1、23 函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性 【教材梳理】 1奇、偶函数的概念 (1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做偶函数 (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做奇函数 2奇、偶函数的图象特征 偶函数的图象关于_对称；奇函数的图象关于对称 3周期函数的概念 (1)周期、周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个_T，使得当 x 取定义域内的_值时，都有 _，那么函数 f(x)就叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中
2、存在一个_的正数， 那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期 【常用结论】 4函数奇偶性的几个常用结论 (1)具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇 偶性”的必要不充分条件 (2)f(x)为偶函数f(x)f(|x|) (3)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0 (4)若 f(x)既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在 x 轴上 (5)若函数 f(x)为奇函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为增(减)函数；若 函数 f(x)为偶函数，且在a，b上为增(减)函数，则 f(x)在b，a上为减(增)函数 (6)奇、偶函数
3、的“运算”(共同定义域上)：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶 偶，奇偶奇 (7)常用的两个等价关系 f(xa)为偶函数f(xa)f(xa)f(x)的图象关于直线 xa 对称 f(xa)为奇函数f(xa)f(xa)f(x)的图象关于点(a，0)对称 5函数周期性的几个常用结论 (1)周期函数的定义域必定至少一端是无界的 (2)T 是 f(x)的周期，则 nT(nN*)也是 f(x)的周期 (3)若函数 f(x)是周期函数，且周期为 T，则函数 f(axb)(a0)也为周期函数，且周期 T T |a| (4)以下等式中任何一个可推得 2a 为 f(x)的周期(a0)：f(xa)f(x)；f(xa) 1
4、 f（x）；f(xa) 1 f（x）；f(xa) 1f（x） 1f（x） 6抽象函数图象的对称性 函数图象的对称性主要有两种，一种是轴对称，另一种是中心对称函数图象的对称性主要包括函数图 象自身的对称性(自对称)及不同函数图象之间的对称性(互对称) (1)一个函数的自对称 轴对称 若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)或 f(x)f(2ax)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 特别地，当 a0 时，f(x)f(x)，则函数 yf(x)的图象关于 y 轴对称，函数为偶函数 推广：若函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 yf(x)的图象关于直线 xab 2 对称 中
5、心对称 若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0 或 f(x)f(2ax)0，则函数 yf(x)的图象关于点(a，0)对称 特别地，当 a0 时，f(x)f(x)0，则函数 yf(x)的图象关于原点对称，函数为奇函数 推广：若函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)c，则函数 yf(x)的图象关于点 ab 2 ，c 2 对称 (2)两个函数的互对称 轴对称 函数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于直线 xa 成轴对称 特别地，当 a0 时，函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于 y 轴对称 推广：两个函数 yf(ax)与 yf(bx)的图象关于直线 xba 2 对称 中心对称 函
6、数 yf(x)与 yf(2ax)的图象关于点(a，0)成中心对称 特别地，当 a0 时，函数 yf(x)与 yf(x)的图象关于原点成中心对称 推广：两个函数 yf(x)与 y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称 7对称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两条对称轴 xa，xb(ab)，则函数 f(x)是周期函数， 且周期 T2(ba)(不一定是最小正周期，下同) (2)如果函数 f(x)(xD)在定义域内有两个对称中心 A(a，0)，B(b，0)(a0 且 a1) 解：(1)定义域要求1x 1x0，所以1x1， 所以 f(x)的定义域不关于原点对称， 所以 f
