1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.7 抛物线抛物线 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内 (2)动点到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离相等 (3)定点不在定直线上 2抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0，0) 对称轴 y0 x0 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，
2、p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0) |PF|x0p 2 |PF|x0p 2 |PF|y0p 2 |PF|y0p 2 【常用结论】 1抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 F p 2，0 的距离|PF|x0 p 2，也称为抛物线的焦半径 2y2ax(a0)的焦点坐标为 a 4，0 ，准线方程为 x a 4. 3如图，设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p
3、 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (3) 1 |AF| 1 |BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 抛物线的定义及应用抛物线的定义及应用 【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题【解题要点】利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线 (2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系 进行相互转化 (3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛
4、物线焦点弦有关问题的重要途径 (4)注意灵活运用抛物线上一点 P(x，y)到焦点 F 的距离|PF|x|p 2或|PF|y| p 2. 【例 1】 过点 F(0,3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) Ay212x By212x Cx212y Dx212y 【答案】 D 【解析】 由题意，得动圆的圆心到直线 y3 的距离和到点 F(3,0)的距离相等，所以动圆的圆心是以点 F(0,3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，其方程为 x212y. 【例【例 2】 (2020 沈阳模拟沈阳模拟)抛物线 y26x 上一点 M(x1，y1)到其焦点的距离为9 2，则点 M 到坐标原点的距
5、离为 _ 【答案】 3 3 【解析】 由题意，知焦点坐标为 3 2，0 ，准线方程为 x 3 2，点 M(x1，y1)到焦点的距离等于它到准线的 距离，所以 x13 2 9 2，解得 x13，所以 y 2 118，所以|OM| x 2 1y 2 13 3. 【例3】 设P是抛物线y24x上的一个动点， F为抛物线的焦点， 若B(3， 2)， 则|PB|PF|的最小值为_ 【答案】 4 【解析】 如图， 过点 B 作 BQ 垂直准线于点 Q，交抛物线于点 P1，则 |P1Q|P1F|. 则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4. 即|PB|PF|的最小值为 4. 题型二题型二 抛物线的标准方程
6、抛物线的标准方程 【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点【规律与方法】求抛物线的标准方程应注意以下几点 (1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种 (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系 (3)要注意参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题 【例【例 1】 (2019 全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p1 的一个焦点，则 p( ) A2 B3 C4 D8 【答案】 D 【解析】 抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为 p 2，0 ，椭圆 x2 3p y2 p1 的
7、焦点坐标为( ) 2p，0 .由题意得p 2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.故选 D. 【例 2】 (2019 北京高考)设抛物线 y24x 的焦点为 F，准线为 l，则以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的方程为 _ 【答案】 (x1)2y24 【解析】 抛物线 y24x 的焦点 F 坐标为(1,0)，准线 l 的方程为 x1，以 F 为圆心，且与 l 相切的圆的 方程为(x1)2y24. 【例 3】 如图， 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B， 交其准线于点 C， 若|BC|2|BF|， 且|AF|3，则此抛物线的方程为( ) Ay29x By26
