1、考点 16 二次函数与幂函数 【命题解读】【命题解读】 二次函数为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点） 、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查； 【基础知识回顾基础知识回顾】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义； 当0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增
2、； 当0) yax2bxc(a0，0；当a0，0时，恒有f(x)0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 1、幂函数 yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数 yf(x)的大致图象是( ) 【答案】C 【解析】(1)设幂函数的解析式为yx， 因为幂函数yf(x)的图象过点(4，2)， 所以 24，解得12. 所以yx，其定义域为0，)，且是增函数，当 0 xf (1)，则( ) Aa0,4ab0 Ba0,2ab0 Daf (1)， f (4)f (1)，f (x)先减后增，
3、于是 a0，故选 A 3、若二次函数 ykx24x2 在区间1，2上是单调递增函数，则实数 k 的取值范围为( ) A2，) B(2，) C(，0) D(，2) 【答案】A 【解析】二次函数ykx24x2 的对称轴为x2k，当k0 时，要使函数ykx24x2 在区间1，2上是增函数，只需2k1，解得k2. 当k0 时，2k0，此时抛物线的对称轴在区间1，2的左侧，该函数ykx24x2 在区间1，2上是减函数，不符合要求综上可得实数k的取值范围是2，) 4、若函数 yx23x4 的定义域为0，m，值域为74，4 ，则 m 的取值范围为( ) A(0，4 B.32，4 C.32，3 D.32， 【
4、答案】C 【解析】yx23x4x32274的定义域为0，m，显然，在x0 时，y4，又值域为74，4 ，根据二次函数图象的对称性知32m3，故选 C. 5、不等式 x2+a|x|+40 对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A0，+） B4，+） C4，4 D （，4 【答案】B 【解析】f（x）x2+a|x|+4 为偶函数； 当 a0，x0 时，函数化为 f（x）x2+ax+4，对称轴 x0，f（0）40，不等式恒成立； 当 a0 时，x0 时，函数化为 f（x）x2+ax+4，可得a2160 显然成立 解得4a0， 综上 a4，+） 故选：B. 6、(2017 徐州、连云
5、港、宿迁三检）已知对于任意的(,1)(5,)x U，都有22(2)0 xaxa，则实数a的取值范围是 【答案】 5 , 1 ( 【解析】 当04)2(42aa，即0452 aa，41 a时，满足题意； 当04)2(42aa，即0452 aa，1a或4a时， 则0)2(1050)2(2152)2(2122aaaaa，解之得5573aaa，所以53 a，又因为1a或4a，所以54 a， 综上所述，实数a的取值范围为5 , 1 (。 考向一 幂函数的图像与性质 1幂函数 yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数 yf(x)的解析式为_ 2图中曲线是幂函数 yx在第一象限的图像已知 取 2，12四个值
6、，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4的 值依次为_ 3已知函数 f(x)(m2m1)x5m3，m 为何值时，f(x)是幂函数，且在(0，)上是增函数？ 【答案】 （1） 12f xx （2）2，12，12，2（3）m1 【解析】 （1）令 f(x)x，则 42，12， 12f xx （2） ：2，12，12，2 （3）函数 f(x)(m2m1)x5m3是幂函数， m2m11，解得 m2 或 m1 当 m2 时，5m313，函数 yx13在(0，)上是减函数； 当 m1 时，5m32，函数 yx2在(0，)上是增函数m1 变式 1、已知幂函数 f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于
7、 y 轴对称，且在(0，)上是减函数，则 n的值为( ) A3 B1 C2 D1 或 2 【答案】B 【解析】幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数， n22n21，n23n0，n1， 又n1 时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1.故选 B. 变式 2、若 a1223，b1523，c1213，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aabc Bcab Cbca Dbab1523，因为y12x是减函数，所以a1223c1213，所以bac.故选 D. 方法总结： (1)幂函数的形式是yx(R R)， 其中只有一个参数， 因此只需一个条件即可确定其解析式 (2)在区间(0,1
