1、必考部分 第第二章章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 第十二讲 导数在研究函数中的应用 第三课时 导数与函数的零点或方程的根、不等式 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 利用导数研究函数零点的方法 方法一：(1)求函数f(x)的单调区间和极值 (2)根据函数f(x)的性质作出图象 (3)判断函数零点的个数 方法二：(1)求函数f(x)的单调区间和极值 (2)分类讨论，判断函数零点的个数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及
2、其应用 知识点二 利用导数解决不等式问题的常见题型及解题策略 (1)利用导数证明不等式 若证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果能 证明F(x)在(a，b)上的最大值小于0，即可证明f(x)xsin x. 2若 x(0，)，则 exx1x1ln x. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数 yxsin x 有无数多个零点 ( ) (2)函数 ytan xx 在 2， 2 内有三个零点 ( ) (3)不等式 exln(x2)恒成立 ( ) (4)不
3、等式 1 e x1x 恒成立 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(必修 1P93BT3 改编)若函数 f(x)xln xa 有两个零点，则实数 a 的取值范围为 ( ) A. 1 e，1 B 1 e，1 C 1 e，0 D 1 e， C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 函数的定义域为(0，)，由 f(x) 0 得 axln x，记 g(x)xln x. 则 g(x)ln x1，由 g(x)0 得 x1 e，由 g(x)0 得 0 x1 e. g(x)在 0，1 e 上递减，在 1 e，
4、上递增， 且 gmin(x)g 1 e 1 e，由图可知 1 ea0，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3(选修 22P32BT1 改编)若函数 f(x)ln x x ，0abf(b) Bf(a)f(b) Cf(a)1 C 解析 f(x)ln x x ，f(x)1ln x x2 ，当 0 x0，故 f(x)在(0，e)上单调递增又0abe，f(a)0) 证明 设 f(x)ln xx1(x0)， f(x)1 x1 1x x (x0)， 在(0,1)上 f(x)0，在(1，)上 f(x)0在 (0，)上恒成立，则f(x)在(0，)上单调递增，又f(0
5、)1，所以此 时f(x)在(0，)内无零点，不满足题意 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 a0 时，由 f(x)0 得 xa 3，由 f(x)0 得 0 x0，f(x)单调递增，当 x(0,1)时，f(x)0， f(x)单调递减，则 f(x)maxf(0)1，f(1)4，f(1)0，则 f(x)min4， 所以 f(x)在1,1上的最大值与最小值的和为3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 6(2017 江苏，5 分)已知函数 f(x)x32xex 1 ex，其中 e 是自然 对数的底数若 f(a1)f(2a2)0
6、，则实数 a 的取值范围是_. 解析 由 f(x)x32xex 1 ex，得 f(x)x 32x1 exe x f(x)，所以 f(x)是 R 上的奇函数，又 f(x)3x22ex 1 ex3x 22 2ex 1 ex3x 20，当且仅当 x0 时取等号，所以 f(x)在其定义域内单调 递增，所以不等式 f(a1)f(2a2)0f(a1)f(2a2)f(2a2)a 12a2，解得1a1 2，故实数 a 的取值范围是 1，1 2 . 1，1 2 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一 利用导数研究函数的零点或方程的根师生共研
7、(2020 全国，20)已知函数f(x)exa(x2) (1)当a1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围 解析 (1)当a1时，f(x)exx2， 则f(x)ex1. 当x0时，f(x)0时，f(x)0. 所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增 例 1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)f(x)exa. 当a0时，f(x)0， 所以f(x)在(，)单调递增， 故f(x)至多存在1个零点，不合题意 当a0时，由f(x)0可得xln a， 当x(，ln a)时，f(x)0. 所以f(x)在(，ln a)单调递减
8、，在(ln a，)单调递增， 故当xln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)a(1ln a) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 ()若 0a1 e时，则 f(ln a)0， f(x)在(，)至多存在 1 个零点，不合题意 ()若 a1 e，则 f(ln a)0， 所以 f(x)在(，ln a)存在唯一零点 由(1)知，当 x2 时，exx20， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 所以当 x4 且 x2ln(2a)时， f(x)ex 2 e x 2a(x2)e ln(2a) x 22 a(x2)2a0， 故 f