8、x Cy23x Dy2 3x 【答案】 C 【解析】 如图，过点 A，B 分别作准线的垂线，交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由 抛物线定义得|BD|a，故BCD30，在直角三角形 ACE 中，因为|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE| |AC|， 所以 33a6， 从而得 a1， |FC|3a3， 所以 p|FG|1 2|FC| 3 2， 因此抛物线的方程为 y 23x， 故选 C. 题型三题型三 抛物线的性质抛物线的性质 【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧【解题要点】抛物线几何性质的应用技巧 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看
9、出抛物线的顶点、对称轴、开口方 向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 (2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长 公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正 确解题的关键 【例 1】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求 证： (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 ； (2) 1 |AF| 1 |BF|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 【证明】 (1)由已知得抛物线焦点坐标为
10、 F(p 2，0) 由题意可设直线方程为 xmyp 2，代入 y 22px， 得 y22p myp 2 ，即 y22pmyp20.(*) 则 y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以 y1y2p2. 因为 y212px1，y222px2， 所以 y21y224p2x1x2， 所以 x1x2y 2 1y 2 2 4p2 p4 4p2 p2 4 . (2) 1 |AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p x1x2p 2（x1x2） p2 4 . 因为 x1x2p 2 4 ，x1x2|AB|p，|AB|x1x2p，代入上式，得 1 |AF| 1 |BF| |AB| p2 4
11、p 2（|AB|p） p2 4 2 p(定值) (3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，如图，分别过 A，B 作准线的垂线，垂足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足 为 N，则|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2(|AF|BF|) 1 2|AB|.所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 【例 2】 (2020 河南郑州二模河南郑州二模)已知抛物线 C：y22x，过原点作两条互相垂直的直线分别交 C 于 A，B 两点 (A，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为( ) A2 B3 C.3 2 D4 【答案】C. 【解析】 ：设直线 AB 的方程
12、为 xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 xmyt， y22x y22my2t0y1y22t， 由 OAOBx1x2y1y2（y1y2） 2 4 y1y20y1y24， 所以 t2，即直线 AB 过定点(2，0) 所以抛物线的焦点 F 到直线 AB 的距离的最大值为 21 2 3 2.故选 C. 【例 3】 (2020 洛阳模拟洛阳模拟)已知 F 是抛物线 C1： y22px(p0)的焦点， 曲线 C2是以 F 为圆心， p 2为半径的圆， 直线 4x3y2p0 与曲线 C1，C2从上到下依次相交于点 A，B，C，D，则|AB| |CD|( ) A16 B4 C.8 3 D5 3
13、【答案】A 【解析】 ：因为直线 4x3y2p0 过 C1的焦点 F(C2的圆心)，故|BF|CF|p 2，所以 |AB| |CD| |AF|p 2 |DF|p 2 .由抛物 线的定义得|AF|p 2xA， |DF| p 2xD.由 4x3y2p0， y22px 整理得 8x217px2p20， 即(8xp)(x2p)0， 可得 xA2p，xDp 8，故 |AB| |CD| xA xD 2p p 8 16.故选 A. 题型题型四四 直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系 【规律方法】【规律方法】1直线与抛物线交点问题的解题思路直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题，通常解直线方
