1、考点11 函数的奇偶性与周期性【命题解读】关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；【基础知识回顾】 1、 奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f
2、(x)0)，则称f(x)为偶函数2、 奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)(2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)_0_(4)若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)f(x)(5)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反3、 周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(
3、x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期4、函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x0处有定义，则一定有f(0)0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性5、函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a>0)(2)若f(xa)，则T2a(a>0)(3)若f(xa)，则T2a(a>0)6、函数图象的对称性(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象
4、关于直线xa对称(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称1、下列函数为奇函数的是A B C D【答案】D【解析】函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，排除A；因为为偶函数，所以排除B；因为为偶函数，所以排除C；因为，所以为奇函数2、若函数为奇函数，则=(A) (B) (C) (D)1【答案】A【解析】为奇函数，得3、设是定义在上的奇函数，当时，则=A3 B1 C1 D3【答案】A【解析】因为是定义在R上的奇函数，
5、且当时，选A4、设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是A是偶函数 B|是奇函数C|是奇函数 D|是奇函数【答案】B【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，|为奇函数，|为偶函数，|为偶函数，故选B5、（2019·福建莆田一中模拟）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【答案】C【解析】因为f(x2)f(x)，所以f(x22)f(x2)f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图(如图)，由图可知f<f<f，
6、6、(多选)已知偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，下列说法正确的是()A函数f(x)是以2为周期的周期函数B函数f(x)是以4为周期的周期函数C函数f(x2)为偶函数D函数f(x3)为偶函数【答案】BC【解析】偶函数f(x)满足f(x)f(2x)0，即有f(x)f(x)f(2x)，即为f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，可得f(x)的最小正周期为4，故A错误，B正确；由f(x)f(2x)0，可得f(x)f(2x)0，两式相减得f(2x)f(2x)0，故f(2x)f(2x)，f(x2)为偶函数，故C正确；由f(x)为偶函数得f(x3)f(x3)，若f(x3)为偶函数，则有f(
7、x3)f(x3)，可得f(x3)f(x3)，即f(x6)f(x)，可得6为f(x)的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D错误故选B、C.7、(2018江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 【答案】【解析】因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4因为在区间 上，所以考向一奇偶性的定义与判断例1、判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)3x3x；(4)f(x)；(5)f(x)【解析】：(1)由得x±1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐
8、标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为R，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，又当x>0时，f(x)x2x，则当x<0时，x>0，故f(x)x2xf(x)；当x<0时，f(x)x2x，则当x>0时，x<0，故f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数变式1、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1)；(3)f(x).（4）f(x)【
9、解析】(1)由得x±3.f(x)的定义域为3，3，此时f(x)0.又f(3)f(3)0，f(3)f(3)0.即f(x)±f(x)f(x)既是奇函数，又是偶函数(2)由得1<x1.f(x)的定义域(1，1不关于原点对称f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2，0)(0，2，关于原点对称此时，有f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(3)当x>0时，f(x)x22x1，x<0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)；当x<0时，f(x)x22x1，x>0，f(x)(x)22(x)1x22x1f(x)
10、所以f(x)为奇函数变式2、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(x1) ；(3)f(x).【解析】：(1)由x21x±1，故函数f(x)的定义域为1，1，关于原点对称，且f(x)0，所以f(x)f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)因为f(x)有意义，则满足0，所以1<x1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数(3)因为所以2x2且x0，所以定义域关于原点对称又f(x)，所以f(x)f(x)故函数f(x)为偶函数方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称若函数定义域关于原点不对称，则此函
11、数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系结合定义作出判断2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(x)f(x)(f(x)f(x)对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性考向二 函数的周期性及应用例2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的
12、函数满足，且图像关于对称，当时，则_.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.变式1、已知函数f（x）满足f（0）2，且对任意xR都满足f（x+3）f（x），则f（2019）的值为（）A2019B2C0D2【答案】D【解析】f（x+3）f（x），f（x+6）f（x+3）f（x），f（x）的周期为6，f（2019）f（3），又f（3）f（0）2，f（2019）2故选：D变式2、 定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x<1时，f(x)(x2)2；当1x<3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 019)_【答案】338【解
13、析】由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，f(1)f(2)f(2 019)f(1)f(2)f(3)336×112(1)336338.变式3、设是定义在上的周期为2的函数，当时，则 【答案】【解析】变式4、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)，当x0，2时，f(x)2xx2(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2
14、016)【解析】(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 008)f(2 009)f(2 010)f(2 015)0f(0)f(1)f(2)f(2 016)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(0)0方法总结：(1)判断函
15、数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)即可，且周期为T(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用(4)除f(xT)f(x)(T0)之外，其它一些隐含周期的条件：，等考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用例3、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是_【答案】【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，
16、即.故答案为：.变式1、（2020·河南高三月考（理）已知是偶函数，在上单调递减，则的解集是（ ）ABCD【答案】D【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.变式2、（2017江苏）已知函数，其中是自然数对数的底数，若，则实数 的取值范围是 【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，下列命题正确的是（ ）AB函数在定义域
17、上是周期为的函数C直线与函数的图象有个交点D函数的值域为【答案】A【解析】函数是上的奇函数，由题意可得，当时，A选项正确；当时，则，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，若为偶数，则，即当时，当时，若，且当时，当时，则，当时，则，所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示：由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.变式4、（多选题）（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（ ）
18、A函数是周期函数B函数的图象关于点对称C函数为上的偶函数D函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.方法总结：1. 已知函数的奇偶性，反求参数的取值，有两种思路：一种思路是根据定义，由f(x)f(x)或f(x)f(x)对定义域内的任意x恒成立，建立起关于参数的方程，解方程求出参数之值；另一种思路就是从特殊入手，得出参数所满足条件，再验证其充分性得出结
19、果2. 函数的奇偶性与单调性之间有着紧密的联系，奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反，掌握这一关系，对于求解有关奇偶性与单调性的综合问题，有着极大的帮助，要予以足够的重视1、（2020全国文10）设函数，则（ ）A是奇函数，且在单调递增B是奇函数，且在单调递减C是偶函数，且在单调递增D是偶函数，且在单调递减【答案】A【解析】函数定义域为，其关于原点对称，而，函数为奇函数又函数在上单调递增，在（-，0）上单调递增，而在上单调递减，在（-，0）上单调递减，函数在上单调递增，在（-，0）上单调递增故选A2、（2020山东8）若定义在上的奇函数在单调递减，
20、且，则满足的的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，当时，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选D3、(2018全国卷)已知是定义域为的奇函数，满足若，则AB0C2D50【答案】C【解析】是定义域为的奇函数，且，是周期函数，且一个周期为4， =，故选C3、(2016山东)已知函数f(x)的定义域为R当x<0时， ；当 时，；当 时，则f(6)= A2 B1 C0 D2【答案】D【解析】当时，为奇函数，且当时，所以而，所以，故选D4、（多选题）（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既
21、是偶函数，又在上单调递减的是（ ）ABCD【答案】AD【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.对于C选项，为奇函数，不符合题意.对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.5、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（ ）AB 在区间上是增函数C若方程恰有3个实根，则D若函数在上有6个零点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】函数的图象如图所示：对A，所以，故A错误；对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD.6、（2017新课标）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则= 【答案】12【解析】是奇函数，所以7、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为_【答案】【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为，故答案为：.
