1、2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破 专题专题 9.3 圆的方程圆的方程 目录 一、考点全归纳一、考点全归纳 1圆的定义及方程圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆 标准方程 (xa)2(yb)2r2(r0) 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2y2DxEyF0(D2 E24F0) 圆心： D 2， E 2 ， 半径：1 2 D2E24F 2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系： (1)若 M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2
2、(y0b)2r2. (2)若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2. (3)若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2. 【常用结论】几种常见圆的方程的设法【常用结论】几种常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在原点 x2y2r2 x2y2r20 续 表 标准方程的设法 一般方程的设法 过原点 (xa)2(yb)2a2b2 x2y2DxEy0 圆心在 x 轴上 (xa)2y2r2 x2y2DxF0 圆心在 y 轴上 x2(yb)2r2 x2y2EyF0 与 x 轴相切 (xa)2(yb)2b2 x2y2DxEy1 4D 20 与 y 轴相切
3、(xa)2(yb)2a2 x2y2DxEy1 4E 20 二、题型全归纳二、题型全归纳 题型一题型一 求圆的方程求圆的方程 【解题要点】求圆的方程的两种方法【解题要点】求圆的方程的两种方法 (1)直接法直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 (2)待定系数法待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组， 从而求出 a，b，r 的值； 若已知条件没有明确给出圆心或半径， 则选择圆的一般方程， 依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组， 进而求出 D，E，F 的值 【提醒】【提醒】解答圆的有关问题
4、，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质 类型一类型一 已知不共线的三点，求圆的方程已知不共线的三点，求圆的方程 【例 1】已知圆 E 经过三点 A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圆心在 x 轴的正半轴上，则圆 E 的标准方程 为_ 【答案】 x3 4 2 y225 16 【解析】 法一(待定系数法)：根据题意，设圆 E 的圆心坐标为(a，0)(a0)，半径为 r，则圆 E 的标准方程 为(xa)2y2r2(a0) 由题意得 a 212r2， （2a）2r2， a2（1）2r2， 解得 a 3 4， r225 16， 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2 y225 16. 法二(待定
5、系数法)：设圆 E 的一般方程为 x2y2DxEyF0(D2E24F0)， 则由题意得 1EF0， 42DF0， 1EF0， 解得 D3 2， E0， F1， 所以圆 E 的一般方程为 x2y23 2x10， 即 x3 4 2 y225 16. 法三(几何法)：因为圆 E 经过点 A(0，1)，B(2，0)，所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y1 22(x1) 上 又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，所以圆 E 的圆心坐标为 3 4，0 . 则圆 E 的半径为 EB 23 4 2 （00）25 4， 所以圆 E 的标准方程为 x3 4 2 y225 16. 类型二类型二 已知两点
6、及圆心所在直线，求圆的方程已知两点及圆心所在直线，求圆的方程 【例 2】求圆心在直线 x2y30 上，且过点 A(2，3)，B(2，5)的圆的方程 【答案】(x1)2(y2)210 【解析】 法一：设点 C 为圆心，因为点 C 在直线 x2y30 上， 所以可设点 C 的坐标为(2a3，a) 又该圆经过 A，B 两点， 所以|CA|CB|， 即（2a32）2（a3）2 （2a32）2（a5）2，解得 a2， 所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r 10. 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2， 由题意得 （2a） 2（3b）2r2，
7、 （2a）2（5b）2r2， a2b30， 解得 a1， b2， r210， 故所求圆的方程为(x1)2(y2)210. 法三：设圆的一般方程为 x2y2DxEyF0，则圆心坐标为 D 2， E 2 . 由题意得 D 2 2 E 2 30， 492D3EF0， 4252D5EF0， 解得 D2， E4， F5. 故所求圆的方程为 x2y22x4y50. 类型三类型三 已知直线与圆的位置关系，求圆的方程已知直线与圆的位置关系，求圆的方程 【例【例 3】(2020 石家庄一模石家庄一模)已知圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，且圆 C 过点(1，0)和(2，3)，则圆 C 的半 径为( ) A8 B2
8、 2 C5 D 5 【答案】D. 【解析】 ：法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)因为圆 C 经过点(1，0)和(2，3)，所以 （a1）2b2r2， （a2）2（b3）2r2，所以 ab20， 又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，所以|a|b|， 由得 ab1，所以圆 C 的半径为 5，故选 D. 法二：因为圆 C 经过点 M(1，0)和 N(2，3)，所以圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线 yx2 上，又圆 C 截两坐标轴所得弦长相等，所以圆心 C 到两坐标的距离相等，所以圆心 C 在直线 y x 上，因为直线 y x 和直线 yx2 平行， 所以圆心 C 为直线 yx
9、和直线 yx2 的交点(1， 1)， 所以圆 C 的半径为 5. 故选 D. 【例【例 4】 】 (2020 湖北湖北“荆、 襄、 宜七校考试联盟荆、 襄、 宜七校考试联盟”期末期末)已知圆 C 经过直线 xy20 与圆 x2y24 的交点， 且圆 C 的圆心在直线 2xy30 上，则圆 C 的方程为_ 【答案】 ：(x3)2(y3)234 【解析】 ：设所求圆的方程为(x2y24)a(xy2)0，a0，即 x2y2axay42a0， 所以圆心为 a 2， a 2 ，因为圆心在直线 2xy30，所以aa 230，所以 a6. 所以圆的方程为 x2y26x6y160，即(x3)2(y3)234.