8、)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴 (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 考向二 一元二次函数的解析式 例 2、 （2）设 abc0，二次函数 f(x)ax2bxc 的图象可能是_(填序号) （2） 已知函数 f(x)x2mx1， 若对于任意 xm， m1， 都有 f(x)0 成立， 则实数 m 的取值范围是_ （3） 已知二次函数 f(x)满足 f(2)1，f(1)1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析
9、式 【解析】 （1）由知，f(0)c0 abc0，ab0，对称轴 xb2a0， 知，错误，符合要求 由知 f(0)c0，ab0，xb2a0，错误 （2）作出二次函数 f(x)的草图，对于任意 xm，m1，都有 f(x)0， 则有f（m）0，f（m1）0， 即m2m210，（m1）2m（m1）10，解得22m0 （3）法一(利用一般式)： 设 f(x)ax2bxc(a0) 由题意得 4a2bc1，abc1，4acb24a8， 解得 a4，b4，c7. 所求二次函数为 f(x)4x24x7 法二(利用顶点式)： 设 f(x)a(xm)2n f(2)f(1)， 抛物线的对称轴为 x21212 m12
10、又根据题意函数有最大值 8，n8 yf(x)ax1228 f(2)1，a212281，解得 a4， f(x)4x12284x24x7 法三(利用零点式)： 由已知 f(x)10 两根为 x12，x21， 故可设 f(x)1a(x2)(x1)， 即 f(x)ax2ax2a1 又函数有最大值 ymax8，即4a2a1a24a8 解得 a4 或 a0(舍) 所求函数的解析式为 f(x)4x24x7 变式 1变式、已知二次函数 f(x)的图象经过点(4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2，并且对任意 xR，都有 f(2x)f(2x)，则 f(x)_. 【答案】x24x3 【解析】 因为f(2x)f
11、(2x)对xR R 恒成立， 所以yf(x)的图象关于x2 对称. 又yf(x)的图象在x轴上截得的线段长为 2， 所以f(x)0 的两根为 2221 或 2223. 所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f(x)a(x1)(x3). 又点(4，3)在yf(x)的图象上， 所以 3a3，则a1. 故f(x)(x1)(x3)x24x3 方法总结：求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 考向三 根的分布问题 例 3、(2019 苏州期末） 、已知函数2( )442()Rf xxaxaa （1）若(
12、 )f x的两个零点均小于 2，求实数 a 的取值范围； （2）方程( )0f x 在(1,2)上有且只有一个实根，求实数 a 的取值范围 解析 （1）由题意，等价于220(2)0af ，解得1a或1827a （2）当(1) (2)0ff时，此时( )0f x 在(1,2)上有且只有一个实根，得1827a； 当(1)0f时，即2a 时，此时( )0f x 有1x ，舍去； 当(2)0f时，即187a 时，此时( )0f x 有2x 或47x ，舍去， 综上：1827a 变式 1、(2017 苏锡常镇调研） 已知函数2( )442()Rf xxaxaa，若( )f x有一个小于 1 与一个大于2
13、 的两个零点，求实数 a 的取值范围 【答案】187a 解析 由题意，等价于(1)0(2)0ff，解得187a 变式变式 2、 已知函数2( )442()Rf xxaxaa，方程( )0f x 在(1,2)上有实根，求实数 a 的取值范围 解析 1 当(1) (2)0ff时，此时( )0f x 在(1,2)上有且只有一个实根，得1827a； 当(1)0f时，即2a 时，此时( )0f x 有1x ，舍去； 当(2)0f时，即187a 时，此时( )0f x 有2x 或47x ，舍去， 当1222(1)0(2)0aff时，此时( )0f x 在(1,2)上有两个实根，无解； 综上：1827a 解
14、析 2 方程即为2(41)42axx，因为12x时410 x ，于是24241xax， 令41(3,7)tx ，设224229414xttyxt，即19(2)4ytt，219(1)04yt ， 所以19(2)4ytt在(3,7)t上单调递增，18(2,)7y，所以1827a 变式 3、(2019 常州期末）若方程2210axx 至少有一个正根，则实数a的取值范围是 【答案】0a 解析 1 记2( )21f xaxx， 当0a 时，( )21f xx，( )0f x 解得12x ，不符合条件； 当0a 时， （）当( )0f x 只有一个正根，且 0 不是它的根，则有(0)0a f或010a ，
