1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第九讲 函数与方程 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 函数的零点 1函数零点的定义 对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数y f(x)(xD)的零点 注：函数的零点不是点是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y f(x)与x轴的交点 f(x)0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2几个等价关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数 yf(x)
2、有_ 3函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有_，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a， b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根 x轴 零点 f(a)f(b)0 f(c)0 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 二分法 1对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过 不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步 逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下： (1)确定区间a，b，验证
3、f(a) f(b)0，给定精确度； (2)求区间(a，b)的中点c； f(a)f(b)0 一分为二 零点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)计算f(c)； 若f(c)0，则c就是函数的零点； 若f(a) f(c)0，则令bc (此时零点x0(a，c)； 若f(c) f(b)0，则令ac (此时零点x0(c，b) (4)判断是否达到精确度，即：若|ab|，则得到零点近似值a(或 b)；否则重复(2)(3)(4) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，
4、则f(x)至多有一个 零点 (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变 号 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a) f(b)0， 如图所示所以f(a) f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必 要条件事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值 才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号 (5)若函数f(x)在a，b上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲 线，则f(a) f(b)0)的图象与零
5、点的关系 0 0 0 二次函数yax2 bxc(a0)的 图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 两个零点 一个零点 无零点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点 ( ) (2)二次函数yax2bxc(a0)在当b24ac0时没有零点 ( ) (3)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a) f(b)0，则f(x)在(a，b)内 没有零点 ( ) (5)函数y2x与yx2只有两个交点
6、 ( ) 解析 (1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标 (2)当b24ac0. (4)若在区间a，b内有多个零点，f(a) f(b)0也可以 (5)yx2与y2x在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如在x2和 x4处都有交点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B 题组二 走进教材 2(必修1P92AT2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下 对应值表： x 1 2 3 4 5 f(x) 4 2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 ( ) A(1，2) B(2，3) C(3，4) D(4，5) 返回导航 高考一轮总复习
7、数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字 对应的函数值的符号不同，即f(2) f(3)0， f(1) f(2) f(4)0，则下列命题正确的是 ( ) A函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B函数f(x)在区间(1，2)内有零点 C函数f(x)在区间(0，2)内有零点 D函数f(x)在区间(0，4)内有零点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)(2021 开封模拟)函数f(x)xln x3的零点所在的区间为( ) A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4) (3)(多选题)若abc
8、，则函数f(x)(xa)(xb)(xb) (xc)(x c)(xa)的零点位于区间可能为 ( ) A(，a) B(a，b) C(b，c) D(c，) C BC 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)因为f(1) f(2) f(4)0，所以f(1)、f(2)、f(4)中至少有一个小 于0. 若f(1)0，则在(0，1)内有零点，在(0，4)内必有零点； 若f(2)0，则在(0，2)内有零点，在(0，4)内必有零点； 若f(4)0，则在(0，4)内有零点故选D. (2)解法一：利用零点存在性定理 因为函数f(x)是增函数，且f(2)ln 210，所以由零
9、 点存在性定理得函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解法二：数形结合 函数f(x)xln x3的零点所在区间转化为 g(x)ln x，h(x)x3的图象的交点横坐标所在 范围如图所示，可知f(x)的零点在(2，3)内 (3)易知f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc) (ba)，f(c)(ca)(c b)又ab0，f(b)0，又该函数是二次函数，且图象 开口向上，可知两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选B、C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 确定函数零点所
10、在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求 得的根是否落在给定区间上 (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上 的图象是否连续，再看是否有f(a) f(b)0 的零点个数为( ) A3 B2 C7 D0 (2)已知f(x) |lg x|，x0， 2|x|，x0， 则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数为 _ 5 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一：(直接法)由f(x)0得 x0， x2x20或 x0， 1ln x0， 解得x2或xe. 因此函数f(x)共有2个零点 解法二：
11、(图象法)函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共有2 个零点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)令2f2(x)3f(x)10，解得f(x)1或f(x)1 2，作出f(x)的简图： 由图象可得当f(x)1或f(x) 1 2 时，分别有3个和2个交点，则关于x 的函数y2f2(x)3f(x)1的零点的个数为5. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 函数零点个数的判定有下列几种方法 (1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那么有几个解就有几个 零点 (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连