7、(x)不具有奇偶性 (2)解法一(定义法)：当 x0 时，f(x)x22x1，x0，f(x)(x)22(x)1x2 2x1f(x)； 当 x0 时，f(x)x22x1，x0， f(x)(x)22(x)1x22x1f(x) 所以 f(x)为奇函数 解法二(图象法)：作出函数 f(x)的图象，由图象关于原点对称的特征知函数 f(x)为奇函数 (3)由 4x20， |x3|30得2x2 且 x0 所以 f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称 所以 f(x) 4x2 （x3）3 4x2 x 所以 f(x)f(x)，所以 f(x)是奇函数 (4)由 9x20， x290 得 x 3 所以 f(
8、x)的定义域为3，3，关于原点对称 又 f(3)f(3)0，f(3)f(3)0 所以 f(x) f(x) 所以 f(x)既是奇函数，又是偶函数 (5)由1x 1x0，得1x1，即 f(x)ln 1x 1x的定义域为(1，1) 又 f(x)ln1x 1xln 1x 1x 1 ln1x 1xf(x)，故 f(x)为奇函数 (6)因为函数的定义域为 R， 又因为 f(x)f(x) logax （x）21loga(x x21) loga( x21x)loga( x21x) loga( x21x)( x21x) loga(x21x2)loga10 即 f(x)f(x)，所以 f(x)为奇函数 【点拨】
9、判断函数奇偶性的常用方法： 定义法： 图象法： 还可用如下“运算”确定奇偶性(在共同定义域上)： (i)如果任意两个奇(偶)函数 f(x)与 g(x)的线性组合 af(x)bg(x)不为零，其中 a，b 是常数， 则 af(x)bg(x)仍是奇(偶)函数这里注意常数函数 yt(t 为常数)是特殊的偶函数，当 t0 时 既是奇函数又是偶函数；(ii)任意奇函数与偶函数的积与商仍是奇函数，如 y x 3x21是奇函 数任意偶函数与偶函数(或奇函数与奇函数)的积与商仍是偶函数(商的情况下，要求分母不 为 0)，如 y2|x|2 3x21是偶函数 对于分段函数的奇偶性应分段验证，但验证过程往往比较繁琐
10、，且容易判断错误，通 常是用图象法来判断 对于含有 x 的对数式或指数式的函数常用“f(x) f(x)0”来判断 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) Af(x)xsin2x Bf(x)x2cosx Cf(x)3x 1 3x Df(x)x2tanx 解：对于选项 A，函数的定义域为 R，f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，所 以 f(x)xsin2x 为奇函数；对于选项 B，函数的定义域为 R，f(x)(x)2cos(x)x2 cosxf(x)，所以 f(x)x2cosx 为偶函数；对于选项 C，函数的定义域为 R，f(x)3 x 1 3 x 3x 1 3x f(
11、x)，所以 f(x)3x 1 3x为奇函数；只有 f(x)x 2tanx 既不是奇函数也 不是偶函数故选 D (2)【多选题】下列函数中，在其定义域内是奇函数的有( ) Ayxcosx Byexx2 Cylg( x21x) Dy|2x4|2x4| 解：yxcosx 为奇函数，yexx2为非奇非偶函数，由 f(x)f(x)0 知 ylg( x21x)与 y|2x4|2x4|为奇函数故选 ACD (3)(2019贵州凯里一中模拟)已知 f(x) x 2x1，g(x) x 2，则下列结论正确的是 ( ) Af(x)g(x)是偶函数 Bf(x)g(x)是奇函数 Cf(x)g(x)是奇函数 Df(x)g
12、(x)是偶函数 解：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x) x 2x1 x 2 x2xx 2（2x1），定义域为(，0)(0，) 因为 h(x) x 2 xx 2（2 x1）x（12 x） 2（2x1）h(x)， 所以 h(x)f(x)g(x)是偶函数 令 F(x)f(x)g(x) x2 2（2x1），定义域为(，0)(0，) 所以 F(x) （x）2 2（2 x1） x22x 2（12x）， 因为 F(x)F(x)且 F(x)F(x)，所以 F(x)f(x)g(x)既不是奇函数也不是偶函数故选 A (4)已知函数 f(x) x2x，x0， x2x，x0判断函数的奇偶性 解：当 x0 时，
