1、必考部分 第第二章章 函数、导数及其应用函数、导数及其应用 第十一讲 导数的概念及运算 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 导数的概念与导数的运算 1函数的平均变化率 一般地，已知函数 yf(x)，把式子fx 2fx1 x2x1 称为函数 yf(x)从 x1 到 x2的平均变化率，还可以表示为y x fx2fx1 x2x1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (1)f(x)在 xx0处的导数就是 f(x)在 xx0处
2、的_， 记作： y|xx0或 f(x0)，即 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x . 2导数的概念 (2)当把上式中的x0看作变量x时，f(x)即为f(x)的导函数，简称导 数，即yf(x)_. 瞬时变化率 lim x0 fxxfx x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3基本初等函数的导数公式 (1)C_(C 为常数)；(2)(xn)_(nQ*) (3)(sin x)_; (4)(cos x)_； (5)(ax)_; (6)(ex)_； (7)(logax) 1 xln a； (8)(ln x)_. 0 nxn1 cos x sin x axln
3、 a ex 1 x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 4导数的运算法则 (1)f(x) g(x)_. (2)f(x) g(x)_. 特别地：C f(x)_(C 为常数) (3) fx gx _. f(x)g(x) f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) fxgxfxgx gx2 (g(x)0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 5复合函数的导数 复合函数yfg(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 _.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 yxyu ux 返回导航 高考一轮总复习 数学
4、（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 导数的几何意义 函数f(x)在xx0处的导数就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的 斜率，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率kf(x0)，切线方 程为_. yy0f(x0)(xx0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1. 1 fx fx f2x . 2f(x0)不一定为 0，但f(x0)一定为 0. 3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导 数还是周期函数 4 函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势， 其正负 号反映了变化的方向
5、，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲 线在这点处的切线越“陡” 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组一 走出误区 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)f(x)与f(x0)(x0为常数)表示的意义相同 ( ) (2)在曲线yf(x)上某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义相 同 ( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (5) sin 3 cos 3. ( ) (6)
6、f(x0)f(x0). ( ) (7)(2x)x 2x 1. ( ) (8)ln(x)1 x. ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (2)曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线，点 P 在曲线上，而 过点 P(x0，y0)的切线，点 P 可以在曲线外 (3)如图所示，切线可以与曲线有多个公共点 (4)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线 (8)ln(x)1 x(1) 1 x. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(选修 22P18AT4 改编)计算： (1)(x43x31)_
7、； (2)(xex)_； (3)(sin x cos x)_； (4) 1 ln x _. 4x39x2 exxex cos 2x 1 xln2x 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3(选修22P18AT5改编)已知函数f(x)2xf(1)xln x，则f(1) ( ) Ae B1 C1 De 解析 f(x)2f(1)ln x1， 当x1时，f(1)2f(1)1， f(1)1，故选C. C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 4(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水 面的高度(单位：m)是h(t)4
8、.9t26.5t10，则运动员的速度v _m/s，加速度a_m/s2. 解析 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8. 9.8t6.5 9.8 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组三 走向高考 5(2020 课标理，6,5分)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处 的切线方程为 ( ) Ay2x1 By2x1 Cy2x3 Dy2x1 解析 本题考查导数的几何意义 f(x)4x36x2，则f(1)2，易知f(1)1，由点斜式可得函 数f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y(1)2(x1)，即y2x 1.故选B. B 返回导航 高考一轮总
9、复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 6(2019 江苏，5分)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x 上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则 点A的坐标是_. (e,1) 解析 设 A(x0，ln x0)，又 y1 x，则曲线 yln x 在点 A 处的切线 方程为 yln x0 1 x0(xx0)， 将(e， 1)代入得， 1ln x0 1 x0(ex0)， 化简得 ln x0 e x0，解得 x0e，则点 A 的坐标是(e,1) 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一
10、导数的基本运算师生共研 例 1 (1)求下列函数的导数 yln x1 x； y(2x21)(3x1)； yxsinx 2cos x 2； ycos x ex ； yln 12x2； ye2xcos 3x. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)若函数f(x)ln xf(1)x23x4，则f(3)_. 分析 直接求导；化简后再求导；利用商的导数运算法 则求解；用复合函数求导法则求导 (2)先求出f(1)得出导函数的解析式，再把x3代入导函数解析式 得f(3) 14 3 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)y ln