12、续的 曲线，且f(a) f(b)0， 则函数yf(x)3x的零点个数是 ( ) A0 B1 C2 D3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 C (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则 f(x)的零点个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 (3)(2020 河南名校联考)函数f(x) |log2x|，x0， 2x，x0， 则函数g(x) 3f(x)28f(x)4的零点个数是 ( ) A5 B4 C3 D6 A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由已知得yf(x)3x x2x，x0，
13、 11 x3x，x0. 令x2x0，解得x0或x1.令1 1 x 3x0(x0)可得3x2x1 0.因为1120，所以方程3x2x10无实根所以yf(x)3x 的零点个数是2. (2)f(x)exx3在(0，)上为增函数，f 1 2 e 1 2 5 2 0，f(x)在(0，)上只有一个零点，由奇函数性质得f(x)在(， 0)上也有一个零点，又f(0)0，所以f(x)有三个零点，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)本题考查函数的零点与方程根的个数的关系 函数g(x)3f(x)28f(x)43f(x)2f(x)2的零点，即方程f(x) 2 3和f(
14、x)2的根 函数f(x) |log2x|，x0， 2x，x0 的图象如图所示， 由图可得方程f(x)2 3和f(x)2共有5个根， 即函数g(x)3f(x)28f(x)4有5个零点 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向3 函数零点的应用多维探究 角度1 与零点有关的比较大小 D 例 3 已知函数f(x)2xx，g(x)xlog 1 2 x，h(x)log2xx 的 零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为 ( ) Ax1x2x3 Bx2x1x3 Cx1x3x2 Dx3x2x1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及
15、其应用 解析 由f(x)2xx0，g(x)xlog 1 2 x0，h(x)log2xx 0，得2xx，xlog 1 2 x，log2xx，在平面直角坐标系中分别作出y 2x与yx的图象；yx与ylog1 2x的图象；ylog2x与y x的图象，由 图可知：1x10，0 x21.所以x3x2x1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 已知函数的零点或方程的根求参数 C 例 4 (2018 全国)已知函数f(x) ex，x0， ln x，x0， g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是 ( ) A1，0) B0，) C1，) D1，)
16、 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 令h(x)xa，则g(x)f(x) h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图 象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点， 则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点 由图知a1，a1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1比较零点大小常用方法： (1)确定零点取值范围，进而比较大小； (2)数形结合法 2已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数 范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成
17、求函数值域问题加以解决； (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函 数的图象，然后观察求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B 变式训练2 (1)(角度1)(2021 安徽蚌埠月考)已知函数f(x)3xx，g(x)log3x x，h(x)x3x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( ) Aabc Bacbc Dcab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 D (2)(角度2)(2021 杭州学军中学月考)已知函数f(x) 2xa，x0， 2x1，x0 (aR)，若函数f(x)在R上有两个零点
18、，则a的取值范围是 ( ) A(，1) B(，1 C1，0) D(0，1 分析 (1)解法一：依据零点存在定理，确定a，b，c所在区间，进 而比较大小；解法二：分别作出y3x、ylog3x、yx3与yx的图 象，比较其交点横坐标的大小即可 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一：f(1)3 11 2 3 ， f(0)1，a 2 3，0 ，又g 1 3 log3 1 3 1 3 2 3，g(1)1，b 1 3，1 ，显然c0，acb， 故选B. 解法二：数形结合法，在同一坐标系中分别作出y3x、ylog3x、y x的图象，结合图象及c0可知ac0
19、，a0，c0时，f(x)2x1， 由f(x)0得x1 2， 要使f(x)在R上有两个零点， 则必须2xa0在(，0上有解 又当x(，0时，2x(0，1 故所求a的取值范围是(0，1 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点二 二分法及其应用自主练透 (0，0.5) 例 5 (1)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经 计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算 _ (2)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根 锁定在区间(1，2)内，则下一步可判定该根所在的区间为_ f(0.25) 3 2，2 返回导航 高考一轮总复习
20、 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)在用二分法求方程x22的正实数根的近似解(精确度0.001)时，若 我们选取初始区间是1.4，1.5，则要达到精确度要求至少需要计算的次 数是_ 7 解析 (1)因为f(0)0，由二分法原理得一个零点x0(0， 0.5)；第二次应计算f 00.5 2 f(0.25) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)区间(1，2)的中点x0 3 2，令f(x)x 32x1，f 3 2 27 8 40，则根所在区间为 3 2，2 . (3)设至少需要计算n次，由题意知 1.51.4 2n 100.由26 64，2712
21、8，知n7. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点，中值计算两边 看，同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来 判断 2利用二分法求近似解需注意的问题 (1)在第一步中：区间长度尽量小；f(a)，f(b)的值比较容易计算 且f(a) f(b)0 ，若函 数g(x)f(x)a恰有三个互不相同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围 是 ( ) A 1 32，0 B 1 16，0 C 0， 1 32 D 0， 1 16 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 解法
22、一：显然x0时，2xa，有一根不妨记为x1，则x1 a 2 (a0)，当x0时x2xa即x2xa0有两个不等正根，不妨 记为x2，x3，则14a0，即a 1 4 ，从而a2 1 16，0 且x2x3 a.x1x2x3a 2 2 1 32，0 ，故选A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解法二：作出yf(x)及ya的图象，显然0a 1 4 ，不妨设x1x2x3显 然x10，x30，x1x2x30. 若f(x) a(aR)有四个不等实根，则所有实根之积的取值范围是 ( ) A(，1) B0，1) C(0，1) D(1，) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 本题考查已知方程根的个数求根的乘积的取值范围 设四个根依次为x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)， 则2x11，1x20，x1x22， 由|lg x3|lg x4|， 得lg x3lg x4， 则lg x3lg x4lg(x3x4)0， x3x41，x1x2x3x4x1x2(2x2)x2(x21)210，1) 故选B. 谢谢观看
