1、必考部分 第二章 函数、导数及其应用 第七讲 对数与对数函数 1 知识梳理双基自测 2 考点突破互动探究 3 名师讲坛素养提升 返回导航 1 知识梳理双基自测 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点一 对数与对数运算 1对数的概念 (1)对数的定义：如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作_，其中_叫做对数的底数，_ 叫做真数 xlogaN a N 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)几种常见对数 logaN 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a0，且a1) _ 常用对数 底数为_ _
2、 自然对数 底数为_ _ 10 lg N e ln N 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 0 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质： loga1_； logaa_ (2)对数恒等式： alogaN_(其中 a0 且 a1，N0) (3)对数的换底公式： logbN_(a，b 均大于零且不等于 1，N0) 1(其中a0且a1) N logaN logab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 logaMlogaN (4)对数的运算法则： 如果 a0 且 a1，M0，N0，那么 loga(MN)_； logaM N _； l
3、ogaMn_(nR) logaMlogaN nlogaM 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 知识点二 对数函数的图象与性质 1对数函数的定义、图象和性质 定义 函数_叫做对数函数 a1 0a1 图象 ylogax(a0，且 a1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (0，) 定义域：_ 值域：_ 当 x1 时，y0，即过定点_ 当 0 x1 时，y0且a1)与对数函数_(a0且a1)互为反 函数，它们的图象关于直线_对称 ylogax yx 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1指数式与对
4、数式互化 2换底公式的两个重要结论 logab 1 logba； logambn n mlogab. 其中 a0，且 a1，b0，且 b1，m，nR. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y1，则该直线 与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故 0cd1a0，a1) ( ) (2)若 MN0，则 loga(MN)logaMlogaN. ( ) (3)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (4)ylog2x2不是对数函数，而 ylog2(x)是对数函数 ( ) (5)函数 yln 1x
5、1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同 ( ) (6)2lg 33lg 2.( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (4)ylog2(x)不是对数函数 (6)设 2lg 3M， 3lg 2N， 则 lg Mlg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 2lg N， M N. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 题组二 走进教材 2(必修 1P75T11 改编)写出下列各式的值： (1)log2 2 2 _； (2)log53log51 3_； (3)lg 5 22lg 2 1 2 1_； (4)(log29)
6、 (log34)_ 1 2 0 1 4 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)log2 2 2 log22 1 2 1 2； (2)log53log51 3log510； (3)lg 5 22lg 2 1 2 1lg 5 2lg 4 1 2 1lg 1021； (4)解法一：原式lg 9 lg 2 lg 4 lg 3 2lg 32lg 2 lg 2lg 3 4. 解法二：原式2log23log24 log23224. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 3(必修1P74AT4改编)若lg 2a，lg 3b，则lg 1
