(x 1)，所以 f(x2)f(x)，由题意知，当1x0 时，f(x)x3，故当1x1 时，f(x)x3， 当 1x3 时，1x21，f(x)(x2)3，所以 f 5 2 5 22 31 8. 答案：1 8 拓展练 5解析：因为 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数，因为 f(x)f(2x)，所以 f(x)f(2 x)f(x)，所以 f(4x)f(2x)f(2x)f(x)，所以函数 f(x)是以 4 为周期的函数，所 以 f 2 0191 2 f 2 0201 2 f 1 2 f 1 2 ， 因为在0,1上有 f(x)x2，所以 f 1 2 1 2 21 4，所以 f 2 0191 2 f 1 2 1 4. 答案：D 6解析：因为 f(x4)f(x)，所以 f(x8)f(x4)f(x)，所以函数 f(x)的周期 T8， 所以 f(25)f(1)，f(11)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(0)，又因为奇函数 f(x)在区间0,2 上是增函数， 所以 f(x)在区间2,2上是增函数， 所以 f(1)f(0)f(1)， 所以 f(25)f(80)f(11) 答案： D