13、f(x)x2x，x0， f(x)(x)2xx2xf(x)； 当 x0 时，f(x)x2x，x0， f(x)(x)2xx2xf(x)所以 f(x)是奇函数 另解：作图 命题角度 2 已知函数奇偶性求参数 已知 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，则 a( ) A1 B1 C2 D2 解法一：由已知可得 f(x)f(x)，所以axlog2(4 x1)axlog 2(4 x1)， 所以 log2 4x1 4 x12ax，所以 log2 4x（4x1） 4x（4 x1）2ax，所以 2x2ax，所以 a1 解法二：因为 f(x)axlog2(4x1)是偶函数，所以 f(1)f(1)，即 alog2
14、(411) alog2(4 11)，解得 a1故选 A 【点拨】 利用函数的奇偶性的定义 f(x)f(x)或 f(x)f(x)可 求函数值，由奇、偶函数定义的任意性或比较系数可求参数值 若函数 f(x)（x1）（xa） x 为奇函数，则 a_ 解法一：因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，即（x1）（xa） x （x1）（xa） x ，显然 x0，整理得 x2(a1)xax2(a1)xa，即 2(a1)x 0，该式对任意 x0 恒成立，故 a10，解得 a1 解法二：因为 f(x)为奇函数，定义域为(，0)(0，)观察函数解析式，取 x1，则 f(1)f(1)0，解得 a1故填1 考
15、点二考点二 函数的周期性函数的周期性 (2018江苏卷)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)， 且在区间(2， 2上， f(x) cosx 2 ，0 x2， x1 2 ，2x0， 则 f(f(15)的值为_ 解：因为 f(x4)f(x)，所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(15)f(1) 11 2 1 2，所 以 f(f(15)f 1 2 cos 4 2 2 故填 2 2 【点拨】 利用函数的周期性， 可将其他区间上的求值转化 到已知区间上求解 已知函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x2) 1 f（x），若 f(0) 1 2，则 f(2 022)( ) A1 2 B
16、 1 2 C2 D2 解：因为 f(x2) 1 f（x），所以 f(x4)f(x22) 1 f（x2）f(x)，即函数 的周期是 4，所以 f(2 022)f(50542)f(2)，又因为 f(0)1 2，所以 f(2) 1 f（0） 2故选 C 考点三考点三 函数性质的综合运用函数性质的综合运用 命题角度 1 利用函数性质求解析式 (1)(2019全国卷)设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)ex1，则当 x 0 时，f(x)( ) Ae x1 Bex1 Cex1 Dex1 解： 当 x0 时， x0， 则 f(x)f(x)(e x1)ex1 故 选 D (2)已知函数 f(x)是定
17、义在 R 上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称若 f(x) x(0 x1)，则当 x5，4时，函数 f(x)_ 解：由函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称， 有 f(x1)f(1x)，即有 f(x)f(x2) 又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 故有 f(x)f(x)故 f(x2)f(x) 从而 f(x4)f(x2)f(x)， 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数 由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，有 f(0)0 x1，0)时，x(0，1，f(x)f(x) x 故 x1，0时，f(x) x x5，4时，x41，0， f(x)f(x4) x4 从而，x5，4时，函数
18、f(x) x4 故填 x4 (3)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x1)2f(x)， 当 x0， 1时， f(x)x2x， 则当 x 4，3时，f(x)的解析式为_ 解：当 x4，3时，x40，1，此时 f(x4)(x4)2x4x27x 12，由 f(x1)2f(x)得 f(x4)2f(x3)4f(x2)8f(x1)16f(x)，故所求 f(x)的解 析式为 f(x) 1 16(x 27x12)故填 f(x) 1 16(x 27x12) 【点拨】 利用函数性质求解析式，主要有利用奇偶性、周期性、 对称性、伸缩性等求解析式，关键在于把所求区间上的变量转化到已 知区间有些也可通过数形结合利
