1、1.2.2 单位圆与三角函数线,第一章 1.2 任意角的三角函数,学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 单位圆,什么叫单位圆？,答案,答案 把半径为1的圆叫做单位圆.,思考2,点的射影是如何定义的？,答案 过点P作PM垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N， 则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).,梳理,(1)单位圆 把 的圆叫做单位圆. (2)单位圆中角的坐标 角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的 和 .,半
2、径为1,横坐标,纵坐标,思考1,知识点二 三角函数线,三角函数线的长度等于三角函数的值吗？,答案,答案 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.,思考2,三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？,答案 当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值.,梳理,三角函数线,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边
3、或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.,跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin 的角的终边，并求角的取值集合.,解答,则OP1，OP2是角的终边，,类型二 利用三角函数线比较大小,解答,反思与感悟,利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负.,跟踪训练2 比较sin 1 155与sin(1 654)的大小. 解 sin 1 155sin(336075)sin 75， sin(1 654)sin(5360146)sin 146. 如图，在单位圆中，分别作出sin 75和sin 146的 正弦线M1P
4、1，M2P2. M1P1M2P2，且符号皆正， sin 1 155sin(1 654).,解答,类型三 利用三角函数线解不等式(组),解答,命题角度1 利用三角函数线解不等式(组) 例3 在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合.,解 作直线y 交单位圆于A，B两点， 连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)， 即为角的终边的范围.,解答,解 作直线x 交单位圆于C，D两点， 连接OC与OD， 则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)， 即为角的终边的范围.,反思与感悟,用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应
5、注意以下两点： (1)先找到“正值”区间，即02内满足条件的角的范围，然后再加上周期. (2)注意区间是开区间还是闭区间.,解答,跟踪训练3 已知 ，利用单位圆中的三角函数线，确定角的取值范围.,解 图中阴影部分就是满足条件的角的范围，,命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 例4 求下列函数的定义域.,图中阴影部分就是满足条件的角x的范围，,解答,则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，,解答,反思与感悟,(1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. (2)要特别注意求一个固
6、定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.,解答,解 要使函数f(x)有意义，必须使2sin x10，,交单位圆于点P1，P2，连接OP1，OP2， 分别过点P1，P2作x轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，,因为sin x ，所以满足条件的角x的终边在图中阴影部分内(包括边界)，,当堂训练,1.下列四个命题中： 当一定时 ，单位圆中的正弦线一定； 在单位圆中，有相同正弦线的角相等； 和有相同的正切线； 具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上. 则错误命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析 由三角函数线的定义知正确，不正确.,
7、答案,2,3,4,5,1,解析,答案,2,3,4,5,1,2.如图在单位圆中，角的正弦线、正切线完全正确的是A.正弦线为PM，正切线为AT B.正弦线为MP，正切线为AT C.正弦线为MP，正切线为AT D.正弦线为PM，正切线为AT,答案,解析,2,3,4,5,1,A.abc B.acb C.bca D.bac,OMMPAT， bac，故选D.,答案,2,3,4,5,1,5.利用三角函数线，在单位圆中画出满足下列条件的角的区域， 并写出角的集合：,解答,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.三角函数线的意义 三角函数线是用单位圆中某些特定的有
8、向线段的长度和方向表示三角函数的值，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负.具体地说，正弦线、正切线的方向同y轴一致，向上为正，向下为负；余弦线的方向同x轴一致，向右为正，向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来，使得问题更形象直观，为从几何途径解决问题提供了方便.,2.三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT. 注意三角函数线是有向线段，要分清始点和终点，字母的书写顺序不能颠倒. 3.三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念.与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了.,本课结束,