14、程与抛物线方程组成的方程组 (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决 2解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点 弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式 (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等 解法 【提醒】 ：【提醒】 ：为了回避讨论直线斜率存在和不存在，可以灵活设直线方程 类型一类型一 直线与抛物线相切问题直线与抛物线相切问题 【例 1】 (2019 全国卷全国卷)已知曲线 C：y
15、x 2 2，D 为直线 y 1 2上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分 别为 A，B. (1)证明：直线 AB 过定点； (2)若以 E 0，5 2 为圆心的圆与直线 AB 相切，且切点为线段 AB 的中点，求四边形 ADBE 的面积 【答案】见解析 【解析】 (1)证明：设 D t，1 2 ，A(x1，y1)，则 x212y1. 因为 yx，所以切线 DA 的斜率为 x1， 故 y11 2 x1tx1. 整理得 2tx12y110. 设 B(x2，y2)，同理可得 2tx22y210. 故直线 AB 的方程为 2tx2y10. 所以直线 AB 过定点 0，1 2 . (2)由(1)得
16、直线 AB 的方程为 ytx1 2. 由 ytx1 2， yx 2 2 可得 x22tx10. 于是 x1x22t，x1x21， y1y2t(x1x2)12t21， |AB| 1t2|x1x2| 1t2 x1x224x1x22(t21) 设 d1，d2分别为点 D，E 到直线 AB 的距离， 则 d1 t21，d2 2 t21. 因此，四边形 ADBE 的面积 S1 2|AB|(d1d2)(t 23) t21. 设 M 为线段 AB 的中点，则 M t，t21 2 . 因为EM AB ，而EM (t，t22)，AB 与向量(1，t)平行， 所以 t(t22)t0，解得 t0 或 t 1. 当
17、t0 时，S3；当 t 1 时，S4 2. 因此，四边形 ADBE 的面积为 3 或 4 2. 类型二类型二 过焦点的直线与抛物线相交问题过焦点的直线与抛物线相交问题 【例【例 2】 (2020 湖南长郡中学模拟湖南长郡中学模拟)已知 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，E 为其准线与 x 轴的交点，过 F 的 直线交抛物线 C 于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且|ME| 11，则|AB|( ) A6 B3 3 C8 D9 【答案】 A 【解析】 根据题意，知直线 AB 的斜率存在且不为零，抛物线的焦点坐标是 F(1,0)设直线 AB：yk(x 1)，将直线方程与抛物线方程联立得方
18、程组 y24x， ykx1， 消去 y 并整理，得 k2x2(2k24)xk20，则 x1 x22k 24 k2 ，从而 M k22 k2 ，2 k .又 E(1,0)，根据|ME| 11，得 k22 k2 1 24 k211，解得 k 22.所以|AB| x1x2p24 k226.故选 A. 【例 3】 过抛物线 y22px(p0)的焦点作直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，直线 l 与 y 轴的负半轴交于点 C. 若AB 3BC，则直线 l 的斜率为_ 【答案】2 2 【解析】解法一：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线 l 的方程为 yk xp 2 (k0)由AB 3BC，得
19、x 14x2.由 y22px， yk xp 2 得 k2x2(k22)pxp 2k2 4 0， 则 x1x2pk 22 k2 ， x1x2p 2 4 ， 故x1x2 x1x2 2k 22 k2 ， 即5 22 4 k2， 解得 k2 2. 解法二： 设直线 l：yk xp 2 (k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由AB 3BC，得 x 14x2.由 y22px， yk xp 2 ， 得 k2x2(k22)pxp 2k2 4 0，则 x1x2p 2 4.所以 x1p，y1 2p，则直线 l 的斜率 k y1 x1p 2 2p pp 2 2 2. 类型三类型三 不过焦点的直线与抛物线相交问
