1、3 二倍角的三角函数(二),第三章 三角恒等变形,学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点一 半角公式,我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？,答案,思考1,思考2,答案,思考3,利用tan 和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 有怎样的关系？,答案,正弦、余弦、正切的半角公式,梳理,知识点
2、二 辅助角公式,思考1,asin xbcos x化简的步骤有哪些？,答案,(2)定角度，确定一个角满足：,思考2,在上述化简过程中，如何确定所在的象限？,答案,答案 所在的象限由a和b的符号确定.,辅助角公式,梳理,题型探究,类型一 应用半角公式求值,解答,(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： 先化简所求的式子； 观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).,反思与感悟,解答,类型二 三角恒等式的证明,证明,左边右边， 原式得证.,证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论
3、证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.,反思与感悟,证明,原等式成立.,类型三 利用辅助角公式研究函数性质,解答,(1)求函数f(x)的最小正周期；,解答,(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.,(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提. (2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论
4、函数性质提供保障.,反思与感悟,解答,(1)求函数f(x)的最小正周期；,解答,(2)求函数h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.,类型四 三角函数在实际问题中的应用,解答,例4 如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.,解 如图，连接AP，设PAB(090)，延长RP交AB于M， 则AM90cos ，MP90sin . 所以PQMB10090
5、cos ，,PRMRMP10090sin . 所以S矩形PQCRPQPR (10090cos )(10090sin ) 10 0009 000(sin cos )8 100sin cos .,此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.,反思与感悟,解答,跟踪训练4 某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).,解 连接OC，设COB，,则045，OC1. ABOBOAcos AD cos sin ， S矩形ABCDABBC(cos sin )sin sin2s
6、in cos ,当堂训练,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,答案,解析,4.函数f(x)sin xcos x，x 的最小值为 .,1,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,2.辅助角公式asin xbcos x sin(x)，其中满足： 与点 (a，b)同象限；tan (或sin ，cos ).,规律与方法,1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.,3.研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，,本课结束,
