1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 2.3 函数的奇偶性及周期性函数的奇偶性及周期性 目录 一、题型全归纳 . 1 题型一 判断函数的奇偶性 . 1 题型二 奇函数、偶函数性质的应用. 3 题型三 函数的周期性及应用 . 4 题型四 函数性质的综合应用 . 6 命题角度一 单调性与奇偶性结合. 6 命题角度二 周期性与奇偶性结合. 6 命题角度三 单调性、奇偶性和周期性结合 . 7 题型五 奇偶函数的二级结论及应用 . 8 二、高效训练突破 . 9 一、题型全归纳一、题型全归纳 题型一题型一 判断函数的奇偶性判断
2、函数的奇偶性 【题型要点】【题型要点】 1判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法 (2)图象法 (3)性质法： 设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇 奇偶，偶偶偶， 偶 偶偶，奇 偶奇 【例【例 1】(2020 成都市高三阶段考试成都市高三阶段考试)已知 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x. A B C D 【答案】D 【解析】因为 yf(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(x)f(x)，由 f(|x|)f(|x|)，知是偶函数；由 f (x)f(x)f
3、(x)， 知是奇函数； 由 yf(x)是定义在 R 上的奇函数， 且 yx 是定义在 R 上的奇函数， 奇 奇偶，知是偶函数；由 f(x)(x)f(x)x，知是奇函数 【例例 2】判断函数 f(x) x2x，x0. 的奇偶性。 【解析】法一：图象法 画出函数 f(x) x2x，x0 的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数 法二：定义法 易知函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称， 当 x0 时，f(x)x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时， x0，故 f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数 法三：f(x)还可以写成 f(x)x2|x
4、|(x0)，故 f(x)为偶函数 题型二题型二 奇函数、偶函数性质的应用奇函数、偶函数性质的应用 【题型要点】函数奇偶性的应用【题型要点】函数奇偶性的应用 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值 (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 (3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x) f(x)0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性 或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值 (4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象 (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特
5、殊结构的函数值 【注意】 ：对于定义域为 I 的奇函数 f(x)，若 0I，则 f(0)0. 【例【例 1】若 f(x)ln (e3x1)ax 是偶函数，则 a_. 【答案】3 2 【解析】解法一：因为 f(x)ln (e3x1)ax 是偶函数，所以 f(x)f(x)，所以 f(x)ln (e 3x1)axln 1 1 3x e axln x x e e 3 3 1 axln (1e3x)3xaxln (e3x1)ax，所以3aa，解得 a3 2. 解法二：函数 f(x)ln (e3x1)ax 为偶函数，故 f(x)f(x)， 即 ln (e 3x1)axln (e3x1)ax， 化简得 ln
6、 1 e3x2axln e 2ax，即1 e3xe 2ax， 整理得 e2ax 3x1. 所以 2ax3x0，解得 a3 2. 【例【例 2】(2020 衡水模拟衡水模拟)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，若 x0 时，f(x)xln x，则 x0 时，f(x)( ) Axln x Bxln (x) Cxln x Dxln (x) 【答案】 B 【解析】 设 x0， 则x0， 所以 f(x)xln (x) 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(x)f(x)， 所以 f(x)xln (x) 题型三题型三 函数的周期性及应用函数的周期性及应用 【题型要点】【题型要点】1求函数周期
7、的方法 方法 解读 适合题型 定义 法 具体步骤为：对于函数 yf(x)，如果能够找到一个 非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都 有 f(xT)f(x)，那么 T 就是函数 yf(x)的周期 非零常数 T 容易确定的函数， 递推 法 采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如： 若 f(xa)f(x)，则 f(x2a)f(xa)af(x a)f(x)，所以 2a 为 f(x)的一个周期 含有 f(xa)与 f(x)的关系式， 换元 法 通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如： 若 f(xa)f(xa)，令 xat，则 xta，则 f(t 2a)f(taa)f(taa)f(t)，