20、题不过焦点的直线与抛物线相交问题 【例【例 4】 (2019 全国卷全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为3 2的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x 轴的交点为 P. (1)若|AF|BF|4，求 l 的方程； (2)若AP 3PB，求|AB|. 【答案】见解析 【解析】 设直线 l：y3 2xt，A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)由题设得 F 3 4，0 ， 故|AF|BF|x1x23 2. 又|AF|BF|4，所以 x1x25 2. 由 y3 2xt， y23x 可得 9x212(t1)x4t20， 则 x1x24t1 3 . 从而4t1 3 5 2，得 t
21、 7 8. 所以 l 的方程为 y3 2x 7 8. (2)由AP 3PB可得 y 13y2. 由 y3 2xt， y23x 可得 y22y2t0， 所以 y1y22，从而3y2y22，故 y21，y13. 代入 C 的方程得 x13，x21 3， 即 A(3,3)，B 1 3，1 . 故|AB|4 13 3 . 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x 2 3p y2 p1 的一个焦点，则 p( ) A2 B3 C4 D8 【答案】D. 【解析】 ：由题意，知抛物线的焦点坐标为 p 2，0 ，椭圆的焦点坐标为( 2p，0)，所以 p
22、 2 2p，解得 p8， 故选 D. 2(2020 河北衡水三模河北衡水三模)设 F 为抛物线 y24x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若 A，B，C 三点坐标 分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且|FA |FB|FC|10，则 x 1x2( ) A6 B5 C4 D3 【答案】A. 【解析】 ：根据抛物线的定义，知|FA |，|FB|，|FC|分别等于点 A，B，C 到准线 x1 的距离，所以由|FA| |FB |FC|10，可得 2x 11x2110，即 x1x26.故选 A. 3(2020 河北邯郸一模河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之
23、称，它的桥形可近似地看成 抛物线，该桥的高度为 5 m，跨径为 12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( ) A.25 12 m B25 6 m C.9 5 m D18 5 m 【答案】D. 【解析】 ：建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线的解析式为 x22py，p0， 因为抛物线过点(6，5)，所以 3610p，可得 p18 5 ， 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为18 5 m故选 D. 4(2020 河南安阳三模河南安阳三模)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线为 l，l 与 x 轴的交点为 P，点 A 在 抛物线 C 上，过点 A 作 AAl，垂足为
24、A.若四边形 AAPF 的面积为 14，且 cosFAA3 5，则抛物线 C 的方程为( ) Ay2x By22x Cy24x Dy28x 【答案】C. 【解析】 ：过点 F 作 FFAA，垂足为 F.设|AF|3x，因为 cosFAA3 5，故|AF|5x，则|FF|4x，由 抛物线定义可知，|AF|AA|5x，则|AF|2xp，故 xp 2.四边形 AAPF 的面积 S （|PF|AA|） |FF| 2 p5 2p 2p 2 14，解得 p2，故抛物线 C 的方程为 y24x. 5(2020 江西萍乡一模江西萍乡一模)已知动圆 C 经过点 A(2，0)，且截 y 轴所得的弦长为 4，则圆心
25、 C 的轨迹是( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 【答案】D. 【解析】 ：设圆心 C(x，y)，弦为 BD，过点 C 作 CEy 轴，垂足为 E，则|BE|2， 则有|CA|2|BC|2|BE|2|CE|2， 所以(x2)2y222x2，化为 y24x，则圆心 C 的轨迹为抛物线 故选 D. 6(2020 成都模拟成都模拟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，准线 l：x1，点 M 在抛物线 C 上，点 M 在直线 l：x1 上的射影为 A，且直线 AF 的斜率为 3，则MAF 的面积为( ) A. 3 B2 3 C4 3 D8 3 【答案】C. 【解析】 ：如图所示，设准
26、线 l 与 x 轴交于点 N. 则|FN|2. 因为直线 AF 的斜率为 3，所以AFN60. 所以MAF60，|AF|4. 由抛物线的定义可得|MA|MF|， 所以AMF 是边长为 4 的等边三角形 所以 SAMF 3 4 424 3. 故选 C. 7(2020 重庆调研重庆调研)已知抛物线 y22px(p0)，点 C(4，0)，过抛物线的焦点作垂直于 x 轴的直线，与抛 物线交于 A，B 两点，若CAB 的面积为 24，则以直线 AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) Ay24x By24x Cy28x Dy28x 【答案】D. 【解析】 ： 因为 ABx 轴， 且 AB 过点 F， 所以
