1、考点 05 一元二次不等式 【命题解读】【命题解读】 2021 年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查 .因此下面几点：1、掌握简单的含参一元二次不等式求解 2、理解与一元二次不等式相关的恒成立问题的求解 3、了解一元二次不等式在实际问题中的应用 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 一元二次方程 ax2bxc0 (a0)的根 有两相异实数根 x1，x2(x1x
2、2) 有两相等实数根 x1x2b2a 没有实数根 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|xx1或 xx2 x| xb2a R 一元二次不等式 ax2bxc0 (a0)的解集 x|x1xx2 2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法 （1）.一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. （2）一元二次不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立 a0， b24ac0. 3、 简单分式不等式 (1)fxgx0 fxgx0，gx0. (2)fxgx0f(x)g(x)0 1、 (2020 北京市海淀区期末)不等式 x22x3
3、0 的解集为( ) Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x1 【答案】D 【解析】 由 x22x30 得(x3)(x1)0，解得3x0 的解集是(1，)，则关于 x 的不等式(axb)(x2)0 的解集是(1，)， a0，且ba1， 4、“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件是( ) Am14 Bm14 Cm1 【答案】 ：A 【解析】不等式 x2xm0 在 R 上恒成立， (1)24m14， 又m14，14m14”是“不等式 x2xm0 在 R 上恒成立”的充要条件故选 A. 5、下列四个解不等式，正确的有( ) A不等式 2x2x10 的解集是x|x2 或 x1 B不
4、等式6x2x20 的解集是x x23或x12 C若不等式 ax28ax210 的解集是x|7x1，那么 a 的值是 3 D关于 x 的不等式 x2px20 得(2x1)(x1)0， 解得 x1 或 x1或x0；(2) -12+10 【答案】 （1）(-12,1（2）(-12,1. 【解析】(1)因为 824(1)(3)520， 所以方程x28x30 有两个不相等的实根 x14 13，x24 13. 又二次函数 yx28x3 的图象开口向下， 所以原不等式的解集为x|4 13x 0,或-10,2 + 1 0. 解得-12x1,解得x, 所以原不等式的解集为(-12,1. 方法二:不等式-12+1
5、0(-1)(2 + 1) 0,2 + 1 0, 所以由二次不等式知-12 1, 12,所以-12x1. 所以原不等式的解集为(-12,1. 变式 1、解下列不等式：(1)3x22x80； (2)0 x2x24. 【解析】 (1)原不等式可化为 3x22x80， 即(3x4)(x2)0，解得2x43， 所以原不等式的解集为x 2x43. (2)原不等式等价于 x2x20，x2x24 x2x20，x2x60 x2x10，x3x20 x2或x1，2x3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为x|2x1或2x3 . 变式 2、 （1）解不等式2311xx （2）已知函数222 ,0( )2 ,0
6、xx xf xxx x则不等式( )3f x 的解集为_ 【答案】1 12xx 2 1x x 【解析】 ：1不等式化为2311xx，化为201xx， 12x，解集为12xx 2由题意知22002323xxxxxx或解得：x1故原不等式的解集为1x x 变式 3、 若关于x的不等式axb的解集为1(, )5， 则关于 x 的不等式2405axbxa的解集为_ 【答案】4( 1, )5 【解析】 ： 由已知axb的解集为1(, )5， 可知0a ， 且， 将不等式2405axbxa两边同除以a，得2405bxxa，即214055xx，解得415x ，故不等式2405axbxa的解集为4( 1, )
7、5 方法总结： 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为 R 或).求出对应的一元二次方程的根. (3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集 考向二 含参不等式的讨论 例 1、(1)解关于实数x的不等式： 2(1)0 xaxa (2)解关于实数x的不等式：210 xax 【解析】 （1）由2(1)0 xaxa得()(1)0 xa x， 12,1xa x， 当1a 时，2(1)0 xaxa的解集为1xxa， 当1a 时，2(1)0 xaxa的解集为， 当1a 时，
8、2(1)0 xaxa的解集为1x ax （2）对方程210 xax ，当240a 即22a 时 不等式的解集为 当240a 即2a 或2a 时 210 xax 的根为221244,22aaaaxx 不等式的解集为224422aaaaxx 变式 1、求不等式 12x2axa2(aR)的解集 【解析】原不等式可化为 12x2axa20， 即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0， 解得 x1a4，x2a3. 当 a0 时，不等式的解集为，a4a3， ； 当 a0 时，不等式的解集为(，0)(0，)； 当 a0 时，不等式的解集为，a3a4， . 变式 2、解关于 x 的不等式 ax222