10、 题型二题型二 与圆有关的轨迹问题与圆有关的轨迹问题 【规律与方法】【规律与方法】1掌握掌握“三方法三方法” 2明确明确“五步骤五步骤” 【例 1】已知圆 x2y24 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 【答案】见解析 【解析】 ：(1)设 AP 的中点为 M(x，y)，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2，2y) 因为 P 点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y
11、)，在 Rt PBQ 中，|PN|BN|， 设 O 为坐标原点，连接 ON(图略)，则 ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 【例【例 2】(2020 潍坊调研潍坊调研)已知圆 x2y24 上一定点 A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q 为圆上的动点 (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若PBQ90 ，求线段 PQ 中点的轨迹方程 【答案】见解析 【解析】 (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x2,2y) 因为 P
12、点在圆 x2y24 上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设 PQ 的中点为 N(x，y)， 在 Rt PBQ 中，|PN|BN|. 设 O 为坐标原点，连接 ON，则 ONPQ， 所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以 x2y2(x1)2(y1)24. 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x2y2xy10. 题型三题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题 【解题要点】【解题要点】借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解 (1)形如 yb xa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的
13、最值问题或转化为线性规划问题 (2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题 (3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题 类型一类型一 建立函数关系求最值建立函数关系求最值 【例【例 1】 】 (2020 厦门模拟厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)，B(2，0)，则PA PB 的最大值为_ 【答案】 12 【解析】 由题意，知PA (2x，y)，PB(2x，y)，所以PA PBx2y24，由于点 P(x，y)是圆 上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x
14、2(y3)21，所以PA PB(y3)21y246y 12.由圆的方程 x2(y3)21，易知 2y4，所以当 y4 时，PA PB的值最大，最大值为 6 41212. 类型二类型二 借助几何性质求最值借助几何性质求最值 【例【例 2】 】 (2020 湖南师大附中模拟湖南师大附中模拟)已知点 A(2,0)， B(0,1)， 若点 C 是圆 x22axy2a210 上的动点， ABC 面积的最小值为 3 2，则 a 的值为_ 【答案】1 或5 【解析】由题意，知圆的标准方程为(xa)2y21，则圆心为(a,0)，半径 r1，又 A(2,0)，B(0,2)可得直 线 AB 的方程为 x 2 y
15、21，即 xy20.所以圆心到直线 AB 的距离 d |a2| 2 ，则圆上的点到直线 AB 的 最短距离为 dr|a2| 2 1， 又|AB| 442 2， 所以 ABC 面积的最小值为1 2|AB| (dr) 2 |a2| 2 1 3 2，解得 a1 或5. 【例 3】 (1)已知实数 x， y 满足方程 x2y24x10， 则(1)y x的最大值和最小值分别为_和_； (2)yx 的最大值和最小值分别为_和_； (3)x2y2的最大值和最小值分别为_和_ 【答案】 (1) 3 3 (2)2 6 2 6 (3)74 3 74 3 【解析】 原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆
16、心， 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设 y xk，即 ykx.当直线 ykx 与圆相切时(如图)，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0| k21 3，解得 k 3.所以 y x的最大值为 3，最小值为 3. (2)yx 可以看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距如图所示，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得 最大值或最小值， 此时|20b| 2 3，解得 b2 6，所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方 由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得 最大值和最小值又圆心到原点的距