8、所以 2a 为 f(x) 的一个周期 f(bx a)f(bx c)型关系式 2函数周期性的应用 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上 的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0) 也是函数的周期 【例【例 1】(2020 江西临川第一中学期末江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x2)f(x 2)，当 x(0，2)时，f(x)x2，则 2 13 f( ) A9 4 B1 4 C.1 4 D9 4 【答案】D 【解析】 (1)因为
9、f(x2)f(x2)，所以 f(x)f(x4)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 2 13 f 8- 2 13 f 2 3 -f，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 2 3 -f 2 3 - f 2 2 3 -9 4，所以 2 13 f9 4.故选 D. 【例【例 2】(2020 开封模拟开封模拟)已知函数 f(x) 2（1x），0 x1， x1，1x2， 如果对任意的 nN*，定义 fn(x) ，那么 f2 016(2)的值为( ) A0 B1 C2 D3 【答案】C 【解析】因为 f1(2)f(2)1，f2(2)f(1)0，f3(2)f(0)2，所以 fn(2)的值
10、具有周期性，且周期为 3，所以 f2 016(2)f3 672(2)f3(2)2，故选 C. 题型四题型四 函数性质的综合应用函数性质的综合应用 命题角度一命题角度一 单调性与奇偶性结合单调性与奇偶性结合 【题型要点】【题型要点】函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质：如果函数 f(x) 是偶函数，那么 f(x)f(|x|)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个 对称的区间上具有相反的单调性 【例【例 1】 】 (2019 成都模拟成都模拟)已知函数 f(x)为 R 上的偶函数，当 x0 时，f(x)单调递减，若 f(2a)f(1a)，则 a 的取值范围是( )
11、A. 3 1 -， B. 1 3 1 - ， C. 3 1 1- ， D. ， 3 1 - 【答案】 C 【解析】 因为函数 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(2a)f(1a)f(|2a|)f(|1a|)，又当 x0 时，f(x)单调递 减，所以|2a|1a|，所以(2a)2(1a)2，即 3a22a10，解得1a1 3. 命题角度二命题角度二 周期性与奇偶性结合周期性与奇偶性结合 【题型要点】【题型要点】周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行 变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解 【例例 2】已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满
12、足 f(1x)f(1x)若 f(1)2，则 f(1)f(2)f(3) f(50)( ) A50 B0 C2 D50 【答案】C 【解析】因为 f(x)是定义域为(，)的奇函数，且满足 f(1x)f(1x)，所以 f(1x)f(x1)，f(x 4)f1(x3)f(x2)f(x2)f1(x1)f(x)f(x)所以 f(x)是周期为 4 的函数因 此 f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)， 因为 f(3)f(1)， f(4)f(2)， 所以 f(1) f(2)f(3)f(4)0， 因为 f(2)f(24)f(2)f(2)， 所以 f(2)0， 从而
13、f(1)f(2)f(3)f(50)f(1) 2，故选 C. 命题角度三命题角度三 单调性、奇偶性和周期性结合单调性、奇偶性和周期性结合 【题型要点】【题型要点】单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在 的区间，然后利用单调性求解 【例【例 3】 】 (2019 青岛二中模拟青岛二中模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x2)f(x)；f(x2)为奇函数；当 x0，1)时，fx1fx2 x1x2 0(x1x2)恒成立，则 2 15 f，f(4)， 2 11 f的大小关系正确的是( ) A 2 11 ff(4) 2 15 f Bf(4) 2 11
14、f 2 15 f C 2 15 ff(4) 2 11 f D 2 15 f 2 11 ff(4) 【答案】 C 【解析】 由 f(x2)f(x)可知函数 f(x)的周期为 2，所以 f(x)f(x2)， 又 f(x2)为奇函数，所以 f(x)为奇函数， 所以 2 15 f 2 1 42 2 15 ff， f(4)f(42 2)f(0)0. 2 11 f 2 1 -32- 2 11 ff， 又 x0,1)时，f(x)单调递增 故奇函数 f(x)在(1,1)上单调递增 所以 2 1 ff(0) 2 1 -f， 即 2 15 ff(4) 2 11 f. 题型五题型五 奇偶函数的二级结论及应用奇偶函数
