1、第2课时 三角函数线,第1章 1.2.1 任意角的三角函数,学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 有向线段,思考1,比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？,答案 不一样.,思考2,如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？,答案 用有向线段AB和BA表示较好.,答案,有向线段 (1)有向线段：规定了 (即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线. (
2、3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上 或 ，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在 ，半径等于 的圆.,梳理,单位长度,方向,正号,负号,原点,思考1,知识点二 三角函数线,在平面直角坐标系中，任意角的终边与单位圆交于点P，过点P作PMx轴，过点A(1，0)作单位圆的切线，交的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin ，cos ，tan 与MP，OM，AT的关系吗？,答案 sin MP，cos OM，tan AT.,答案,思考2,三角函数线的方向是如何规定的？,答案 方向与x轴或y轴的正方
3、向一致的为正值，反之，为负值.,思考3,三角函数线的长度和方向各表示什么？,答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.,答案,梳理,MP,OM,AT,思考,知识点三 正弦、余弦、正切函数的定义域,对于任意角，sin ，cos ，tan 都有意义吗？,答案 由三角函数的定义可知，对于任意角，sin ，cos 都有意义，而当角的终边在y轴上时，任取一点P，其横坐标x都为0，此时 无意义，故tan 无意义.,答案,三角函数的定义域,梳理,题型探究,例1 作出 的正弦线、余弦线和正切线.,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交
4、点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.,反思与感悟,跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.,则OP1，OP2是角的终边，,解答,类型二 利用三角函数线比较大小,解答,反思与感悟,利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步： (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)确定有向线段的正负.,跟踪训练2 比较sin 1 155与sin(1 654)的大小.,解 sin 1 155sin(336075)si
5、n 75， sin(1 654)sin(5360146)sin 146. 如图，在单位圆中，分别作出sin 75和sin 146的 正弦线M1P1，M2P2. M1P1M2P2，且符号皆正， sin 1 155sin(1 654).,解答,类型三 利用三角函数线解不等式(组),命题角度1 利用三角函数线解不等式(组) 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合.,解 作直线y 交单位圆于A，B两点，连结OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.,解答,解 作直线x 交单位圆于C，D两点，连结OC与OD，则OC与OD围
6、成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角的终边的范围.,解答,反思与感悟,用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期. (2)注意区间是开区间还是闭区间.,解 图中阴影部分就是满足条件的角的范围，,解答,解答,命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域.,所以角x终边所在区域如图所示，,则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，,解答,反思与感悟,(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，
7、还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.,解答,交单位圆于点P1，P2，连结OP1，OP2， 分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，,当堂训练,1,2,3,4,5,答案,解析,2.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线分别是 .,1,2,3,4,5,答案,MP、AT,1,2,3,4,5,bac,OMMPAT， bac.,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域，并写出角的集合：,解答,1,2,
8、3,4,5,解答,1,2,3,4,5,解答,规律与方法,1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.,2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.,本课结束,