15、解得0a ； （）当( )0f x 有两个不等正根，则010(0)0aa f ，此时a无解， 综上：实数 a 的取值范围是0a 解析 2 因为0 x 显然不适合方程2210axx ，于是问题等价于221xax 至少有一个正根， 记221( )(0)xg xxx ，31( )20 (0)xg xxx，所以( )g x在(0,)上递增，且( )(0,)g x ， 所以实数 a 的取值范围是0a 方法总结：对于一元二次函数根的分布问题，主要就是根据条件正确列出等价条件。可以从一元二次函数的开口、对称轴和关键的点等入手。 考向四 一元二次函数的最值问题 例 4、已知函数 y4x212x3当 xR 时，
16、值域为_；当 x2，3时，值域为_； 当 x1，5时，值域为_ 2若函数 yx22x3 在区间0，m上有最大值 3，最小值 2，求实数 m 的取值范围 3求函数 f(x)x22ax 在区间0，1上的最小值 【解析】：1因为 y4x212x34x3226，所以 当 xR 时，值域为6，)； 当 x2，3时，322，3，根据函数图象知函数在区间2，3上单调递增，故当 x2 时，y 取得最小值5，当 x3 时，y 取得最大值 3，则值域为5，3 当 x1，5时，321，5，则当 x32时，y 取得最小值6，当 x5 时，y 取得最大值 43，故值域为6，43 2作出函数 yx22x3 的图象如图 由
17、图象可知，要使函数在0，m上取得最小值 2，则 10，m，从而 m1， 当 x0 时，y3；当 x2 时，y3， 所以要使函数取得最大值为 3，则 m2， 故所求 m 的取值范围为1，2 3f(x)x22ax(xa)2a2，对称轴为 xa (1)当 a0 时，f(x)在0，1上是增函数， f(x)minf(0)0 (2)当 0a1 时，f(x)minf(a)a2 (3)当 a1 时，f(x)在0，1上是减函数， f(x)minf(1)12a， 综上所述，f(x)min0，a0，a2，0a1，12a，a1. 变式 1、（2019 年泰州中学期末试题） 求二次函数2( )(21)3(0)f xax
18、axa在区间3,22上的最大值 【解析】 2221(21)( )324aaf xa xaa，对称轴为212axa 当0a 时 （）当21124aa时，即25a时，max( )(2)85f xfa； （）当21124aa时，即205a时，max333( )()242f xfa ； 当0a 时，2102aa （）当21322aa时，即10a时，max333( )()242f xfa ； （）当321022aa 时，即1a 时，2max21(21)( )()324aaf xfaa ， 综上所述，2max(21)3,14332( ), 10425285,5aaaf xaaaaa 且 变式 2、函数 f
19、(x)x24x1 在区间t，t1(tR)上的最大值为 g(t) (1)求 g(t)的解析式； (2)求 g(t)的最大值 【解】 (1)f(x)x24x1(x2)23. 当t12，即t2 时，f(x)在区间t，t1上为减函数， g(t)f(t)t24t1. 综上所述，g(t)t22t2，t2. (2)当t1 时，g(t)t22t2(t1)232 时，g(t)t24t1(t2)232xm恒成立， 则实数m的取值范围是_ 【答案】 (，1) 【解析】f(x)2xm 等价于 x2x12xm， 即 x23x1m0， 令 g(x)x23x1m， 要使 g(x)x23x1m0 在1，1上恒成立， 只需使函
20、数 g(x)x23x1m 在1，1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1，1上单调递减， g(x)ming(1)m1. 由m10，得 m1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1) 变式 1、若14t2kt10 在 t1，1上恒成立，求实数 k 的取值范围 【解析】求二次函数 f(t)14t2kt1 在给定区间上的最大值 M，二次函数 f(t)的图像的对称轴为直线 t2k. 当 2k1，1，即 k12，12时，Mf(1)或 f(1)，由 M0，得 f(1)0 且 f(1)0，解得34k34，又 k12，12，故12k12； 当 2k1，即 k12时，函数 f(t)在2k，1
21、上单调递增，故 Mf(1)14k1，由 M0，得 k34，又 k12，故34k1，即 k12时，函数 f(t)在1，2k上单调递减，故 Mf(1)14k1，由 M0，得 k34，又 k12，故12k34. 综上知，实数 k 的取值范围为34，34. 变式 2、 （苏北四市、苏中三市三调）已知函数2( )23f xxxa，2( )1g xx若对任意10 3x ，总存在22 3x ，使得12( )()f xg x成立，则实数a的值为 【答案】13 【解析】因为2( )1g xx在2 3，上单调递减，所以2max()2g x， 解法解法 1 1 由题意得，1( )2f x，即2232xxa在0 3，