17、离为 2，所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是 (2 3)274 3. 三、高效训练突破三、高效训练突破 一、选择题一、选择题 1圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2)的圆的方程是( ) Ax2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21 【答案】A. 【解析】 ：设圆心为(0，a)，则 （10）2（2a）21，解得 a2，故圆的方程为 x2(y2)21.故选 A. 2(2020 河北省九校第二次联考河北省九校第二次联考)圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相 切，则圆 C 的方程为
18、( ) Ax2y22x30 Bx2y24x0 Cx2y24x0 Dx2y22x30 【答案】C. 【解析】 ：由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则 |3m4| 32422，解得 m2 或 m 14 3 (舍去)，故 所求圆的方程为(x2)2y24，即 x2y24x0.故选 C. 3圆：x2y22x2y10 上的点到直线 xy2 距离的最大值是( ) A1 2 B2 C1 2 2 D22 2 【答案】A 【解析】将圆的方程化为(x1)2(y1)21，即圆心坐标为(1,1)，半径为 1，则圆心到直线 xy2 的距 离 d|112| 2 2，故圆上的点到直线 xy2 距离的最大值为 d
19、1 21，故选 A. 4圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) Ax2(y2)25 B(x2)2y25 Cx2(y2)25 D(x1)2y25 【答案】B 【解析】 因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25 的圆心(2， 0)关于原点(0,0)对称， 所以所求圆的圆心为(2,0)， 半径为 5，故所求圆的方程为(x2)2y25.故选 B. 5.圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a( ) A4 3 B3 4 C. 3 D2 【答案】A 【解析】 圆的方程可化为(x1)2(y4)24， 则圆心坐标为(1,4)， 圆心到直线axy10的距离为|
20、a41| a21 1，解得 a4 3.故选 A. 6(2020 合肥二模合肥二模)已知圆 C：(x6)2(y8)24，O 为坐标原点，则以 OC 为直径的圆的方程为( ) A(x3)2(y4)2100 B(x3)2(y4)2100 C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225 【答案】C 【解析】由圆 C 的圆心坐标 C(6,8)，得 OC 的中点坐标为 E(3，4)，半径|OE| 32425，则以 OC 为直 径的圆的方程为(x3)2(y4)225. 7(2020 黄冈市高三元月调研黄冈市高三元月调研)已知圆 x2y22k2x2y4k0 关于直线 yx 对称，则 k 的值为( )
21、A1 B1 C 1 D0 【答案】A 【解析】化圆 x2y22k2x2y4k0 为(xk2)2(y1)2k44k1.则圆心坐标为(k2，1)，圆 x2 y22k2x2y4k0 关于直线 yx 对称， k21， 得 k 1.当 k1 时， k44k10， b0)把圆(x4)2(y1)216 分成面积相等的两部分， 则 1 2a 2 b的最小值为( ) A10 B8 C5 D4 【答案】B 【解析】由已知，得圆心 C(4，1)在直线 axby10 上，所以4ab10，即 4ab1，又因为 a0，b0，所以 1 2a 2 b 1 2a 2 b (4ab) b 2a 8a b 42 b 2a 8a b
22、 48，当且仅当 b 2a 8a b 时，等号成立，此 时 b4a，结合 4ab1，知 a1 8，b 1 2.所以当 a 1 8，b 1 2时， 1 2a 2 b取得最小值 8. 二、填空题二、填空题 1.已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2xy0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的方程为_ 【答案】 ：(x2)2y29 【解析】 ：因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0，所以圆心到直线 2xy0 的距离 d2a 5 4 5 5 ，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|CM|453，所以圆 C 的方程为(x2)2y2
23、9. 2已知点 P(2，2)，圆 C：x2y28y0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点，则点 M 的轨迹方程为_ 【答案】 ：(x1)2(y3)22 【解析】 ：圆 C 的方程可化为 x2(y4)216， 所以圆心为 C(0，4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则CM (x，y4)，MP (2x，2y) 由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0. 即(x1)2(y3)22. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以点 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. 3 一个圆与y轴相切， 圆心在直线x3y0上， 且在直线yx
24、上截得的弦长为2 7， 则该圆的方程为_ 【答案】 ：x2y26x2y10 或 x2y26x2y10 【解析】 ：法一：因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 所以设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与 y 轴相切， 所以半径 r3|a|， 又所求圆在直线 yx 上截得的弦长为 2 7，圆心(3a，a)到直线 yx 的距离 d|2a| 2， 所以 d2( 7)2r2， 即 2a279a2，所以 a 1. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29， 即 x2y26x2y10 或 x2y26x2y 10. 法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2， 则圆心(a，b