7、2的值为( ) Aa Bb C2ab D2ab 解析 因为lg 2a，lg 3b，所以lg 12lg(43)2lg 2lg 3 2ab.故选C. C 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 4(必修 1P74AT7 改编)函数 ylog2 3（2x1）的定义域是 _. 1 2，1 解析 log2 3(2x1)0，即 02x11， 解得1 21 时，图象越靠近 x 轴，其底数越大，故 C1，C2对应的 a 值分虽 为 2， 3.又因为 C3， C4为减函数， 可知它们的底数都小于 1， 此时 x1 时， 图象越靠近 x 轴，其底数越小，所以 C3，C4对应的 a 分
8、别1 3， 1 2.综上可得 C1，C2，C3，C4的 a 值依次为 2，3，1 3， 1 2. 解法二：可以画直线 y1，看交点的位置自左向右，底数由小到大 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 A 题组三 走向高考 6(2020 课标，10，5 分) 设 alog32，blog53，c2 3，则( ) Aacb Babc Cbca Dcab 解析 因为 alog32log3 3 8log5 3 252 3c，所以 ac0，得x4.因此，函数f(x)ln(x22x 8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4， )上单调递增，由复合函数的单调性知
9、，f(x)ln(x22x8)的单调递 增区间是(4，)，选D. D 返回导航 2 考点突破互动探究 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点一 对数与对数运算自主练透 例 1 (1)lg 27lg 83lg 10 lg 1.2 _ (2)(log32log92) (log43log83)_ (3)(2021 保定模拟)设 2a5bm，且1 a 1 b2，则 m_ (4)若 loga2m，loga3n，则 a2m n_，用 m，n 表示 log 46 为_ 3 2 5 4 10 12 mn 2m 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应
10、用 解 析 (1) 解 法 一 ： 原 式 lg（33） 1 2lg 233lg 10 1 2 lg 322 10 3 2lg 33lg 2 3 2lg 10 lg 32lg 21 3 2（lg 32lg 21） lg 32lg 21 3 2. 解法二：原式 3 2lg 3 3 2lg 4 3 2 lg 1.2 3 2lg 1.2 lg 1.2 3 2. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)原式 lg 2 lg 3 lg 2 lg 9 lg 3 lg 4 lg 3 lg 8 lg 2 lg 3 lg 2 2lg 3 lg 3 2lg 2 lg 3 3lg
11、 2 3lg 2 2lg 3 5lg 3 6lg 2 5 4. (3)因为 2a5bm，所以 alog2m，blog5m， 所以1 a 1 b 1 log2m 1 log5mlogm2logm5logm102，所以 m 210， m 10. (4)因为 loga2m，loga3n，所以 am2，an3，a2m n(am)2an 22312，log46loga6 loga4 loga2loga3 2loga2 mn 2m .故填 12；mn 2m . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考点二 对数函数的图象与性质 D 考向1 对数函数的图象及其应用师生共研 例
12、 2 (1)(2019 浙江高考)在同一直角坐标系中，函数 y 1 ax，y loga x1 2 (a0，且 a1)的图象可能是 ( ) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 B (2)(2020 合肥月考)当 0 x1 2时，4 x0 且 a1)，则实数 a 的 取值范围是 ( ) A 0， 2 2 B 2 2 ，1 C(1， 2) D( 2，2) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 (1)解法一：当 a1 时，函数 yax的图象过定点(0，1)，在 R 上单调递增， 于是函数 y 1 ax的图象过定点(0，1)，在 R
13、 上单调递减， 函数 yloga x1 2 的图象过定点 1 2，0 ，在 1 2， 上单调递增 显然 A、B、C、D 四个选项都不符合 当 0a1 时不满足条件，当 0a1 时， 画出两个函数在 0，1 2 上的图象， 可知， f 1 2 g 1 2 ， 即 2 2 2 ， 所以 a 的取值范围为 2 2 ，1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 本题还有以下解法： 因为 0 x1 2，所以 14x1， 所以 0a1，排除选项 C，D；取 a1 2，x 1 2， 则有 4 1 22，log1 2 1 21，显然 4 xlog ax 不成立，排除选项 A.
