1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第六讲 指数与指数函数 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 指数与指数运算 1根式 (1)根式的概念 xna 根式的概念 符号表示 备注 如果_，那么x叫做a的n次方根 n1且nN* 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 正数 根式的概念 符号表示 备注 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 _，负数的n次方根是一个 _ n a 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 _，它们
2、互为_ n a 负数没有偶次方根 负数 两个 相反数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 a (2)两个重要公式 na _，n为奇数， |a| _（a0）， _ （a0且a1)叫指数函数 底数 a1 0a0时，恒有y1； 当x0时，恒有0y0时，恒有0y1； 当x1 性质 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1画指数函数yax(a0且a1)的图象时 注意两个关键点：(1，a)，(0，1) 2底数a的大小决定了图象相对位置的高 低，不论是a1，还是0a0且a1)的图象关于y
3、轴对称 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)nan(na)na(aN*) ( ) (2)a m na m n(n，mN*) ( ) (3)函数y3 2x，与y2x 1都不是指数函数 ( ) (4)若am0，且a1)，则m1时mn，当 0an；(5)y2 x 1 2 x是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 C 题组二 走进教材 2(必修1P59AT2改编)设a0，将 a2 a 3 a2 表示成分数指数幂，其结 果是 ( ) Aa 1 2 Ba 5
4、6 Ca 7 6 Da 3 2 解析 由题意得 a2 a 3 a2 a2 1 2 1 3 a 7 6，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B 3(必修1P60BT2改编)已知f(x)2x2 x，若f(a)3，则f(2a)等于 ( ) A5 B7 C9 D11 解析 f(2a)22a2 2a(2a2a)22f(a)227.故选B. 4(必修1P82AT10改编)若函数f(x)ax(a0，且a1)的图象经过点 P 2，1 2 ，则f(1)_ 2 解析 a21 2，a 2 2 ，f(1) 2 2 1 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章
5、函数、导数及其应用 B 题组三 走向高考 5(2020 全国，8)设alog342，则4 a ( ) A 1 16 B1 9 C1 8 D1 6 解析 本题考查对数的运算和指数、对数的互化公式因为alog34 log34a2，所以4a329，所以4 a1 4a 1 9，故选B. 另：alog342log342 a，3 2 a4，4a 3 2 a a1 9. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 A 6(2017 北京，5分)已知函数f(x)3x 1 3 x，则f(x) ( ) A是奇函数，且在R上是增函数 B是偶函数，且在R上是增函数 C是奇函数，且在R上是减函
6、数 D是偶函数，且在R上是减函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 因为f(x)3x 1 3 x ，且定义域为R，所以f(x)3 x 1 3 x 1 3 x 3x 3x 1 3 x f(x)，即函数f(x)是奇函数又y3x在R上是 增函数，y 1 3 x 在R上是减函数，所以f(x)3x 1 3 x 在R上是增函数，故 选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 A 7(2016 全国卷)已知a2 4 3，b4 2 5，c25 1 3，则 ( ) Abac Babc Cbca Dcab 解析 因为a2 4 316 1
7、3，b4 2 516 1 5，c25 1 3，且幂函数yx 1 3在R 上单调递增，指数函数y16x在R上单调递增，所以bac. 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一 指数与指数运算自主练透 ACD 例 1 (1)(多选题)下列命题中不正确的是 ( ) A n ana BaR，则(a2a1)01 C 3 x4y3x 4 3y D 3 5 6 （5）2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 6 (2)计算2 331.5612_ (3)化简：(1 4) 1 2 （ 4ab 1）3 （ 1 10）
8、 1（a3b3）1 2 _ (4)已知a 1 2a 1 23，求下列各式的值 aa 1；a2a2；a 2a21 aa 11. 8 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)若 n 是奇数，则 n ana；若 n 是偶数，则 n an|a| a，a0， a，a0，所以 A 错误； 因为 a 2a1 恒不为 0， 所以(a2a1)0 有意 义且等于 1，所以 B 正确； 3 x4y3不能化简为 x 4 3y，所以 C 错误；因 为 3 50，所以 3 5 6 （5）2，所以 D 错误故选 A、C、D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函
9、数、导数及其应用 (2)原式23 1 2 3 2 1 312 1 623 1 23 1 321 33 1 62 1 3 23 1 2 +1 3 +1 6 2 1 3 + 1 3 6. (3)原式2 23a 3 2b 3 2 10a 3 2b 3 2 21 31018 5.故填 8 5. (4)将 a 1 2a 1 23 两边平方，得 aa129，所以 aa17. 将 aa 17 两边平方，得 a2a2249，所以 a2a247. 由可得a 2a21 aa 11471 71 6. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里
10、的，无括号的先做指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带 分数的，先化成假分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指 数幂的运算性质来解答 (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有 负指数，形式力求统一 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点二 指数函数图象与性质 A 考向1 指数函数的图象及应用师生共研 例 2 (1)(2021 秦皇岛模拟)函数f(x)21x的大致图象为( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函
