1、必考部分 第第二章章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 第十二讲 导数在研究函数中的应用 第二课时 导数与函数的极值、最值 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 函数的极值 1函数的极值 (1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有 f(x)_ f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作f(x) 极大值 f(x0)；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)_ f(x0)，那么f(x0)是函数 f(x)的一个极小值
2、，记作f(x)极小值f(x0)极大值与极小值统称为极值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果xx0有f(x)_0，那么f(x0)是极大 值 如果xx0有f(x)_0，那么f(x0)是极小 值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2求可导函数f(x)极值的步骤 (1)_； (2)_； (3)检验f(x)在方程f(x)0的_的符号，如果在根的 左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数yf(x)在这个根处取得 _；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数
3、y f(x)在这个根处取得_. 求导数f(x) 求方程f(x)0的根 根左右的值 极大值 极小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 函数的最值 1函数的最值的概念 设函数yf(x)在_上连续，在_内可导，函 数f(x)在a，b上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数yf(x)的最大 (最小)值 2连续函数在闭区间a，b上一定有最大值和最小值 a，b (a，b) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3求函数最值的步骤 设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的 最值，可分两步进行： (
4、1)_； (2)_ _ 求f(x)在(a，b)内的极值 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1f(x0)0与x0是f(x)极值点的关系 函数f(x)可导，则f(x0)0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条 件例如，f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点 2极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于 极小值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处
5、取 得；有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为 最值，非常数可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取 4定义在开区间(a，b)内的函数不一定存在最大(小)值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的 ( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (3)导数等于0的点不一定是函数的极值点 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小 值 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、
6、导数及其应用 解析 (1)函数的极值是局部概念，极值点是与该点附近的点的函 数值比较得到的，而不是在某区间或定义域上比较 (2)如图，在x1处的极大值点比在x2处的极小值点小 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)如yx3在x0处，导数为0，但不是极值点 (4)如图知正确 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(多选题)(选修22P32AT4改编)若函数f(x)的导函数f(x)的图象 如图所示，则下面正确的是 ( ) Ax1是最小值点 Bx0是极小值点 Cx2是极小值点 D函数f(x)在(1,2)上单调递
7、减 解析 由导函数图象可知，x0，x2为两极值点，x0为极大值 点，x2为极小值点，f(x)在(1,2)上小于0，因此f(x)单调递减，选C、 D. CD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3(选修22P32AT5改编)函数f(x)(x21)22的极值点是( ) Ax1 Bx1 Cx1或1或0 Dx0 解析 f(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1) 0，得x0或x1或x1.又当x1时，f(x)0，当1x0，当0 x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都 是f(x)的极值点 C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函
8、数、导数及其应用 4(选修22P32AT6改编)函数f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值 为 ( ) A1e B1 Ce D0 B 解析 因为 f(x)1 x1 1x x ， 当 x(0,1)时， f(x)0； 当 x(1， e时，f(x)0，f(x)单调递增；x(2,1)时，f(x)0，f(x) 单调递减f(x)极小值f(1)1.故选A. A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 6(2018 课标，16,5分)已知函数f(x)2sin xsin 2x，则f(x)的最 小值是_. 3 3 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及
9、其应用 解析 由 f(x)2sin xsin 2x，得 f(x)2cos x2cos 2x4cos2x 2cos x2， 令 f(x)0， 得 cos x1 2或 cos x1， 可得当 cos x 1，1 2 时，f(x)0，f(x)为增函数， 所以当 cos x1 2时， f(x)取最小值， 此时 sin x 3 2 .又因为 f(x)2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)，1cos x0 恒成立，f(x)取最小值时，sin x 3 2 ，f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第
10、二章 函数、导数及其应用 考点一 用导数求解函数极值问题多维探究 角度1 根据函数图象判断极值 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1 x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2) 例 1 D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 由题图可知，当x0；当2x1时， f(x)0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数
11、f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值故选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 求函数的极值 求下列函数的极值 分析 求导，研究函数的单调性从而确定极值 例 2 (1)f(x)1 2(x5) 26ln x； (2)f(x)xaln x(aR) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)函数 f(x)的定义域为(0，)， f(x)x56 x x2x3 x . 令 f(x)0，解得 x12，x23，可得 x (0,2) 2 (2,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由上表可知当