14、故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解 其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利 用数形结合法求解 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练1 (1)函数f(x)loga|x|1(0a1)的图象大致为 ( ) A 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)若不等式 x2logax0 时，g(x)的图象
15、，然后根据 g(x)的图 象关于 y 轴对称画出 x0 时 g(x)的图象， 最后由函数 g(x)的图象向上整体 平移一个单位即得 f(x)的图象，结合图象知选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2)由 x2logax0 得 x2logax， 设 f1(x)x2，f2(x)logax， 要使 x 0，1 2 时，不等式 x21 时，显然不成立； 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 当 0a1 时，如图所示， 要使 x2logax 在 x 0，1 2 上恒成立， 需 f1 1 2 f2 1 2 ， 所以有 1 2 2l
16、oga1 2，解得 a 1 16，所以 1 16a1. 即实数 a 的取值范围是 1 16，1 . 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 考向2 对数函数的性质及其应用多维探究 角度1 比较对数值的大小 A 例 3 (2020 课标，12，5 分)已知 5584，13485.设 alog53，b log85，clog138，则 ( ) Aabc Bbac Cbca Dcab 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 alog53(0，1)，blog85(0，1)，则 a b log53 log85 log53log58 log5
17、3log58 2 2 log524 2 21，ab. 又 13485， 13513 85， 两 边 同 取 以 13 为 底 的 对 数 得 log131354 5，c 4 5. 又 5584， 85585， 两 边 同 取 以8为 底 的 对 数 得 log8(855)log885，即 log854 5，bba，故选 A. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 角度2 利用对数函数单调性求参数的取值范围 D 例 4 (2021 华南师大附中模拟)已知函数f(x)log0.5(x2ax3a) 在2，)上单调递减，则实数a的取值范围是 ( ) A(，4 B4，)
18、C4，4 D(4，4 分析 函数f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减，说明 在2，)上，函数tx2ax3a0成立，且为增函数 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 函数 f(x)log0.5(x2ax3a)在2，)上单调递减函数 t x2ax3a 在2，)上单调递增，且 t0 222a3a0， a 22 40， log1 2（x），xf(a)，则实数 a 的取值范围是 ( ) A(1，0)(0，1) B(，1)(1，) C(1，0)(1，) D(，1)(0，1) 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析
19、由题意得 a0， log2alog2a 或 alog2（a）， 解得 a1 或1af(2)1，排除 A、D. 令 a2，由 f(2)1f(2)1，排除 B，选 C. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 1比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数 函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分 类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后， 再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比 较 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 2解决与对数函数有关的函数的
20、单调性问题的步骤 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 D 变式训练 2 (1)(角度 1)(2020 天津，6，5 分)设 a30.7，b 1 3 0.8，clog0.70.8， 则 a，b，c 的大小关系为 ( ) Aabc Bbac Cbca Dca0)单调递减， 可知 a30.7301，b 1 3 0.830.830.7a，clog0.70.8log0.70.71，即 c1ab，故选 D. (2)由题意得：ylog1 2(x 24x5)增区间为(2，5)， 所以 3m22 m25 3m2m2 ，解得 m 4 3，2 ，故选 C. 返回导航 高考一轮总复习
21、 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (3)log0.25alog1 4alog4a 且 f(x)为偶函数， f(log4a)f(log0.25a)2f(1)可化为 f(log4a)f(1)， 又 f(x)在0，)内单调递增，|log4a|1， log41 41log4a1log44， 1 4a4，故选 B. 返回导航 3 名师讲坛素养提升 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 (2020 全国新高考，6)基本再生数R0与世代间隔T是新冠 肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数， 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初
22、始阶 段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天) 的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 1rT有学者基于已有 数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染 病例数增加1倍需要的时间约为(ln 20.69)( ) A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天 B 有关对数运算的创新应用问题有关对数运算的创新应用问题 例 6 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 因为 R03.28，T6，T01rT， 所以 r3.281 6 0.38， 所以 I(t)erte0.38t， 设在新冠肺炎疫
23、情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间 为 t1天， 则 e0.38(tt1)2e0.38t，所以 e0.38t12， 所以 0.38t1ln 2， 所以 t1 ln 2 0.38 0.69 0.381.8 天故选 B. 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、 对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过 程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和 数学运算能力 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 变式训练3 里氏震级M的计
24、算公式为Mlg Alg A0，其中A是测震仪记录的地 震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中， 测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次 地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅 的_倍 6 10 000 返回导航 高考一轮总复习 数学（新高考） 第二章 函数、导数及其应用 解析 根据题意，由lg 1 000lg 0.0016得此次地震的震级为6 级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9 lg 0.0019，解得A9106，同理5级地震的最大振幅A5102，所以9 级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍 谢谢观看