19、用函数图象变换规则求 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)_ 解：当 x0，f(x)(x)3ln(1x)，因为 f(x)是 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)故填 x3ln(1x) (2)已知函数 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(2x)f(x)0，当 x2， 0时，f(x)x22x，则当 x4，6时，f(x)_ 解：由题意知 f(2x)f(x)0，即 f(2x)f(x)， 则 f(x4)f(x2)f(x)， 所以函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 又当 x2，
20、0时， f(x)x22x， 且 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 x0， 2时，x2，0，f(x)f(x)(x22x)x22x， 所以当 x4，6时，x40，2，f(x)f(x4)(x4)22(x4)x210 x 24故填 x210 x24 (3)(2020 四川阆中中学高一上期中)函数 f(x)满足 f(x2)4f(x)，且 xR，当 x0，2)时，f(x)x24x16，则当 x4，2)时，f(x)_ 解：x4，2)，则 x22，0)，x40，2)， 故 f(x4)4f(x2)16f(x)，即 f(x) 1 16f(x4) 1 16(x4) 24(x4)16 1 16x 21 4x1
21、故填 1 16x 21 4x1 命题角度 2 函数奇偶性与单调性的综合问题 (1)(2020届安徽六校高三上第一次素质测试)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函 数，且在区间(，0)上单调递增若实数 a 满足 f(2|a 1|)f( 2)，则 a 的取值范围 是_ 解： 由题意 f(x)在(0， )上单调递减， 又 f(x)是偶函数， 则不等式 f(2|a 1|)f( 2)可化为 f(2|a 1|)f( 2)，则 2|a1| 2，|a1|1 2，解得 1 2af(x1) 成立的 x 的取值范围是( ) A(，1) B(1，) C 1 3，1 D ，1 3 (1，) 解：f(x)e xex 1
22、x21f(x)，所以 f(x)为 R 上的偶函数，又 f(x)e xex 2x （x21）2，当 x0 时，f(x)0，故 f(x)在0，)上为增函数 由 f(2x)f(x1)得|2x|x1|， 故 3x22x10，解得 x1故选 D 【点拨】 单调性和奇偶性是函数的两条重要基本性质单调性与奇 偶性之间有着密切的联系：奇函数在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性，且 f(x)f(x)；偶函数在关于原点对称的区间上具有相 反的单调性，且 f(x)f(x)f(|x|) (1)(2019届德州市高三第二次练习)已知定义在 R 上的函数 f(x)在区间0，)上单 调递增， 且yf(x1)的图象关于x
23、1对称， 若实数a满足f(log2a)f(2)， 则a的取值范围是 ( ) A 0，1 4 B 1 4， C 1 4，4 D(4，) 解：根据题意，yf(x1)的图象关于直线 x1 对称，则函数 f(x)的图象 关于 y 轴对称，即函数 f(x)为偶函数，又由函数 f(x)在区间0，)上单调递 增，可得 f(|log2a|)f(2)，则|log2a|2，即2log2a2，解得1 4a1 的解集为( ) Ax|x3 Bx|1x3 Cx|1x2 Dx|0 x1，得 f(|x2|)f(1)，故|x2|1，得 x3故选 A (3)(2021 届江苏启东中学高三期初)设函数 f(x)ln(1|x|) 1
24、 1x2， 则使得 f(x)f(2x1)成立的 x 的取值范围是 ( ) A 1 3，1 B ，1 3 (1，) C 1 3， 1 3 D ，1 3 1 3， 解法一：由 f(x)ln(1|x|) 1 1x2可知 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，所以 f(x)f(2x 1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|x2(2x1)23x24x101 3xf(2x1)，得 f(1)f(1)，这显然不成立，所以 x1 不满足 f(x)f(2x1)， 由此可排除 D；又 f(0)1，f(1)ln21 2，f(0)f(2x1)，由此可排 除 B，C故选 A 命题角度 3 函数奇偶性(对称性)与周