15、的二级结论及应用 结论一：结论一：若函数 f(x)是奇函数，且 g(x)f(x)c，则必有 g(x)g(x)2c. 【结论简证】【结论简证】由于函数 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，所以 g(x)g(x)f(x)cf(x)c2c. 【例【例 1】对于函数 f(x)asin xbxc(其中 a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(1)，所 得出的正确结果一定不可能是( ) A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 【答案】D 【解析】设 g(x)asin xbx，则 f(x)g(x)c，且函数 g(x)为奇函数注意到 cZ，所以 f(1)f(1)
16、2c 为偶数故选 D. 结论二：结论二：若函数 f(x)是奇函数，则函数 g(x)f(xa)h 的图象关于点(a，h)对称 【结论简证】【结论简证】函数 g(x)f(xa)h 的图象可由 f(x)的图象平移得到，不难知结论成立 【例【例 2】 函数 f(x) x x1 x1 x2 x2 x3的图象的对称中心为 ( ) A(4，6) B(2，3) C(4，3) D(2，6) 【答案】B 【解析】 设 g(x) 1 x1 1 x 1 x1， 则 g(x) 1 x1 1 x 1 x1 1 x1 1 x 1 x1g(x)， 故 g(x) 为奇函数 易知 f(x)3 3 1 2 1 1 1 xxx g(
17、x2)3， 所以函数 f(x)的图象的对称中心为(2， 3) 故 选 B. 结论三：结论三：若函数 f(x)为偶函数，则 f(x)f(|x|) 【结论简证】【结论简证】 当 x0 时，|x|x，所以 f(|x|)f(x)； 当 xf(2x1)成立的 x 的取值范围是_； 【答案】 1 3 1， 【解析】 易知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)为偶函数当 x0 时，f(x)ln(1x) 1 1x2，易知此时 f(x) 单调递增所以 f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)，所以|x|2x1|，解得1 3x0 的条件为_ 【答案】x|x4 【解析】由 f(x)x38(x0)，知 f
18、(x)在0，)上单调递增，且 f(2)0.所以，由已知条件可知 f(x2)0f(|x 2|)f(2)所以|x2|2，解得 x4. 二、高效训练突破二、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1(2019 武威模拟武威模拟)下列函数中，既是奇函数，又在区间(0，)上单调递增的是( ) Af(x)exe x Bf(x)tanx Cf(x)x1 x Df(x)|x| 【答案】 A 【解析】 f(x)|x|是偶函数，排除 D；f(x)x1 x在(0，)上先减后增，排除 C；f(x)tanx 在(0，)上不是单调函数，排除 B；f(x)exe x 符合题意 2.设函数 f(x)e xex 2 ，则下列结论错
19、误的是( ) A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数 【答案】D 【解析】 ：.因为 f(x)e xex 2 ，则 f(x)e xex 2 f(x)所以 f(x)是奇函数因为 f(|x|)f(|x|)，所以 f(|x|) 是偶函数，所以 f(|x|)f(x)是奇函数 3(2020 贵阳检测贵阳检测)若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)log2(x2)1，则 f(6)( ) A2 B4 C2 D4 【答案】C. 【解析】 ：根据题意得 f(6)f(6)1log2(62)132. 4.设 f(x)为定义
20、在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)3x7x2b(b 为常数)，则 f(2)( ) A6 B6 C4 D4 【答案】A 【解析】 ：.因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)3x7x2b，所以 f(0)12b0， 所以 b1 2.所以 f(x)3 x7x1，所以 f(2)f(2)(327 21)6.选 A. 5 已知函数 yf(x)， 满足 yf(x)和 yf(x2)是偶函数， 且 f(1) 3， 设 F(x)f(x)f(x)， 则 F(3)( ) A. 3 B2 3 C D4 3 【答案】B. 【解析】 ：由 yf(x)和 yf(x2)是偶函数知，f(x)f(x
21、)，f(x2)f(x2)f(x2)，故 f(x)f(x4)， 则 F(3)f(3)f(3)2f(3)2f(1)2f(1)2 3 ，故选 B. 6. (2020 福建龙岩期末福建龙岩期末)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，满足 f(x1)f(x1)，若 f(1)1，f(5)a2 2a4，则实数 a 的取值范围是( ) A(1，3) B(，1)(3，) C(3，1) D(，3)(1，) 【答案】 A 【解析】 由 f(x1)f(x1)， 可得 f(x2)f(x)， 则 f(x4)f(x)， 故函数 f(x)的周期为 4， 则 f(5)f(1) a22a4，又因为 f(x)是定义在 R 上的