27、 AB 是焦点弦， 且|AB|2p， 所以 SCAB1 22p p 24 24， 解得 p4 或12(舍)，所以抛物线方程为 y28x，所以直线 AB 的方程为 x2，所以以直线 AB 为准线的抛 物线的标准方程为 y28x.故选 D. 8已知双曲线 C1：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，若抛物线 C2：x 22py(p0)的焦点到双曲线 C 1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2的方程是( ) Ax216y Bx28y Cx28 3 3 y Dx216 3 3 y 【答案】A. 【解析】 ： 因为双曲线 C1： x2 a2 y2 b21(a0， b0)的离心率为 2
28、， 所以 c a2.因为双曲线的渐近线方程为 bx ay 0，抛物线 C2：x22py(p0)的焦点 0，p 2 到双曲线的渐近线的距离为 2，所以 a p 2 a2b2 p 2 a c p 42，解 得 p8，所以抛物线 C2的方程是 x216y. 9已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点若|FA|2|FB|，则 k ( ) A.1 3 B 2 3 C.2 3 D2 2 3 【答案】D. 【解析】 ：设抛物线 C：y28x 的准线为 l，易知 l：x2， 直线 yk(x2)恒过定点 P(2，0)， 如图，过 A，B 分别作 AMl 于点
29、 M，BNl 于点 N， 由|FA|2|FB|，知|AM|2|BN|， 所以点 B 为线段 AP 的中点，连接 OB， 则|OB|1 2|AF|， 所以|OB|BF|，所以点 B 的横坐标为 1， 因为 k0， 所以点 B 的坐标为(1，2 2)， 所以 k 2 20 1（2） 2 2 3 .故选 D. 10.(2020 河南郑州二模河南郑州二模)已知抛物线 C： y24x 的焦点为 F， 直线 l 过焦点 F 与抛物线 C 分别交于 A， B 两点， 且直线 l 不与 x 轴垂直，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 T(5，0)，则 SAOB( ) A2 2 B 3 C. 6 D3 6
30、 【答案】A. 【解析】 ：如图所示，F(1，0)设直线 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段 AB 的中点 E(x0，y0) 则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y1 k(x5) 联立 yk（x1）， y24x 化为 ky24y4k0，所以 y1y24 k，y1y24，所以 y0 1 2(y1y2) 2 k，x0 y0 k 1 2 k21，把 E 2 k21， 2 k 代入线段 AB 的垂直平分线的方程 y1 k(x5)，可得 2 k 1 k 2 k215 ，解得 k 2 1. SOAB1 21|y1y2| 1 2 （y1y2）24y1y21 2 16
31、 k2162 2.故选 A. 11(2020 广东广州一模广东广州一模)已知 F 为抛物线 C：y26x 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点， 且|AF| 3|BF|，则|AB|( ) A6 B8 C10 D12 【答案】B. 【解析】 ：抛物线 y26x 的焦点坐标为 3 2，0 ，准线方程为 x 3 2， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为|AF|3|BF|， 所以 x13 23 x23 2 ， 所以 x13x23， 因为|y1|3|y2|，所以 x19x2， 所以 x19 2，x2 1 2， 所以|AB| x13 2 x23 2 8. 故选 B. 12
32、.(2020 江西九江二模江西九江二模)已知抛物线 C：x24y 的焦点为 F，直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，连接 AF 并 延长交抛物线 C 于点 D，若 AB 中点的纵坐标为|AB|1，则当AFB 最大时，|AD|( ) A4 B8 C16 D16 3 【答案】C. 【解析】 ：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)， 由抛物线定义得 y1y22|AF|BF|， 因为y1y2 2 |AB|1， 所以|AF|BF|2|AB|， 所以 cosAFB|AF| 2|BF|2|AB|2 2|AF|BF| 3（|AF| 2|BF|2）2|AF| |BF| 8|AF| |
33、BF| 6|AF| |BF|2|AF| |BF| 8|AF| |BF| 1 2， 当且仅当|AF|BF|时取等号 所以当AFB 最大时，AFB 为等边三角形， 联立 y 3x1， x24y， 消去 y 得，x24 3x40， 所以 x1x34 3， 所以 y1y3 3(x1x3)214. 所以|AD|16. 故选 C. 二、填空题二、填空题 1.以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A， B 两点， 交 C 的准线于 D， E 两点 已知|AB|4 2， |DE|2 5， 则 C 的焦点到准线的距离为_ 【答案】 ：4 【解析】 ：由题意，不妨设抛物线方程为 y22px(p0)，由|AB|
