高中必修一三角函数讲义

1、第第 7 7 章章 三角函数三角函数 时间：120 分钟 满分：150 分 一单项选择题本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项符合题目要求 1.已知 为第二象限角，且 cos 3 5，则 tan。

2、 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系同步测试题同步测试题 （含（含少量少量诱导公式）诱导公式） 一选择题（本大题共 12 小题） 1已知a是第二象限角, 5 sin,cos 13 aa则（ ） A 12 13 B 5 13 C 5 13 D12 13 2若 3 cos 5 ，且是第四象限角，则sin的值为（ ） A 4 5 B 4 5 C 4 5 D 3 5 3已知 sinxcosx。

3、角函数的化简与求值 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求 能求出值的应求出值. 使三角函数种数尽量少. 使三角函数式中的项数尽量少. 尽量使分母不含有三角函数. 尽量使被开方数不含三角函数. (2)化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角. 降幂或升幂.,解答,等式成立.,证明,类型二 与三角函数性质有关的问题,解答,(1)求函数f(x)的最小正周期；,(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.,解答,反思与感悟,(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障.,跟踪训练2 已知函数f(x)sin2xsin2(x )，xR. (1)求f(x)的最小正周期；,解答,解答,类型三 三角函数在实际问题中的应用,解答,例3 点P在直径AB1的半圆上移动，过P作圆的切线PT且PT1，PAB，问为何值时，四边形ABTP面积最大？,解 如图所示，AB为直径， APB9。

4、理,1.任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做的 ，记作 ，即 ； (2)x叫做的 ，记作 ，即 ；(3) 叫做的 ，记作 ，即 .,正弦,sin ,sin y,余弦,cos ,cos x,正切,tan ,2.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： .(2)商数关系： . 3.诱导公式 六组诱导公式可以统一概括为“k (kZ)”的诱导公式.当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把视为锐角时原函数值的符号.记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.,sin2cos21,4.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质,。

5、垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N， 则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).,梳理,(1)单位圆 把 的圆叫做单位圆. (2)单位圆中角的坐标 角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的 和 .,半径为1,横坐标,纵坐标,思考1,知识点二 三角函数线,三角函数线的长度等于三角函数的值吗？,答案,答案 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.,思考2,三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？,答案 当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值.,梳理,三角函数线,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.,跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin 。

6、s 60，故选C.2角的终边上有一点P(a，a)(a0)，则sin 的值是()A. B C1 D.或考点任意角的三角函数题点用定义求三角函数值答案D解析r|a|，所以sin 所以sin 的值是或.3sin 240tan 600的值是()A B.C D.考点同名诱导公式综合应用题点同名诱导公式综合应用答案B解析由诱导公式得sin 240tan 600.故选B.4函数ysin的周期、振幅、初相分别是()A3， B6，C3，3， D6，3，考点求三角函数解析式题点函数中参数的物理意义答案B解析由函数解析式知A，T6，.5已知角的终边上有一点P(1,3)，则的值为()A1 B C1 D4考点综合应用诱导公式化简与求值题点综合应用诱导公式化简与求值。

7、夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.,梳理,(1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤： 第一步：阅读理解，审清题意. 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题. 第二步：收集、整理数据，建立数学模型. 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化. 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答. 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案.,(2)三角函数模型的建立程序 如图所示：,题型探究,类型一 三角函数模型在物理中的应用,解答,例1 已知电流I与时间t的关系为IAsin(t). (1)如图所示的是IAsin(t)(0，| )在一个周期内的图像，根据图中数据求IAsin(t)的解析式；,解答,(2)如果t在任意一段 的时间内，电流IAsin(t)。

8、得效果不同，怎样直观的表示更好？,答案 用有向线段AB和BA表示较好.,答案,有向线段 (1)有向线段：规定了 (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线. (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上 或 ，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在 ，半径等于 的圆.,梳理,单位长度,方向,正号,负号,原点,思考1,知识点二 三角函数线,在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,答案,思考2,三角函数线的方向是如何规定的？,答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.,思考3,三角函数线的长度和方向各。

9、过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？,答案,答案 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ； cos 2cos()cos cos sin sin cos2sin2；,思考2,根据同角三角函数的基本关系式sin2cos21，你能否只用sin 或cos 表示cos 2？,答案,答案 cos 2cos2sin2cos2(1cos2)2cos21； 或cos 2cos2sin2(1sin2)sin212sin2.,二倍角的正弦、余弦、正切公式,梳理,sin 22sin cos ， (S2) (3.9) cos 2cos2sin2 (C2) (3.10) 12sin2 (3.11) 2cos21， (3.12) tan 2 . (T2) (3.13),知识。

10、角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？,答案,思考1,思考2,答案,思考3,利用tan 和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 有怎样的关系？,答案,正弦、余弦、正切的半角公式,梳理,知识点二 辅助角公式,思考1,asin xbcos x化简的步骤有哪些？,答案,(2)定角度，确定一个角满足：,思考2,在上述化简过程中，如何确定所在的象限？,答案,答案 所在的象限由a和b的符号确定.,辅助角公式,梳理,题型探究,类型一 应用半角公式求值,解答,(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： 先化简所求的式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).,反思与感悟,解答,类型二 三角恒等式的证明,证明,左边右边， 原式得证.,证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常。