11、数、导数及其应用 (2)(2021 湖北黄冈质检)函数yax(a0，a1)与yxb的图象如图， 则下列不等式一定成立的是 ( ) Aba0 Bab0 Cab1 Dloga2b D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是 _ 1，1 分析 (1)将函数化为f(x)2 1 2 x 的形式，根据函数的性质及过定 点，并结合选项判断； (2)由图确定a、b的范围求解； (3)分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，数形结合求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)
12、解法一：函数f(x)21 x2 1 2 x ，单调递减且过点(0， 2)，选项A中的图象符合要求 解法二：(采用平移法)因为函数f(x)21 x2(x1)，所以先画出函数 y2 x的图象，再将y2x图象的所有点的横坐标向右平移1个单位，只 有选项A符合 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由图可知，yax单调递增，则a1；yxb单调递减，则b0不一定成立，如a3，b1； B：ab0不一定成立，如a2，b3； C：ab1不成立，ab0，a1)的图象，应抓住三个关键点：(1， a)，(0，1)，(1， 1 a)由函数解析式判断其图象一般取特殊点验证，从 而作
13、出判断 (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的 图象，通过平移、对称变换得到其图象 (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数 图象数形结合求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 D 变式训练1 (1)函数yax1 a(a0，a1)的图象可能是 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 CD (2)(多选题)已知实数a，b满足等式 1 2 a ( 1 3 )b，下列关系式中不可能 成立的是 ( ) A0ba Bab0 C0ab Dba1时，函数单调递增，且函数的图象恒过点 0，1
14、1 a . 因为01 1 a 1，所以A、B均不正确；当0a1时，函数单调递减， 且函数的图象恒过点 0，11 a ， 因为11 ab0时， 1 2 a 1 3 b可能成立 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 ab0时， 1 2 a 1 3 b可能成立 0a 1 3 b. ba0时，显然 1 2 a0. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向2 指数函数的性质及其应用多维探究 角度1 比较指数幂的大小 B 例 3 已知 a 1 2 2 3，b24 3，c 1 2 1 3，则下列关系式中正确的是 ( ) Acab Bbac C
15、acb Dab 2 3 1 3， 所以 1 2 4 3 1 2 2 3 1 2 1 3，即bac. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 利用指数函数的性质求解简单指数方程、不等式 3 例 4 (1)已知实数m2，函数f(x) 3x1，x0， 9m x，x0的解集为 _ x|x4或x0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)当m2时，9m (2m)3m21，即34m43m3，解得m1 3 (舍)，故m 3. (2)f(x)为偶函数，f(x)在0，)上递增， 且f(2)0，|x2|2，解得x4或x0，且a1)满足
16、f(1)1 9 ，则f(x)的单调 递减区间是 ( ) A(，2 B2，) C2，) D(，2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 由f(1)1 9得a 21 9， 又a0，所以a1 3，因此f(x) 1 3 |2x4|. y 1 3 t 为减函数，f(x)的减区间为t|2x4|的递增区间2， )， 所以f(x)的单调递减区间是2，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)简单的指数不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的 单调性要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论 (2)求解与指数函数有关的复合函
17、数问题，首先要熟知指数函数的定 义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值 域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判 断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)解指数方程的方法 同底法：把方程化为af(x)ag(x)的情形，然后得出f(x)g(x) 化为axb，利用对数定义求解xlogab. 把方程化为f(ax)0的情形，然后换元，即设axt，然后解方程 f(t)0，注意只要t0的解 (4)解指数不等式的方法 同底法：把方程化为af(x)ag(x)的情形，根据函数单调性建
18、立f(x)和 g(x)的不等式 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 D 变式训练2 (1)(角度1)下列各式比较大小不正确的是 ( ) A1.72.50.62 C0.8 0.11.250.2 D1.70.30.93.1 (2)(角度2)已知实数a1，函数f(x) 4x，x0， 2a x，x0， 若f(1a)f(a 1)，则a的值为_ 1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3，1) (3)(角度 3)设函数 f(x) 1 2 x7，x0， x，x0， 若 f(a)1.701，0.93.10.901，D 不正确，故选 D.
19、 (2)当 a1 时，代入不成立故 a 的值为1 2. (3)若 a0，则 f(a)1 1 2 a71 1 2 a3，故3a0； 若 a0，则 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 综合可得3a0，a1)在区 间 3 2，0 上有最大值 3 和最小值 5 2，试求 a，b 的值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 分析 本题易出现的错误有两个，一个是二次函数 tx22x 在区 间 3 2，0 上的范围求错，直接将端点值代入，二是不分类讨论，直接认 为 f(x)是单调递增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 设
20、tx22x，x 3 2，0 ， 由图象得 t1，0 当 a1 时， f(t)atb 在1， 0上为增函数， 值域为 1 ab，1b ， 1 ab 5 2， 1b3 解得 a2 b2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 0a1和0a0且a1，函数ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，求 实数a的值 解析 设 axt，则 a2xt2， 当 a1 时，t 1 a，a ，yt 22t1，在 1 a，a 上为增函数， 当 ta 时，取得最大值，a22a1， 所以 a22a114，解得 a3 或 a5(舍)； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 0a1 时，t a，1 a ，yt22t1，在 a，1 a 上为增函数， 当 t1 a时，取得最大值， 1 a 22 a1， 所以 1 a 22 a114，解得 a 1 3或 a 1 5(舍) 综上所述，a3 或1 3. 谢谢观看