25、期性的综合问题 (1)(2019 重庆市广益中学高三月考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f 3 2x f x3 2 ，且 x(3 2，0)时，f(x)log2(3x1)，则 f(2 020) ( ) A4 Blog27 C2 D2 解：因为函数 f(x)满足 f 3 2x f x3 2 ，所以 f(x3)f(x)，即函数 f(x)是以 3 为周期 的周期函数，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 x 3 2，0 时，f(x)log2(3x1)， 所以 f(2 020)f(1)f(1)log242故选 D (2)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(
26、1 x)，若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(2 021) ( ) A2 021 B2 C0 D50 解：f(x)是定义域为(，)的奇函数，可得 f(x)f(x)，f(1x)f(1 x)即有 f(x2)f(x)， 即 f(x2)f(x)， 进而得到 f(x4)f(x2)f(x)， 所以 f(x)是周期为 4 的函数，若 f(1)2，可得 f(3)f(1)f(1)2，f(2) f(0)0，f(4)f(0)0，则 f(1)f(2)f(3)f(4)20200，可得 f(1) f(2)f(3)f(2 021)505f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)505022故 选 B (3)已知函
27、数 f(x)满足 f(x2)f(x2)，yf(x2)的图象关于 y 轴对称，当 x(0， 2)时，f(x)log2x2，则下列结论中正确的是( ) Af(45)f(7)f(65) Bf(7)f(45)f(65) Cf(7)f(65)f(45) Df(45)f(65)f(7) 解： 由题知 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 其图象的对称轴为 x2因 为当 x(0， 2)时， f(x)log2x2， 所以 f(x)在区间(0， 2)上是增函数又 f(45) f(05)，f(7)f(3)f(21)f(21)f(1)，f(65)f(25)f(205) f(205)f(15)，且 0051152，所
28、以 f(05)f(1)f(15)， 即 f(45)f(7)f(65)故选 A 【点拨】 奇偶性是对称性的特殊情形， 奇偶性与周期性的综合 问题，以求值、比较大小等居多，关键在于转化，即利用性质将待 求转化到已知区间或特殊值，数形结合往往更直观明了，同时注意 借助对称性与周期性的相关结论(见【常用结论】)解题 (1)(2019惠州四月模拟)已知奇函数 f(x)(xR)满足 f(x 4)f(x2)， 且当 x(0， 3)时， f(x)1 x3sin 2x， 则 f(2 020) ( ) A1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 2 解：因为奇函数 f(x)(xR)满足 f(x4)f(x2)， 所以
29、 f(x6)f(x)， 因为当 x(0，3)时，f(x)1 x3sin 2x， 所以 f(2 020)f(33762)f(2)f(2) 1 23sin 1 2故选 D (2)(2020宝鸡模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上 的奇函数，且 g(x)f(x1)，则 f(2 021)f(2 023)的值为( ) A1 B1 C0 D2 解：由题意，得 g(x)f(x1)， 又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 g(x) g(x)，f(x)f(x)， 所以 f(x1)f(x1)， 所以 f(x)f(x2)，所以 f(x)f
30、(x4)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f(2 021)f(1)，f(2 023)f(3)f(1)， 又因为 f(1)f(1)g(0)0， 所以 f(2 021)f(2 023)0 另解：设 g(x)f(x)0 满足题意，则所求为 0故选 C (3)(2020届安徽皖南八校高三上第二次联考)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x 2)f(x)，且在区间1，2上是减函数，令 aln2，b 1 4 1 2，clog 1 2 32，则 f(a)，f(b)， f(c)的大小关系为( ) Af(b)f(c)f(a) Bf(a)f(c)f(b) Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b) 解：因为 f(x)是 R 上的奇函数，且满足 f(x2)f(x)，所以 f(x2)f(x)，所以函 数 f(x)的图象关于 x1 对称又 f(x4)f(x)，所以函数 f(x)是以 4 为周期的函数因为函 数 f(x)在区间1，2上是减函数，所以函数 f(x)在1，1上为增函数，且 f(2)f(0)0，由 题知 c5，b2，0a1，又 f(c)f(1)，所以 f(c)f(b)f(a)故选 C
