1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第四讲 函数的奇偶性与周期性 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 函数的奇偶性 f(x)f(x) 偶函数 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 定义 都有_，那么函数 f(x)是偶函数 都有_，那么 函数f(x)是奇函数 图象特征 关于_对称 关于_对称 f(x)f(x) y轴 原点 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 函数的周期性 1周期函数 对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的 任何值时，都有
2、_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期 2最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_，那么这 个_就叫做f(x)的最小正周期 f(xT)f(x) 最小的正数 最小正数 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 1奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(x)f(x)f(x)f(x)0 f（x） f（x） 1(f(x)0)f(x)为偶函 数； (2)f(x)f(x)f(x)f(x)0 f（x） f（x） 1(f(x)0)f(x)为 奇函数 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 2对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T (1)若f(xa)f(x)，则T2|
3、a|； (2)若f(xa) 1 f（x），则T2|a|； (3)若f(xa)f(xb)，则T|ab|. 3函数图象的对称关系 (1)若函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于直线x ab 2 对称； 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (2)若函数f(x)满足关系f(ax)f(bx)，则f(x)的图象关于点 ab 2 ，0 对称 4一些重要类型的奇偶函数 (1)函数f(x)axa x为偶函数，函数f(x)axax为奇函数； (2)函数f(x)a xax axa xa 2x1 a2x1为奇函数； (3)函数f(x)loga bx bx为奇函数； (4)函数f(x)loga
4、(x x21)为奇函数 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数yx2，x(0，)是偶函数 ( ) (2)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)0. ( ) (3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对 称 ( ) (4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中 心对称 ( ) (5)2是函数f(x)sin x，x(，0)的一个周期 ( ) 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(必修1P35例5改编)下列函数中为奇函数的序号是_；偶 函数的序号
5、是_ f(x)2x43x2； f(x)x32x； f(x)x 21 x ； f(x)x31； yx2sin x; y|ln x|. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 3(必修1P45T5改编)若函数yf(x)(xR)是奇函数，则下列坐标表 示的点一定在函数yf(x)图象上的是( ) A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a) 解析 函数yf(x)为奇函数，f(a)f(a) 即点(a，f(a)一定在函数yf(x)的图象上 B 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 4(必修1P45T6改编)若奇函数f(x)在区间a，b上是减函数，则它在 b，a上是_函数；若偶函数f
6、(x)在区间a，b上是增函数， 则它在b，a上是_函数 5(必修4P46T10改编)已知函数f(x)满足f(x3)f(x)，当x0，1 时，f(x)log3(x23)，则f(2 022)_ 减 减 1 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 4 题组三 走向高考 6(2020 江苏，7，5分)已知yf(x)是奇函数，当x0时，f(x) x 2 3，则f(8)的值是_ 解析 由函数f(x)是奇函数得f(8)f(8)8 2 3(23) 2 34. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 D 7(2020 课标，9，5分)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则 f(x)( ) A是偶函数，且在
7、1 2， 单调递增 B是奇函数，且在 1 2， 1 2 单调递减 C是偶函数，且在 ，1 2 单调递增 D是奇函数，且在 ，1 2 单调递减 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 由 |2x1|0， |2x1|0 x 1 2 ，函数f(x)的定义域为 x x1 2，xR ，关于原点对称， 又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)， f(x)是奇函数，排除A、C；当x 1 2， 1 2 时，f(x)ln(2x1)ln(1 2x)，则f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x2 0，f(x)在 1 2， 1 2 单调递增，排 除B；当x ，1 2 时，f(
8、x)ln(2x1)ln(12x)，则f(x) 2 2x1 2 12x 4 14x20， x2x，x0； (5)f(x) 1x2 |x2|2； (6)已知函数f(x)对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x) f(y)， 且f(0)0. 分析 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域 内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(x)，再判断f(x)与f(x)之间的 关系抽象函数常用赋值法判断 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由题意得1x 1x0且x1， 10时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)； 当x0时，x0.从 而有f(x) 1x2 x22 1x