11、 x1 x (ln x) 1 x 1 x 1 x2. 因为 y(2x21)(3x1)6x32x23x1， 所以 y(6x32x23x1) (6x3)(2x2)(3x)(1)18x24x3. 另解：y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1) 4x(3x1)3(2x21)12x24x6x23 18x24x3. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 因为 yxsinx 2cos x 2x 1 2sin x， 所以 y x1 2sin x x 1 2sin x 11 2cos x. y cos x ex cos xe xcos xex ex2 sin xcos x
12、ex . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 yln 12x21 2ln(12x 2)，令 u12x2， 则 yln 12x2由 y1 2ln u 与 u12x 2 复合而成， yf(u) u(x) 1 2ln u (12x 2) 1 2u (4x) 2x 12x2. y(e2x)cos 3xe2x(cos 3x) 2e2x cos 3x3e2xsin 3xe2x(2cos 3x3sin 3x) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)对 f(x)求导，得 f(x)1 x2f(1)x3，所以 f(1)12f(1) 3，解得
13、f(1)4 3，所以 f(x) 1 x 8 3x3，将 x3 代入 f(x)，可得 f(3)14 3 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 导数计算的原则和方法 (1)原则：先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的 和、差、积、商再求导 (2)方法：连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；分 式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函 数，再求导；对数形式：先化为和、差的形式，再求导；根式形 式：先化为分数指数幂的形式，再求导；三角形式：先利用三角函数 公式转化为和或差的形式，再求导；复合函数：由外向内，层层求 导 返回导航
14、高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练 1 (1)填空 若 y(x1)(x2)(x3)，则 y_； 若 yexln x，则 y_； 若 ytan x，则 y_； 若 y(x22x1)e2 x，则 y_； 若 yln2x3 x21 ，则 y_. 3x212x11 (3x2)e2x ex 1 xln x 1 cos2x 2x212x2x3ln2x3 2x3x212 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)(2020 课标， 15,5分)设函数f(x) ex xa.若f(1) e 4， 则a_. (3)若函数 f(x)ax4bx2c
15、满足 f(1)2，则 f(1)_. (4)设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_. 1 2 2 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)y(x23x2)(x3)x36x211x6， 所以 y3x2 12x11. yexln xex 1 xe x 1 xln x . ytan x sin x cos x，y cos x cos xsin xsin x cos2x cos 2xsin2x cos2x 1 cos2x. y(x22x1)e2 x(x22x1) (e2x) (2x2)e2 x(x22x1) (e2x)(3x2)e
16、2x. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 yln2x3x 21ln2x3x21 x212 2x3 2x3 x212xln2x3 x212 2x 212x2x3ln2x3 2x3x212 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)f(x)xa1e x xa2 ，则 f(1) ae a12 e 4，解得 a1. (3)f(x)4ax32bx，因为 f(x)为奇函数且 f(1)2，所以 f( 1)2.故填2. (4)解法一：令 tex，故 xln t，所以 f(t)ln tt，即 f(x)ln xx， 所以 f(x)1 x1，
17、所以 f(1)2. 解法二：f(ex)1ex，f(1)f(e0)1e02.故填 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点二 导数的几何意义多维探究 已知曲线f(x)x3x，则 (1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_； (2)曲线过点(1,0)的切线方程为_； (3) 曲 线 平 行 于 直 线 5x y 1 0 的 切 线 方 程 为 _. 例 2 2xy20 角度1 求曲线的切线方程 2xy20或x4y10 5xy4 20 或 5xy4 20 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 分析 (1)解决曲线的切线问题直接利用
18、导数的几何意义求切线斜 率可得； (2)由于在点P处的切线平行于直线5xy10，则在点P处的切线 斜率为5. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 f(x)3x21. (1)曲线在点(1,0)处切线的斜率为kf(1)2. 所求切线方程为y2(x1)，即2xy20. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)设切点为 P(x0，x3 0 x0)，则 k 切f(x0)3x2 01， 所求切线方程为 yx3 0 x0(3x 2 01)(xx0)， 又切线过点(1,0)，x3 0 x0(3x 2 01)(1x0) 解得 x01 或
19、1 2. 故所求切线方程为 y2(x1)或 y3 8 1 4 x1 2 即 2xy20 或 x 4y10. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)设切点坐标为(x0，x3 0 x0)，则 k 切3x2 015 解得 x0 2，故切 点为( 2， 2)或( 2， 2)所以所求切线方程为 y 25(x 2)或 y 25(x 2)即 5xy4 20 或 5xy4 20. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0， y0)处的切线方程和求曲线过
20、点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定 是切点 (2)在点P处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步：设出切点坐标P(x1，f(x1)； 第二步：写出过P(x1，f(x1)的切线方程为yf(x1)f(x1)(x x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步：将x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得过点P(x0，y0) 的切线方程 注：也可利用 f(x
21、1)fx 1fx0 x1x0 k 切求切点坐标(x1，y1)，有几组解 就有几条切线 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2021 郑州质量检测)已知曲线 yx 2 2 3ln x 的一条切线的斜 率为 2，则切点的横坐标为 ( ) A3 B2 C1 D1 2 角度2 求切点坐标 例 3 A 解析 设切点坐标为(x0，y0)，且 x00， 由 yx3 x，得 kx0 3 x02，x03. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度3 求参数的值(或范围) (1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2a b_.