22、上恒成立， 即即22232xxa，在0 3，上恒成立， 所以22322322axxaxx， 即223(1)13(1)3axax，在0 3，上恒成立， 所以31a ，13a . 解法解法 2 2 1max()2f x.因为1max()Max(1)(3)f xff，所以(1)2(3)2ff， 即312332aa， 解得13a . 方法总结：(1)、 “任意-任意”型这类问题的表现形式为：1122,xDxD，不等式成立. 11221211221 max2min,()g(),()g()xDxDf xxxD xDf xx时，. (2)、 “任意-存在”型 这类问题的表现形式有二：1122,xDxD，等式
23、成立. 1122,xDxD，不等式成立. 这种“任意-存在”型问题的常见题型及具体转化策略为： 1、1122121122,()=g()()g()xDxDf xxf xDxD在上值域在上值域； 1122121122,()g()()g()xDxDf xxf xDxD在上最小值在上最小值； 2、1122121122,()g()()g()()g()xD xDf xxf xDxD在上的最大值与在上的最大值 1、（2020 江苏 7）已知( )yf x是奇函数，当0 x时，23( )f xx，则( 8)f 的值是 【答案】4 【解析】( )yf x是奇函数，当0 x时，23( )f xx，则23( 8)(
24、8)84ff 2、(2016 全国 III) 已知432a ，254b ，1325c ，则 Abac Babc Cbca Dcab 【答案】A 【解析】 因为4133216a ，2155416b ，1325c ， 且幂函数13yx在R上单调递增， 指数函数16xy 在R上单调递增，所以bac，故选 A 3、（2020 浙江 9）已知,a bR且0ab，若20 xaxbxab在0 x上恒成立，则 （ ） A0a B0a C0b D0b 【答案】C 【解析】当0a时，在0 x上，0 xa恒成立，只需满足20 xbxab恒成立，此时2abb，由二次函数的图象可知，只有0b时，满足20 xbxab，0
25、b不满条件； 当0b时，在0,上，0 xb 恒成立，只需满足20 xaxab恒成立，此时当两根分别为xa和2xab， （1）当0ab时，此时02aab，当0 x时，20 xaxab不恒成立， （2）当0ab时，此时2aba ，若满足20 xaxab恒成立，只需满足 0a 当0ab时，此时20aba ，满足20 xaxab恒成立， 综上可知满足20 xaxbxab在0 x恒成立时，只有0b，故选 C 4、(多选)已知函数 f(x)|x22axb|(xR R)，给出下列命题，其中是真命题的是( ) A若 a2b0，则 f(x)在区间a，)上是增函数 B存在 aR R，使得 f(x)为偶函数 C若
26、f(0)f(2)，则 f(x)的图象关于 x1 对称 D若 a2b20，则函数 h(x)f(x)2 有 2 个零点 【答案】AB 【解析】对于选项 A，若a2b0，则f(x)|(xa)2ba2|(xa)2ba2在区间a，)上是增函数，故 A 正确；对于选项 B，当a0 时，f(x)|x2b|显然是偶函数，故 B 正确；对于选项 C，取a0，b2， 函数f(x)|x22axb|化为f(x)|x22|， 满足f(0)f(2)， 但f(x)的图象关于x1 不对称，故 C 错误；对于选项 D，如图，a2b20，即a2b2，则h(x)|(xa)2ba2|2 有 4 个零点，故D 错误 5、(2018 上
27、海)已知1 1 2, 1,1,2,32 2 ，若幂函数( )f xx为奇函数，且在(0,)上递减，则=_ 【答案】1 【解析】由题意( )f x为奇函数，所以只能取1,1,3，又( )f x在(0,)上递减，所以1 6、已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象： (1)写出函数 f(x)(xR)的增区间； (2)写出函数 f(x)(xR)的解析式； (3)若函数 g(x)f(x)2ax2(x1，2)，求函数 g(x)的最小值 【解析】(1)f(x)在区间(1，0)，(1，)上单调递增 (2)设 x0，则x0，函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f(x)x22x， f(x)f(x)(x)22 (x)x22x(x0)， f(x)x22x（x0），x22x（x0）. (3)g(x)x22x2ax2，对称轴方程为 xa1， 当 a11，即 a0 时，g(1)12a 为最小值； 当 1a12，即 0a1 时，g(a1)a22a1 为最小值； 当 a12，即 a1 时，g(2)24a 为最小值 综上，g(x)min12a （a0），a22a1 （0a1），24a （a1）.