34、4 2，|DE|2 5，可取 A 4 p，2 2 ， D p 2， 5 ，设 O 为坐标原点，由|OA|OD|，得 16 p28 p2 4 5，得 p4. 2过抛物线 C：y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN|AB|，则 l 的斜率为_ 【答案】 ： 3 3 【解析】 ：设抛物线的准线为 m， 分别过点 A，N， B 作 AAm，NNm，BBm，垂足分别为 A，N， B.因为直线 l 过抛物线的焦点， 所以|BB|BF|， |AA|AF|.又 N 是线段 AB 的中点
35、， |MN|AB|， 所以|NN| 1 2(|BB|AA|) 1 2(|BF|AF|) 1 2|AB| 1 2|MN|， 所以MNN60， 则直线MN的倾斜角为120.又MNl， 所以直线 l 的倾斜角为 30，斜率是 3 3 . 3已知点 M(1，1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB 90，则 k_ 【答案】 ：2 【解析】 ： 法一： 由题意知抛物线的焦点为(1， 0)， 则过 C 的焦点且斜率为 k 的直线方程为 yk(x1)(k0)， 由 yk（x1）， y24x， 消去 y 得 k2(x1)24x，即 k2x2(2k24)x
36、k20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 2k 24 k2 ，x1x21.由 yk（x1）， y24x， 消去 x 得 y24 1 ky1 ，即 y 24 ky40，则 y1y2 4 k，y1y24， 由AMB90，得MA MB (x11，y11) (x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，将 x1 x22k 24 k2 ，x1x21 与 y1y24 k，y1y24 代入，得 k2. 法二： 设抛物线的焦点为 F， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y2 14x1， y224x2，所以 y 2 1y 2 24(x1x2)， 则 ky 1y2
37、 x1x2 4 y1y2， 取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为 A，B，又AMB90， 点 M 在准线 x1 上，所以|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB|)又 M为 AB 的中点，所以 MM 平行于 x 轴，且 y01，所以 y1y22，所以 k2. 3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x 22py(p0)交于 A， B 两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_ 【答案】 y 2 2 x 【解析】 设 A(x1，y1
38、)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1p 2，|BF|y2 p 2，|OF| p 2，由|AF|BF| y1p 2y2 p 2y1y2p4|OF|2p，得 y1y2p. kABy2y1 x2x1 x22 2p x21 2p x2x1 x2x1 2p . 由 x21 a2 y21 b21， x22 a2 y22 b21， 得 kABy2y1 x2x1 b2（x1x2） a2（y1y2） b2 a2 x1x2 p ，则b 2 a2 x1x2 p x2x1 2p ，所以b 2 a2 1 2 b a 2 2 ，所以 双曲线的渐近线方程为 y 2 2 x. 4.ABC 的三个顶点都在抛物线
39、 E：y22x 上，其中 A(2，2)，ABC 的重心 G 是抛物线 E 的焦点，则 BC 边所在直线的方程为_ 【答案】 4x4y50 【解析】 设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，边 BC 的中点为 M(x0，y0)，易知 G 1 2，0 ，则 x 1x22 3 1 2， y1y22 3 0， 从而 x0 x 1x2 2 1 4， y0y1y2 2 1， 即 M 1 4，1 ， 又 y212x1，y222x2，两式相减得(y1y2)(y1y2)2(x1x2)，则直线 BC 的斜率 kBCy1y2 x1x2 2 y1y2 2 2y0 1 y0 1，故直线 BC 的方程为 y(1) x1
40、4 ，即 4x4y50. 5.已知 F 为抛物线 C：y22x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直 线 l2与 C 交于 D，E 两点，则|AB|DE|的最小值为_ 【答案】 8 【解析】 法一：由题意知，直线 l1，l2的斜率都存在且不为 0，F 1 2，0 ，设 l1：xty 1 2，则直线 l1的斜 率为1 t， 联立方程得 y 22x， xty1 2， 消去 x 得 y22ty10. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22t，y1y21. 所以|AB| t21|y1y2| t21 （y1y2）24y1y2 t21