25、)到直线 yx 的距离为|ab| 2 ， 所以 r2（ab） 2 2 7，即 2r2(ab)214. 由于所求圆与 y 轴相切，所以 r2a2， 又因为所求圆的圆心在直线 x3y0 上， 所以 a3b0， 联立，解得 a3， b1， r29 或 a3， b1， r29. 故所求圆的方程为(x3)2(y1)29 或(x3)2(y1)29， 即 x2y26x2y10 或 x2y26x2y 10. 法三：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0，则圆心的坐标为 D 2， E 2 ， 半径 r1 2 D2E24F. 在圆的方程中，令 x0，得 y2EyF0. 由于所求圆与 y 轴相切， 所以 0，则 E
26、24F. 圆心 D 2， E 2 到直线 yx 的距离为 d D 2 E 2 2 ， 由已知得 d2( 7)2r2， 即(DE)2562(D2E24F) 又圆心 D 2， E 2 在直线 x3y0 上， 所以 D3E0. 联立，解得 D6， E2， F1 或 D6， E2， F1. 故所求圆的方程为 x2y26x2y10 或 x2y26x2y10. 4.(2020 福建厦门一模福建厦门一模)在 ABC 中，AB4，AC2，A 3，动点 P 在以点 A 为圆心，半径为 1 的圆上，则 PB PC的最小值为_ 【答案】 ：52 7 【解析】 ：如图，以点 A 为原点，AB 边所在直线为 x 轴建立
27、平面直角坐标系 则 A(0，0)，B(4，0)，C(1， 3)，设 P(x，y)，则PB (4x，y)，PC(1x， 3y)， 所以PB PC(4x)(1x)y( 3y)x25xy2 3y4 x5 2 2 y 3 2 2 3， 其中 x5 2 2 y 3 2 2 表示圆 A 上的点 P 与点 M 5 2， 3 2 之间距离|PM|的平方， 由几何图形可得|PM|min|AM|1 5 2 2 3 2 2 1 71，所以(PB PC) min( 71) 2352 7. 5已知以点 P 为圆心的圆经过点 A(1，0)和 B(3，4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D，且|CD| 4
28、 10.则直线 CD 的方程为_，圆 P 的方程为_ 【答案】 ：xy30 (x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240 【解析】 ：由题意知，直线 AB 的斜率 k1，中点坐标为(1，2) 则直线 CD 的方程为 y2(x1)，即 xy30. 设圆心 P(a，b)，则由点 P 在 CD 上得 ab30. 又因为直径|CD|4 10，所以|PA|2 10， 所以(a1)2b240. 由解得 a3， b6， 或 a5， b2. 所以圆心 P(3，6)或 P(5，2) 所以圆 P 的方程为(x3)2(y6)240 或(x5)2(y2)240. 三三 解答题解答题 1.(2020 柳州摸底柳
29、州摸底)在平面直角坐标系 xOy 中， 经过函数 f(x)x2x6 的图象与两坐标轴交点的圆记为圆 C. (1)求圆 C 的方程； (2)求经过圆心 C 且在坐标轴上截距相等的直线 l 的方程 【答案】见解析 【解析】 (1)设圆 C 的方程为 x2y2DxEyF0.由 f(x)x2x6 得， 其图象与两坐标轴的交点为(0， 6)，(2,0)，(3,0)，将交点坐标代入圆的方程得 366EF0， 42DF0， 93DF0， 解得 D1， E5， F6， 所以圆的方程为 x2y2x5y60. (2)由(1)知，圆心坐标为 1 2， 5 2 ，若直线经过原点，则直线 l 的方程为 5xy0；若直线
30、不过原点，设直 线 l 的方程为 xya，则 a1 2 5 22，即直线 l 的方程为 xy20.综上，直线 l 的方程为 5xy0 或 xy20. 2.设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 【答案】见解析 【解析】 ：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 yk（x1）， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 .
31、 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即 yx5.设所求圆 的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05， （x01）2（y0 x01） 2 2 16， 解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 3.已知圆 O：x2y21，点 A(1,0)，点 B(1,0)点 P 是圆 O 上异于 A，B 的动点 (1
32、)证明：kAP kBP是定值； (2)过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，点 M 满足 2PQ PM ，求点 M 的轨迹方程 C； (3)证明：kAM kBM是定值 【答案】见解析 【解析】(1)证明：由已知，直线 AP，BP 的斜率存在，AB 是圆 O 的直径，所以 APBP，所以 kAP kBP 1 是定值 (2)设 P(m，n)，M(x，y)，则 Q(m,0)， 则PQ (0，n)，PM (xm，yn)， 因为 2PQ PM ， 所以 2(0，n)(xm，yn)， 得 0 xm， 2nyn， 即 mx， n1 3y， 因为点 P 在圆 O 上，所以 m2n21， 将代入，得 x2y 2 91，又点 P 异于 A，B， 所以 x1，即点 M 的轨迹方程 C 为 x2y 2 91(x1) (3)证明：由已知，直线 AM，BM 的斜率存在， kAM y x1，kBM y x1， 由(2)知，x21y 2 9， 所以 kAM kBM y x1 y x1 y2 x219， 即 kAM kBM是定值