9、2 x ，这时有f(x) 1（x）2 x 1x2 x f(x)，故f(x)为奇函数 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (6)已知对任意x，yR，都有f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取x 0，y0，则有2f(0)2f(0)2，因为f(0)0，所以f(0)1. 取x0，得f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)， 所以f(y)f(y)又yR，所以函数f(x)是偶函数 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 判断函数的奇偶性的方法 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判 断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称 的区间，再判断f(x)是
10、否等于f(x)或f(x)，据此得出结论 (2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对 称 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇 函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇 (偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用上述结论 时要注意各函数的定义域) 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 考向2 函数的性质的综合应用多维探究 角度1 利用奇偶性求参数的值或取值范围 B 例 2 (1)已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，则a b ( ) A1 3 B1 3
11、 C1 2 D1 2 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 A (2)已知f(x)a 2 3 2x1是R上的奇函数，则f(a)的值为 ( ) A7 6 B1 3 C2 5 D2 3 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)依题意b0，且2a(a1)0， a1 3，则ab 1 3. (2)因为f(x) a 2 3 2x1 是R上的奇函数，所以f(0) a 2 3 2 0，得a 3，所以f(x)3 2 3 2x1.所以f(a)f(3) 3 2 3 9 7 6.故选A. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 角度2 函数奇偶性与单调性结合 D 例 3 (1)(2020 全国新高考，8)若定
12、义在R的奇函数f(x)在( ，0)单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是( ) A1，13，) B3，10，1 C1，01，) D1，01，3 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 A (2)(2021 新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f(x)在区间0，)上单调 递增，则满足f(2x1)0， f（x1）0， 即 x0， 2x10 或 x0， 0 x12，解得1x0或1x3.故选D. (2)由yf(x)图象知，x离y轴越近，函数值越小，因此，|2x1| 1 3 ， 解得1 3x 2 3，故选A. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 角度3 函数奇偶性与周期性结合 1 例 4
13、已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x3) 1 f（x） ， 当1x3时，f(x)cos x 3 ，则f(2 022)_ 分析 先由已知条件求出函数的周期，再结合函数的性质，把f(2 022)转化为f(0)，进而转化为f(3)，把x3代入即可 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 由已知可得f(x6)f(x3)3 1 f（x3） 1 1 f（x） f(x)，故函数f(x)的周期为6， f(2 022)f(63370)f(0) 又f(x) 1 f（x3）， f(0) 1 f（3） 1 cos 1 f(2 022)1. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 角度4 单调性、奇偶性和周期
14、性结合 D 例 5 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)且在区间 0，2上是增函数，则 ( ) Af(25)f(11)f(80) Bf(80)f(11)f(25) Cf(11)f(80)f(25) Df(25)f(80)f(11) 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 分析 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 因为f(x)满足f(x4)f(x)， 所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25) f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3) 由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3) f(1)f(1)
15、因为f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在R上是奇函数， 所以f(x)在区间2，2上是增函数， 所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11) 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 1函数单调性与奇偶性结合注意函数的单调性及奇偶性的定 义，以及奇、偶函数图象的对称性 2周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶 性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数 定义域内求解 3周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期 性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解 返回导航 第二章 函数、导数