22、 (2)函数f(x)ln xax的图象存在与直线2xy0平行的切线，则实 数a的取值范围是 ( ) A(，2 B(，2) C(2，) D(0，) 例 4 1 B 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)由题意知，yx3axb 的导数为 y3x2a，则 13ab3， 312ak， k13， 由此解得 k2，a1，b3，2ab1. (2)函数 f(x)ln xax 的图象存在与直线 2xy0 平行的切线，即 f(x)2 在(0，)上有解 所以 f(x)1 xa2 在(0，)上有解，则 a2 1 x. 因为 x0，所以 21 x2，所以 a 的取值范围是(，
23、2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练2 (1)(角度1)(2019 全国卷，5分)曲线y2sin xcos x在点(，1)处 的切线方程为 ( ) Axy10 B2xy210 C2xy210 Dxy10 (2)( 角 度 1) 过 点 (1 ， 1) 的 曲 线 y x3 2x 的 切 线 方 程 为 _. C xy20或5x4y10 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)(角度2)曲线y3ln xx2在点P0处切线方程为4xy10，则 点P0的坐标是 ( ) A(0,1) B(1，1) C(1,3) D(1
24、,0) (4)(角度3)(2019 全国卷，5分)已知曲线yaexxln x在点(1，ae) 处的切线方程为y2xb，则 ( ) Aae，b1 Bae，b1 Cae1，b1 Dae1，b1 C D 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)依题意得 y2cos xsin x， y x(2cos xsin x) x 2cos sin 2，因此所求的切线方程为 y12(x)，即 2x y210，故选 C. (2)设 P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为 f(x0)3x2 02. 故切线方程为 yy0(3x2 02)(xx0) 即 y(x3 02x0)(3x
25、 2 02)(xx0) 又知切线过点(1，1)，代入上述方程， 得1(x3 02x0)(3x 2 02)(1x0) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解得 x01 或 x01 2. 故所求的切线方程为 y1x1 或 y15 4(x1) 即 xy20 或 5x4y10. (3)由题意知 y3 x14，解得 x1， 此时 41y10，解得 y3，故点 P0的坐标是(1,3) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (4)因为 yaexln x1，所以 y x1ae1，所以曲线在点(1， ae)处的切线方程为 yae(ae1)(x1)
26、，即 y(ae1)x1，所以 ae12， b1， 解得 ae 1， b1. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2020 黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线 ykxb 是曲线 y ln x2 的切线，也是曲线 yln(x1)的切线，则 b ( ) A1 B1 2 C1ln 2 D12ln 2 例 5 C 两曲线的公共切线问题 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 设 ykxb 与 yln x2 和 yln(x1)的切点分别为(x1， ln x12)和(x2，ln(x21) 则切线分别为 yln
27、 x12 1 x1(xx1)，yln(x21) 1 x21(xx2) 化简得 y 1 x1xln x11，y 1 x21x x2 x21ln(x21)， 依题意， 1 x1 1 x21 ln x11 x2 x21lnx21 ， 解得 x11 2， 从而 bln x1 11ln 2.故选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 引申本例中两曲线公切线方程为_. y2x1ln 2 解析 k 1 x12，公切线方程为 y2x1ln 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 同时和曲线 yf(x)、 yg(x)都相切的直线称为两曲线
28、的公共切线 设 直线与曲线 yf(x)切于(x1，f(x1)与曲线 yg(x)切于(x2，g(x2)，则切线 方程为 yf(x1)f(x1)(xx1)，即 yf(x1)xf(x1)f(x1)x1同理 y g(x2)xg(x2)g(x2)x2. fx1gx2 fx1fx1x1gx2gx2x2 ， 解出 x1、 x2，从而可得切线方程由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解 的个数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练3 若曲线yxln x与曲线yax2(a2)x1存在过点(0，1)的公 切线，则a_. 8 解析 设直线 l 与曲线 C：yxln x 切于 P(x0，x0ln x0)，则 k 切 y|xx01 1 x0. 1 1 x0 x0ln x01 x0 ，解得 x01， 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 切线l的方程为y2x1. 又直线l与曲线yax2(a2)x1相切 方程2x1ax2(a2)x1即ax2ax20的判别式a28a 0，a8或0(舍去) 谢谢观看