41、4t242t22， 同理得，用1 t替换 t 可得|DE| 2 t22，所以|AB|DE|2 t21 t2 4448，当且仅当 t21 t2，即 t 1 时等号成立，故|AB|DE|的最小值为 8. 法二：由题意知，直线 l1，l2的斜率都存在且不为 0，F 1 2，0 ，不妨设 l1的斜率为 k，则 l1：yk x1 2 ， l2：y1 k x1 2 . 由 y 22x， yk x1 2 ，消去 y 得 k 2x2(k22)xk 2 40， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x21 2 k2. 由抛物线的定义知， |AB|x1x2112 k212 2 k2. 同理可得，用1 k
42、替换|AB|中 k，可得|DE|22k 2，所以|AB|DE|22 k222k 242 k22k 2448， 当且仅当 2 k22k 2，即 k 1 时等号成立，故|AB|DE|的最小值为 8. 6.已知直线 ya 交抛物线 yx2于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB 为直角，则实数 a 的取 值范围为_ 【答案】 ：1，) 【解析】 ：如图，设 C(x0，x20)(x20a)，A( a，a)，B( a，a)， 则CA ( ax 0，ax 2 0)，CB ( ax 0，ax 2 0) 因为 CACB，所以CA CB0， 即(ax20)(ax20)20，(ax20)(1ax20)0
43、， 所以 x20a10，所以 a1. 7.已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点 F 且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若AMB 90 ，则 k_. 【答案】 2 【解析】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y214x1， y224x2， 所以 y21y224x14x2，所以 ky1y2 x1x2 4 y1y2. 取 AB 的中点 M(x0，y0)，分别过点 A，B 作准线 x1 的垂线，垂足分别为 A，B. 因为AMB90 ，所以|MM|1 2|AB| 1 2(|AF|BF|) 1 2(|AA|BB|) 因为 M为 AB 的中点，所以 MM平行于 x
44、 轴 因为 M(1,1)，所以 y01，则 y1y22，所以 k2. 8.(2020 银川摸底银川摸底)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，动点 P 在抛物线 C 上，点 A(1,0)，则|PF| |PA|的最小值 为_；当|PF| |PA|取得最小值时，直线 AP 的方程为_ 【答案】 2 2 xy10 或 xy10 【解析】 设 P 点的坐标为(4t2,4t)，F(1,0)，A(1,0)， |PF|2(4t21)216t216t48t21， |PA|2(4t21)216t216t424t21， |PF| |PA| 216t 48t21 16t424t211 16t2 16t424t21
45、1 16 16t21 t224 1 16 216t2 1 t224 116 32 1 2， 当且仅当 16t21 t2，即 t 1 2时取等号 故|PF| |PA|的最小值为 2 2 ； 当|PF| |PA|取得最小值时， 点 P 的坐标为(1,2)或(1， 2)， 直线 AP 的方程为 y (x1)， 即 xy10 或 xy10. 三三 解答题解答题 1(2020 洛阳模拟洛阳模拟)已知抛物线 E：x22py(p0)的焦点为 F，A(2，y0)是 E 上一点，且|AF|2. (1)求 E 的方程； (2)设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 yx3 交于点 P，过点 P
46、 作 x 轴的垂线交 E 于点 M， 证明：直线 BM 过定点 【答案】见解析 【解析】 (1)根据题意，知 42pya， 因为|AF|2，所以 yap 22. 联立解得 ya1，p2.所以 E 的方程为 x24y. (2)证明：设 B(x1，y1)，M(x2，y2) 由题意，可设直线 BM 的方程为 ykxb， 代入 x24y，得 x24kx4b0. 所以 x1x24k，x1x24b. 由 MPx 轴及点 P 在直线 yx3 上， 得 P(x2，x23)， 则由 A，P，B 三点共线，得x24 x22 kx1b1 x12 ，整理， 得(k1)x1x2(2k4)x1(b1)x22b60. 将代
47、入上式并整理，得(2x1)(2kb3)0. 由点 B 的任意性，得 2kb30， 所以 ykx32kk(x2)3. 即直线 BM 恒过定点(2,3) 2.(2020 咸阳二模咸阳二模)设定点 F(0,1)，动点 E 满足：以 EF 为直径的圆与 x 轴相切 (1)求动点 E 的轨迹 C 的方程； (2)设 A，B 是曲线 C 上的两点，若曲线 C 在 A，B 处的切线互相垂直，求证：A，F，B 三点共线 【答案】见解析 【解析】 (1)设 E 点坐标为(x，y)，则 EF 中点为圆心，设为 P，则 P 点坐标为 x 2， y1 2 .P 到 x 轴的距离 等于|EF| 2 ， 即 y1 2 x2y12 2 ，化简得 x24y. 点 E 的轨迹 C 的方程为 x24y. (2)证明：由(1)知，曲线 C