16、及其应用 1 变式训练1 (1)(角度1)(2019 北京，13，5分)设函数f(x)exae x(a为常数)若 f(x)为奇函数，则a_ (2)(角度2)(2020 郴州第二次数学质量检测)已知f(x)是定义在2b，1 b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(2x)的解集为 ( ) A 1，2 3 B 1，1 3 C 1，1 D 1 3，1 B 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (3)(角度3)(2018 课标全国)已知f(x)是定义域为(，)的奇函 数，满足f(1x)f(1x)，若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50) ( ) A50 B0 C2 D50 C 返
17、回导航 第二章 函数、导数及其应用 (4)(角度4)(2021 湖北、山东部分重点中学第一次联考，8)已知定义 在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)，且yf(x3)为偶函数，若f(x)在(0， 3)内单调递减，则下面结论正确的是( ) Af(4.5)f(3.5)f(12.5) Bf(3.5)f(4.5)f(12.5) Cf(12.5)f(3.5)f(4.5) Df(3.5)f(12.5)f(4.5) B 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x)exae x为奇函数， f(x)f(x)0， 即e xaexexaex0， (a1)(exe x)0，a1. (2)f(x)是定
18、义在2b，1b上的偶函数， 2b1b0，b1， 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 f(x)在2b，0上为增函数，即函数f(x)在2，0上为增函数，故 函数f(x)在(0，2上为减函数，则由f(x1)f(2x)，可得|x1|2x|，即(x 1)24x2， 解得1x1 3. 又因为定义域为2，2，所以 2x12， 22x2， 解得 1x3， 1x1. 1x1 3. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (3)f(x)是奇函数，且f(1x)f(1x)， f(1x)f(1x)f(x1)，f(0)0， 则f(x2)f(x)，则f(x4)f(x2)f(x)，即函数f(x)是周期为4 的周期函数， f(
19、1)2， f(2)f(0)0，f(3)f(1)f(1)2， f(4)f(0)0， 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 则f(1)f(2)f(3)f(4)20200， 则f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50) f(1)f(2)202，故选C. (4)易知函数f(x)的最小正周期T6，f(x)的图象关于直线x3对称， f(3.5)f(2.5)，f(4.5)f(1.5)，f(12.5)f(0.5)又f(x)在(0，3)内单调 递减，f(3.5)f(4.5)f(12.5)，故选B. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 考点二 函数的周期性自主练透
20、 0 例 6 (1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)23 ，且对任意 的x都有f(x2) 1 f（x），则f(2 022)_ (2)已知定义在R上周期为3的奇函数f(x)，则f(1.5)_ (3)设f(x)是周期为2的偶函数，当0 x1时，f(x)2x(1x)，当 4x3时，f(x)_，当2 021x2 022时，f(x) _ 2 3 2(x4)(x3) 2(2 022x)(x2 021) 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x) 1 f（x2）f(x4)， yf(x)的周期T4， f(2 022)f(45052)f(2)2 3. (2)f(1.5)f(1.5)f(1
21、.53)f(1.5)， f(1.5)0. 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 (3)设4x3，则0 x41， f(x)f(x4)2(x4)1(x4)2(x4)(x3)， 设2 021x2 022，则02 022x0，给出下列命题： 直线x6是函数yf(x)的图象的一条对称轴； 函数yf(x)在9，6上为增函数； 函数yf(x)在9，9上有四个零点 其中所有正确命题的序号为_ 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 解析 对于任意xR，都有f(x6)f(x)f(3)成立，令x 3，则f(36)f(3)f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)0. 所以f(x6)f(x)，所以f(x)的
22、周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以 f(x6)f(x)，而f(x)的周期为6，所以f(x6)f(6x)，f(x)f( x6)，所以f(6x)f(6x)，所以直线x6是函数yf(x)的图象 的一条对称轴，故正确 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 当x1，x20，3，且x1x2时，都有 f（x1）f（x2） x1x2 0，所以函数y f(x)在0，3上为增函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数yf(x)在 3，0上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数yf(x)在9，6上 为减函数，故错误，f(3)0，f(x)的周期为6，所以f(9)f(3) f(3)f(9)0，函数yf(x)
23、在9，9上有四个零点，故正确 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起 命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上 的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 C 变式训练2 定义在R上的函数f(x)满足f x3 2 f(x)0，且函数yf x3 4 为奇函 数，给出下列命题：函数f(x)的最小正周期是 3 2 ；函数yf(x)的图象 关于点 3 4，0 对称；函数yf(x)的图象关于y轴对称其中真命题的 个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 返回导航 第二章 函数、导
24、数及其应用 解析 由f x3 2 f(x)0知f(x)为周期函数，且周期为3，故不正 确； 由函数yf x3 4 为奇函数，知f(x)关于 3 4，0 对称，故正确； 由f(x)关于 3 4，0 对称，可知f(x)f 3 2x 0，又f x3 2 f(x) 0，f 3 2x f x3 2 ， 返回导航 第二章 函数、导数及其应用 f(x)f(x)， 或f x3 4 是奇函数，f x3 4 f x3 4 ，又 f x3 2 f(x)0，即f x3 2 f（x） f x3 4 f x3 4 3 2 f x3 4 f x3 4 即f(x)f(x) f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故正确 谢谢观看