9、(x)在(ln a，)存在零一零点，从而 f(x)在(，)有两个 零点 综上，a 的取值范围是 1 e， . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 利用导数研究方程根或函数零点的方法 (1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、 最小值、变化趋势等 (2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的 位置 (3)通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清 晰、直观的整体展现 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练1 (2021 安徽合肥调研性检测)已知函数f(x)kxln x1(
10、k0)若函 数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值 解析 解法一：f(x)kxln x1，f(x)k1 x kx1 x (x0，k0)， 当 x1 k时，f(x)0；当 0 x 1 k时，f(x)1 k时，f(x)0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 f(x)在 0，1 k 上单调递减，在 1 k， 上单调递增， f(x)minf 1 k ln k， f(x)有且只有一个零点， ln k0，k1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解法二：由题意知方程 kxln x10 仅有一个实根， 由 kxln x10 得 kln
11、 x1 x (x0)， 令 g(x)ln x1 x (x0)，g(x)ln x x2 ， 当 x1 时，g(x)0；当 0 x0； 当 x1 时，g(x)ln 21且x0时，exx22ax1. 例 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 破题思路 第(1)问 求什么 想什么 求f(x)的单调区间与极值，想到求导函数f(x)，然后 利用不等式f(x)0及f(x)x22ax1(aln 21，x0)成立，想到证明ex x22ax10成立 给什么 用什么 通过对第(1)问的研究，求得f(x)ex2x2a的单调性 与极值，仔细观察，可发现(exx22ax1)ex 2x2
12、a 缺什么 找什么 需要研究函数g(x)exx22ax1的单调性或最值， 利用导数研究即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由f(x)ex2x2a(xR)，知f(x)ex2.令f(x) 0，得xln 2. 当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln 2，)上单调递增 所以f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2， )，f(x)在xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 2 2ln 22a22ln 22a，无极大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2
13、)证明：要证当aln 21且x0时，exx22ax1，即证当aln 2 1且x0时，exx22ax10. 设g(x)exx22ax1(x0) 则g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)2ln 22a2. 又aln 21，则g(x)min0. 于是对xR，都有g(x)0， 所以g(x)在R上单调递增 于是对x0，都有g(x)g(0)0. 即exx22ax10，故exx22ax1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 不等式恒成立或有解问题 已知f(x)xln xax，g(x)x22，对一切x(0， )，f(x)g(x)恒成立，求实数a
14、的取值范围 例 3 解析 对一切 x(0，)，f(x)g(x)恒成立， 即 xln xaxx22 恒成立 也就是 aln xx2 x在 x(0，)上恒成立 令 F(x)ln xx2 x， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 则 f(x)x 2x2 x2 x2x1 x2 . 当 x(0,1)时，f(x)0. 所以 F(x)在 x1 处取极小值，也是最小值 即 F(x)minF(1)3，所以 a3. 综上所述，a 的取值范围是(，3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度3 解不等式 (2020 湖南五市十校联考)设f(x)是奇
15、函数f(x)(xR)的导函 数，当x0时，xln x f(x)0成立的x的取 值范围是 ( ) A(2,0)(4，) B(，4)(0,2) C(，2)(0,4) D(，2)(4，) 例 4 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 设 g(x)f(x) ln x，则 x0 时，g(x)1 xf(x)f(x) ln x0，又 ln x0，所以 f(x)0；在区间(1，)上，g(x)f(x) ln x0，所以 f(x)0.所以当 x(0,1)(1，)时，f(x)0.在题设不等式中令 x 1 ， 知 f(1)0 ， 所 以 (x2 2x 8)f(x)0 等 价