12、 x2 时，极大值 f(2)9 26ln 2，当 x3 时，极小值 f(3)26ln 3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)f(x)1a x xa x ，x0. 若 a0，则 f(x)0 恒成立，f(x)不存在极值 若 a0，则 x，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (0，a) a (a，) f(x) 0 f(x) 极小值 所以 f(x)的极小值 f(a)aaln a无极大值 综上可知 a0 时，无极值；a0 时，极小值 f(a)aaln a. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 可导函数求极值的步骤 (1)
13、确定函数的定义域 (2)求方程f(x)0的根 (3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分 成若干个小开区间，并形成表格 (4)由f(x)0的根左右的符号以及f(x)在不可导点左右的符号来判 断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少f(x) 0是函数有极值的必要条件 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度3 根据极值求参数的取值范围 (1)已知函数f(x)xex在区间(a，a1)上存在极值点，则实 数a的取值范围为_. (2)(2019 青岛模拟)若函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex，在x2处 取得极大值，则实数a
14、的取值范围为_. 例 3 (2，1) ，1 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)f(x)exxexex(x1)，令 f(x)0，得 x1，当 x (，1)时，f(x)单调递减；当 x(1，)时，f(x)单调递增，则 1 是函数 f(x)的极值点，所以 a1a1，即2a1.故填(2， 1) (2)f(x)(x2)(ax1)ex.当 a0，解得1 ax2，由 f(x)0， 解得 x2， 所以函数 f(x)在 1 a，2 上单调递增， 在 ，1 a 和(2，)上单调递减，所以函数 f(x)在 x2 处取得极大值 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考
15、） 第二章 函数、导数及其应用 当 a0 时，f(x)(2x)ex. 由 f(x)0，解得 x2； 由 f(x)2. 所以函数 f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减， 所以 f(x)在 x2 处取得极大值 当 a0 时，若要 f(x)在 x2 处取得极大值，则需 f(x)在(，2)， 1 a， 上单调递增，在 2，1 a 上单调递减，则有1 a2，解得 0af(a)f(c) B函数f(x)在xc处取得极小值， 在xe处取得极大值 C函数f(x)在xc处取得极大值， 在xe处取得极小值 D函数f(x)的最小值为f(d) ABD 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数
16、、导数及其应用 (2)(角度 2)函数 ye x x 的极小值为 ( ) A1 Be C1 D1 e (3)(角度3)(2021 广东肇庆第二次检测)已知x1是f(x)x2(a3)x 2a3ex的极小值点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(1，) B(1，) C(，1) D(，1) B D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由图可知xa，c时f(x)0，f(x)单调递增，又 abc，f(a)f(b)f(c)，A错；x0，f(x)递增；cxe时， f(x)e时，f(x)0，f(x)递增f(x)在xc处取得极大 值，在xe处取得极小值，B错，C对
17、；f(d)不是极值，又不是定义域端 点的函数值，f(d)不是最小值，D错，故选A、B、D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)yxe xex x2 x1e x x2 ， x，y，y 的极值情况如下表. x (，0) 0 (0,1) 1 (1，) y 0 y 极小值 f(x)极小值为 f(1)e，故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)依题意f(x)(xa)(x1)ex，它的两个零点为x1，xa，若x 1是函数y(x)的极小值点，则需a1，此时函数f(x)在(a,1)上单调递减， 在(1，)上单调递增，在x
18、1处取得极小值故选D. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点二 用导数求函数的最值师生共研 例 4 (2017 北京，20)已知函数 f(x)excos xx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间 0， 2 上的最大值和最小值 解析 (1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1， f(0)0. 又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)设 h(x)ex(cos x
19、sin x)1， 则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x 0， 2 时，h(x)0， 所以 h(x)在区间 0， 2 上单调递减 所以对任意 x 0， 2 有 h(x)h(0)0，即 f(x)0，得 0 x1， 由 f(x)1， 所以 f(x)11 xln x 在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由(1)得 f(x)在 1 e，1 上单调递增，在1，e上单调递减， 所以 f(x)在 1 e，e 上的最大值为 f(1)1 1 1ln 10. 又 f 1 e 1el
20、n 1 e2e， f(e)11 eln e 1 e，所以 f 1 e 0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少 解析 (1)由题意， 下潜用时60 v (单位时间)， 用氧量为 v 10 31 60 v 3v2 50 60 v (升)， 水底作业时的用氧量为 100.99(升)， 返回水面用时60 v 2 120 v (单位时间)，用氧量为120 v 1.5180 v (升)，因此总用氧量 y3v 2 50 240 v 9(v0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)y6v 50 240 v2 3v 32 000 25v2 ，令 y0 得 v1032
21、， 当 0v10 3 2时，y1032时，y0，函数单调递增 若 c10 3 2，函数在c,1032上递减，在(1032，15上递增， 所以当 v1032时，总用氧量最少 若 c10 3 2，则函数在c,15上递增， 所以当 vc 时，总用氧量最少 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 函数的优化问题即实际问题中的最值问题，其一般解题步骤为：一 设，设出自变量、因变量；二列，列出函数关系式，并写出定义域；三 解，解出函数的最值，一般常用导数求解；四答，回答实际问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 3 某商场销售某种
22、商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千 克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y a x310(x6) 2.其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克 (1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每 日销售该商品所获得的利润最大 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)因为 x5 时，y11，所以a 21011，a2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2 x310(x6) 2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x 3) 2 x310 x6 2 210(x3)(x6)2,3x6. 从而，f(x)30(x4)(x6) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f(x) 0 f(x) 极大值 42 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值 点 所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最 大 谢谢观看
