1、1 同角三角函数的基本关系,第三章 三角恒等变形,学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式. 2.理解同角三角函数的基本关系式. 3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,知识点 同角三角函数的基本关系式,思考1,计算下列式子的值： (1)sin230cos230； (2)sin245cos245； (3)sin290cos290. 由此你能得出什么结论？尝试证明它.,答案,答案 3个式子的值均为1. 由此可猜想： 对于任意角，有sin2cos21，下面用三角函数的定义证明： 设角的终边与单位
2、圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义， 得sin y，cos x. sin2cos2x2y2|OP|21.,思考2,由三角函数的定义知，tan 与sin 和cos 间具有怎样的等量关系？,答案,(1)同角三角函数的基本关系式 平方关系： . 商数关系： . (2)同角三角函数基本关系式的变形 sin2cos21的变形公式 sin2 ；cos2 . tan 的变形公式 sin ；cos .,梳理,sin2cos21,1cos2,1sin2,cos tan ,题型探究,类型一 利用同角三角函数的关系式求值,命题角度1 已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角 函数值 例1 若sin
3、，且为第四象限角，则tan 的值为,答案,解析,同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin ，cos ，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角的象限，从而判断三角函数值的正负.,反思与感悟,跟踪训练1 已知tan ，且是第三象限角，求sin ，cos 的值.,又是第三象限角，,解答,命题角度2 已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，求角的其余三角函数值 例2 已知cos ，求sin ，tan 的值.,解答,是第二或第三象限角. (1)当是第二象限角时，则,(2)当是第三象限角时，则,利用同角三角函数关系式求值时，若没有给
4、出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解.,反思与感悟,跟踪训练2 已知cos ，求13sin 5tan 的值.,解答,是第二或第三象限角. (1)若是第二象限角，,(2)若是第三象限角，,综上可知，13sin 5tan 0.,类型二 利用同角三角函数关系化简,解答,是第三象限角，cos 0.,解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简
5、的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的.,反思与感悟,解答,解答,解 是第二象限角，cos 0，,类型三 利用同角三角函数关系证明,证明,原等式成立.,证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边右边0或 1(右边0). (4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.,反思与感悟,证明,证明 方法一 (比较法作差),方法二 (比较法作商),方法三 (综合法
6、),(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2xcos xcos x，,类型四 齐次式求值问题,解答,例5 已知tan 2，求下列代数式的值.,解答,(1)关于sin 、cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos 或cos2转化为关于tan 的式子后再求值. (2)注意例5第(2)问式中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1sin2cos2代换后，再同除以cos2，构造出关于tan 的代数式.,反思与感悟,解答,所以tan 3.,解答,(2)sin22sin cos 1.,当堂训练,1.若sin ，且是第二象限角，则tan 的值等于,2,3,4,5,1,答案,解
7、析,2,3,4,5,1,答案,解析,2.已知sin cos ，则sin cos 等于,答案,解析,2,3,4,5,1,答案,解析,2,3,4,5,1,4.若tan 2，则sin cos .,解答,2,3,4,5,1,规律与方法,1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值. 2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求： (1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数； (4)能求值的尽可能求值. 3.在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.,4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法. 5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.,本课结束,