16、于 x22x80， fx0 或 x22x80， fx0， 解得 x2 或 0 x4，则 x 的取值范 围是(，2)(0,4)故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)利用导数解不等式的思路 已知一个含f(x)的不等式，可构造和f(x)有关的函数g(x)，利用g(x) 的单调性，然后可利用函数单调性解不等式 (2)利用导数证明不等式的方法 构造法：证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x) g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，则只需F(a)0，由减 函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f
17、(x)g(x) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 最值比较法：证明f(x)g(x)，x(a，b)时，若构造函数F(x)f(x) g(x)后，F(x)的单调性无法确定，可考虑f(x)的最大值与g(x)的最小值， 如果fmax(x)g(x)min可证：f(x)0，使得 f(x0)0， 则实数 a 的取值范围是 ( ) Aa2 Baf(x)1，则使得f(x)ex1 成立的x的取值范围为 ( ) A(0，) B(，0) C(1，) D(，1) A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由 f(x)1 4x 3x2x 得 f
18、(x)3 4x 22x1. 令 f(x)1，即3 4x 22x11，得 x0 或 x8 3， 又 f(0)0，f 8 3 8 27，所以曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程是 yx 与 y 8 27x 8 3，即 yx 与 yx 64 27. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 令 g(x)f(x)x，x2,4 由 g(x)1 4x 3x2 得 g(x)3 4x 22x. 令 g(x)0 得 x0 或 x8 3. g(x)，g(x)的情况如下： x 2 (2,0) 0 0，8 3 8 3 8 3，4 4 g(x) g(x) 6 0 64 27 0 返回导航
19、 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 所以 g(x)的最小值为6，最大值为 0. 故6g(x)0，即 x6f(x)x. (2)函数 f(x)的定义域是(0， )， 不等式a x1ln x0 有解， 即 ax xln x 在(0，)上有解，令 h(x)xxln x，可得 h(x)1(ln x1) ln x，令 h(x)0，可得 x1，当 0 x0，当 x1 时， h(x)f(x)1，g(x)0，g(x)递减， f(x)ex1fx1 ex 1f01 e0 g(x)0.故选 A. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其
20、应用 例 5 赋值法证明正整数不等式 (2017 课标全国)已知函数 f(x)x1aln x. (1)若 f(x)0，求 a 的值； (2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n， 11 2 1 1 22 1 1 2n m，求 m 的最小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x)的定义域为(0，) 若 a0，因为 f 1 2 1 2aln 20，由 f(x)1a x xa x 知，当 x(0，a)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单 调递增，故 xa 是 f(x)在(0，)的唯一最小值点 由于 f(1)0，所以当
21、且仅当 a1 时，f(x)0. 故 a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0. 令 x1 1 2n得 ln 1 1 2n 1 2n.从而 ln 11 2 ln 1 1 22 ln 1 1 2n 1 2 1 22 1 2n1 1 2n1. 故 11 2 1 1 22 1 1 2n 2，所以 m 的最小值为 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列 不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的 不等
22、式替代函数不等式中的自变量通过多次求和达到证明的目的此 类问题一般至少2问，所证的不等式常由第一问根据待证式的特征而得 到 (2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对 数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互 化，如exx1可化为ln(x1)ln(n1) 成立 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)因为 f(x) 1 xa2x1， 又因为 x0 为 f(x)的极值点， 所以 f(0)1 a10，所以 a1. (2)证明：由(1)知 f(x)ln(x1)x2x. 函数定义域为(1，) 因为 f(x) 1 x12x1 x2x3 x1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 令f(x)0得x0. 当x变化时，f(x)，f(x)变化情况如下表. 所以f(x)f(0)0，即ln(x1)x2x(当且仅当x0时取等号) x (1,0) 0 (0，) f(x) 0 f(x) 极大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 答案 (1)a1 (2)略 令 x1 n，则 ln 1 n1 1 n 21 n，即 ln n1 n n1 n2 ， 所以 ln 2 1ln 3 2ln n1 n ln(n1) 谢谢观看