11、cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1. 由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义， 得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： . 商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 . tan 的变形公式 sin 。

12、点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考2,对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案,答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.,如图，设P(x，y)是终边上不同于坐标原点的任意一点，设OPr(r0). (1)定义叫做角的 ，记作 ，即cos ；叫做角的 ，记作 ，即sin ；叫做角的 ，记作 ，即tan .,梳理,余弦,正弦,正切,cos ,sin ,tan ,依照上述定义，对于每一个确定的角，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应；当2k (kZ)时，它有唯一的正切值与之对应.因此这三个对应法则都是以为自变量的函数，分别叫做角的余弦函数、正弦函数和正切函数.,(2)有时我们还用到下面三个函数角的正割：sec ；角的余。

13、点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PMx轴于M，设P(x，y)，|OP|r.,思考2,对确定的锐角，sin ，cos ，tan 的值是 否随P点在终边上的位置的改变而改变？,答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小 与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.,思考3,在思考1中，当取|OP|1时，sin ，cos ，tan 的值怎样表示？,答案 sin y，cos x，tan .,答案,任意角的三角函数的定义,梳理,思考,知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号,根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？,答案 由三角函数定义，可以判断三角函数值的符号.,答案,三角函数值的符号，如图所示.口诀：“一 ，二 ，三 ，四 ”.,梳理,全正,正弦,正切,余弦,题型探究,命题角度1 已知角终边上一点坐标求三角函数值例1 已知终边上一点P(x，3)(x0)，且cos 。

14、周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正弦、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由.,答案 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同.即有sin(2x)sin x，cos(2x)cos x.故正弦函数和余弦函数也具有周期性.,答案,梳理,(1)周期函数的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个 T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足 ，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个 ，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期.,最小的正数,非零的常数,f(xT)f(x),知识点二 正弦函数、余弦函数、正切函数的周期,思考,6是正弦函数ysin x(xR)的一个周期吗？,答案 是的.由sin(6x)sin x恒成。

15、rcsin a表示一个角；,(3)这个角的正弦值等于a，即sin(arcsin a)a. 因此，a的范围必是|a|1.,梳理,xarcsin y,思考,知识点二 已知余弦值，求角,阅读教材59页下半页，说出arccos a的含义.,答案,答案 (1)当|a|1时，arccos a表示一个角； (2)这个角在区间0，内取值，即arccos a0，； (3)这个角的余弦值等于a，即cos(arccos a)a. 因此，a的范围也必须是|a|1.,梳理,一般的对于余弦函数ycos x，如果已知函数值y(y1，1，那么在 上有唯一的x值和它对应，记作x (1y1，0x).,0，,arccos y,思考,知识点三 已知正切值，求角,对arctan a的含义你是如何理解的？,答案,答案 (1)arctan a表示一个角；,(3)这个角的正切值是a，根据正切函数的值域是R，可知aR，即tan(arctan a)a.,梳理,arctan y,题型探究,解答,类型一 已知正弦值，求角,由正弦函数周期性可知。

16、 诱导公式五,由此可得诱导公式五,cos ,sin ,思考,知识点二 诱导公式六,能否利用已有公式得出 的正弦、余弦与角的正弦、余弦之间的关系？,答案,答案 以代替公式五中的得到,由此可得诱导公式六,知识点三 诱导公式的推广与规律,答案,cos ,sin ,cos ,sin ,2.诱导公式记忆规律： 公式一四归纳：2k(kZ)，的三角函数值，等于角的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”. 公式五六归纳： 的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”. 六组诱导公式可以统一概括为“k (kZ)”的诱导公式.,记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k (kZ)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“。

17、76;cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1. 由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则由三角函数的定义，得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,梳理,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： .商数关系： .,sin2cos21,(2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 .tan 的变形公式sin ；cos .,1cos2,1sin2,cos ta。

18、cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位圆的交点为P(x，y)， 则由三角函数的定义，得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： .商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 .,梳理,sin 。

19、 ，kZ?,答案,梳理,正弦函数ysin x的定义域是_；余弦函数ycos x的定义域是_； 正切函数ytan x的定义域是 .,x|xR且xk ，kZ,R,R,思考1,知识点二 三角函数线,在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,思考2,答案,三角函数线的方向是如何规定的？,答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.,思考3,三角函数线的长度和方向各表示什么？,答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.,梳理,MP,OM,AT,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.。

20、建立三角函数模型,再求出相应的三角函数在某点处的函数值,进而使实际问题得到解决.步骤可记为：审读题意建立三角函数式根据题意求出某点的三角函数值解决实际问题.这里的关键是建立数学模型,一般先根据题意设出代表函数,再利用数据求出待定系数,然后写出具体的三角函数解析式.学-科网3三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合,从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题.K重点函数解析式与图象的对应问题以及函数解析式的应用K难点三角函数建模的应用K易错不能正确理解各个参数的实际意义1函数解析式与图象的对应问题（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.【例1】函数的图象是【名师点睛】该题也可直接利用余弦函数的定义域。