22、奇函数，f(1)1，所以 f(1)1，所以 a22a41，解得 1a1，f(7)a，则实数 a 的取值范围为( ) A(，3) B(3，) C(，1) D(1，) 【答案】D. 【解析】 ： 因为 f(x3)f(x)， 所以 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的周期函数， 所以 f(7)f(79)f(2) 又 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(2)f(2)，所以 f(7)f(2)1，所以 a1，即 a(1，)故选 D. 8.(2020 广东湛江一模广东湛江一模)已知函数 g(x)f(2x)x2为奇函数，且 f(2)1，则 f(2)( ) A2 B1 C1 D2 【答案】C. 【解析】
23、 ：因为 g(x)为奇函数，且 f(2)1，所以 g(1)g(1)，所以 f(2)1f(2)1110，所 以 f(2)1.故选 C. 9.(2020 武汉十校联考武汉十校联考)若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x)ex，则 g(x)( ) Aexe x B.1 2(e xex) C.1 2(e xex) D.1 2(e xex) 【答案】 D 【解析】 f(x)g(x)ex， f(x)g(x)e x， 又 f(x)f(x)，g(x)g(x)， f(x)g(x)e x， 由解得 g(x)e xex 2 .故选 D. 10.(2020 烟台适应性练习烟台适应性练
24、习)已知定义在 R 上的函数 f(x)的周期为 2，且满足 f(x) xa，1x0， 2 5x ，0 x1， 若 2 5 f 2 9 f，则 f(5a)等于( ) A. 7 16 B2 5 C.11 16 D.13 16 【答案】B 【解析】由于函数 f(x)的周期为 2，所以 2 5 f 2 1 f1 2a， 2 9 f 2 1 f 2 1 - 5 2 1 10，所 以1 2a 1 10，所以 a 3 5，因此 f(5a)f(3)f(1)1 3 5 2 5.故选 B. 11.(2020 沈阳市高三质检沈阳市高三质检)已知函数 f(x)12 x 12x，实数 a，b 满足不等式 f(2ab)f
25、(43b)0，则下列不等 关系恒成立的是( ) Aba2 Ba2b2 Cba2 Da2b2 【答案】C 【解析】由题意知 f(x)12 x 12 x2 x1 2x1 12x 12xf(x)，所以函数 f(x)为奇函数，又 f(x) 12x 12x 212x 12x 2 12x1，所以 f(x)在 R 上为减函数，由 f(2ab)f(43b)0，得 f(2ab)f(43b)f(3b 4)，故 2ab3b4，即 ba2.故选 C. 12.(2020 湖南郴州质量检测湖南郴州质量检测)已知 f(x)是定义在2b， 1b上的偶函数， 且在2b， 0上为增函数， 则 f(x1)f(2x) 的解集为( )
26、 A. 3 2 1- ， B 3 1 1- ， C11- ， D 1 3 1， 【答案】B. 【解析】 ：因为 f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，所以 2b1b0，所以 b1，因为 f(x)在2b，0 上为增函数，即函数 f(x)在2，0上为增函数，故函数 f(x)在(0，2上为减函数，则由 f(x1)f(2x)，可得|x 1|2x|， 即(x1)24x2， 解得1x1 3.又因为定义域为2， 2， 所以 2x12， 22x2， 解得 1x3， 1x1. 综上， 所求不等式的解集为 3 1 1- ，.故选 B. 二、填空题二、填空题 1.(2019 高考全国卷高考全国卷)已知 f(x)是奇
27、函数，且当 x0 时，x0 时，f(x)f(x)eax，所 以 f(ln 2)e aln 2 a 2 1 8，所以 a3. 2.函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时，f(x)x1，则当 x0 时，f(x)x1， 所以当 x0， f(x)f(x)(x1)， 即 x0 时，f(x)(x1)x1. 3.(2020 湖南永州质检湖南永州质检)已知函数 f(x)x3sin x1(xR)，若 f(a)2，则 f(a)_ 【答案】0 【解析】设 F(x)f(x)1x3sin x，显然 F(x)为奇函数又 F(a)f(a)11，所以 F(a)f(a)1 1，从而 f(a)0. 4.(2019 绵阳模
28、拟绵阳模拟)函数 f(x) 2x1，1x3， fx4，x3， 则 f(9)_. 【答案】 1 【解析】 f(9)f(94)f(5)f(54)f(1)2 111. 5.已知奇函数 f(x)(xR)满足 f(x4)f(x2)，且当 x3,0)时，f(x)1 x3sin 2x，则 f(2021)_. 【答案】4 【解析】因为函数 f(x)(xR)为奇函数满足 f(x4)f(x2)，所以 f(x6)f(x)， 即函数 f(x)是以 6 为周期的周期函数， 因为当 x3,0)时， f(x)1 x3sin 2x， 所以 f(2021)f(337 61)f( 1) 1 13sin 2 - 4. 6.已知定义
29、在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) 1 fx，当 x0，2)时，f(x)xe x，则 f(2020)_. 【答案】1 【解析】因为定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2) 1 fx， 所以 f(x4) 1 fx2f(x)， 所以函数 f(x)的周期为 4. 当 x0,2)时，f(x)xex， 所以 f(2020)f(505 40)f(0)0e01. 7(2020 甘肃天水摸底甘肃天水摸底)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x0,1时，f(x)log2(x1)，则函数 f(x)在1,2上的解析式是_ 【答案】f(x)log2(3x) 【解析】因为 f(x)是定
30、义在 R 上以 2 为周期的函数， 当 x0,1时，f(x)log2(x1) 所以设 x1,2，则 x21,0，2x0,1 所以 f(2x)log2(2x)1log2(3x)， 又 f(x)为偶函数， 所以 f(x)f(x2)f(2x)log2(3x) 8.若函数 f(x)x 1 1 -1 2 x e a 为偶函数，则 a_. 【答案】 1 或1 【解析】 令 u(x)1a 21 ex1，根据函数 f(x)x 1 1 -1 2 x e a 为偶函数，可知 u(x)1a 21 ex1为奇函数，利用 u(0)1a 21 e010，可得 a 21，所以 a1 或 a1. 9.(2019 河北重点中学
31、联考河北重点中学联考)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在2,0上是增函数，下面是 关于 f(x)的判断： f(x)的图象关于点 P(1,0)对称；f(0)是函数 f(x)的最大值；f(x)在2,3上是减函数；f(x0)f(4kx0)，k Z. 其中正确的是_(正确的序号都填上) 【答案】 【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)f(x)，又 f(x2)f(x)，所以 f(x2)f(x)，所 以 f(x)的图象关于点 P(1,0)对称，所以正确；由 f(x2)f(x)知，f(x4)f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的函数，所以 f
32、(x0)f(4kx0)(kZ)，所以正确；因为 f(x)是以 4 为周期的函数，且在2,0上是 增函数，所以 f(x)在2,4上也是增函数，因此不正确；因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(x)在0,2 上是减函数，所以 f(x)在2,2上的最大值是 f(0)，又 f(x)是以 4 为周期的函数，所以正确所以正确的判 断是. 10.已知 f(x)是定义域为(， )的奇函数， 满足 f(1x)f(1x) 若 f(1)2， 则 f(1)f(2)f(3)f(50) _ 【答案】 ：2 【解析】 ：法一：因为 f(1x)f(1x)，所以函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称因为 f(x)
33、是奇函数，所以 函数 f(x)的图象关于坐标原点(0，0)中心对称数形结合可知函数 f(x)是以 4 为周期的周期函数因为 f(x)是 (，)上的奇函数，所以 f(0)0.因为 f(1x)f(1x)，所以当 x1 时，f(2)f(0)0；当 x2 时，f(3) f(1)f(1)2；当 x3 时，f(4)f(2)f(2)0.综上，可得 f(1)f(2)f(3)f(50)12 f(1) f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20(2)0202. 法二：取一个符合题意的函数 f(x)2sin x 2 ，则结合该函数的图象易知数列f(n)(nN*)是以 4 为周期的周 期数列故 f(1)f(2
34、)f(3)f(50)12 f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)12 20(2)020 2. 三、三、解答题解答题 1.已知定义域为R的函数 2 ( ) 2 x x b f x a 是奇函数. (1)求ab，的值； (2)用定义证明： f x在, 上为减函数. 【解析】 f x为 R 上的奇函数， 0(0)ff， 1 (0)0 1 b f a 解得：1b 又 11ff， 1 1 1 2 2 1 2 2 a a 解得1a 经检验1a ，1b符合题意 2证明：任取 1 x， 2 xR，且， 则 12 12 12 1 21 2 2121 xx xx f xf x 1221 12 1 221
35、1 221 21 21 xxxx xx 21 12 2 22 21 21 xx xx 12 xx ， 21 220 xx ， 又 12 21210 xx 12 0f xf x， f x在 , 上为减函数 2已知函数 24 ( )(0,1) 2 x x aa f xaa aa 是定义在R上的奇函数. (1)求 a 的值： (2)求函数 f x的值域； (3)当1,2x时， 220 x mf x恒成立，求实数 m 的取值范围. 【解析】(1) f x是 R 上的奇函数， fxf x 即： 2424 22 xx xx aaaa aaaa . 即 2( 4)24 22 xx xx aaaa a aaa
36、 整理可得2a. (2) 2 22212 ( )1 2 222121 xx xxx f x 在 R 上递增 2 1 1 x ， 2 20 21 x , 2 1 11 21 x 函数 f x的值域为 1,1. (3)由 2 20 x mf x 可得， 2 2 x mf x ， 21 ( )22 21 x x x mf xm . 当1,2x时， (21)(22) 21 xx x m 令(2113) x tt )， 则有 (2)(1)2 1 tt mt tt ， 函数 2 1yt t 在 1t3 上为增函数， max 210 (1) 3 t t ， 10 3 m， 故实数 m 的取值范围为(10, 3 )