9、xax(aR)。 【解析】原不等式可化为 ax2(a2)x20. 当 a0 时，原不等式化为 x10，解得 x1. 当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0， 解得 x2a或 x1. 当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0. 当2a1，即 a2 时，解得1x2a； 当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意； 当2a1，即2a0 时，解得2ax1. 综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1； 当 a0 时，不等式的解集为x|x2a或x1 ； 当2a0 时，不等式的解集为x2ax1 ； 当 a2 时，不等式的解集为1； 当 a2 时，不等式的解集为x|1x2a. 方法总结：含有参数
10、的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； 考向三 恒成立问题 例 3、设函数2( )1f xmxmx (1)若对于一切实数x，( )0f x 恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于1,3x，( )5f xm 恒成立，求实数m的取值范围 【解析】 ：(1)要使210mxmx 恒成立， 若0m ，显然10 ； 若
11、0m ，则20,40mmm 解得40m 所以实数 m 的取值范围是( 4,0 (2)有以下两种方法： 法一 由( )5f xm ，得，215mxmxm ， 即2(1)60m xx ， 因为22131()024xxx ， 所以261mxx 因为函数2266131()24yxxx在1,3上的最小值为67，所以只需67m即可 所以，m的取值范围是67m m 法二 由( )5f xm ，得215mxmxm ， 即213()6024m xm， 令213( )()6,1,324g mm xmx 当0m 时，( )g x在1,3上是增函数， 所以max( )(3)760g xgm， 所以67m，则607m；
12、 当0m 时，60 恒成立； 当0m 时，( )g x在1,3上是减函数， 所以max( )(1)60g xgm， 所以6m ，所以0m 综上所述，m的取值范围是67m m 变式 1、若不等式(a2)x22(a2)x40 对一切 xR R 恒成立，则实数 a 的取值范围是( ) A(，2 B2,2 C(2,2 D(，2) 【答案】 C 【解析】当 a20，即 a2 时，不等式为40 对一切 xR R 恒成立 当 a2 时，则 a20，4a2216a20， 即 a20，a24，解得2a0 在集合 A 中恒成立，即集合 A 是不等式 f(x)0 的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的
13、值(或范围) (4)转化为函数值域问题， 即已知函数 f(x)的值域为m， n， 则 f(x)a 恒成立f(x)mina， 即 ma； f(x)a恒成立f(x)maxa，即 na. 考向四 一元二次不等式的应用 例 4、某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x(百台)，总成本为( )G x (万元)， 其中固定成本为 2 万元， 并且每生产 1 百台的生产成本为 1 万元(总成本固定成本生产成本)；销售收入R （x） (万元)满足：20.44.20.8,05,( )10.2,5xxxR xx假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律求下列问题 (1) 要使
14、工厂有赢利，产量x应控制在什么范围内？ (2) 工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ 【解析】 ： 依题意，( )2G xx，设利润函数为( )f x，则 20.43.22.8,05,( )8.2,5xxxf xx x (1) 要使工厂有赢利，即解不等式( )0f x ， 当05x时，解不等式20.43.22.80 xx， 即2870 xx，得17x， 15x 当5x 时，解不等式8.2x，得8.2x ， 58.2x 综上所述，要使工厂赢利，x应满足18.2x，即产品产量应控制在大于100台，小于820台的范围内 (2)05x时，2( )0.4(4)3.6f xx， 故当4x 时，( )f x
15、有最大值3.6； 而当5x 时， ( )8.253.2f x 因为3.63.2 所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多 变式、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆本年度为适应市场需求， 计划提高产品质量， 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为(01)xx，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本) 年销售量 (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 【解析】 (1)
16、 (10.75 ) 12(1) 10(10.6 ) 10000yxxx 26000200020000 xx 即26000200020000(01)yxxx (2)上年利润为(12 10) 1000020000 200000y，即2600020000 xx， 103x，即 x 的范围为1(0, )3 为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x1(0, )3 方法总结解不等式应用题的要注意： (1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系 (2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型 1、 （2018 年高考全国 I 卷理数）已
17、知集合220Ax xx，则AR A12xx B12xx C|1|2x xx xU D|1|2x xx xU 【答案】B 【解析】解不等式2 2 0得 2，所以 = | 2，所以可以求得| 12Axx R，故选 B 2、 （2013 重庆）关于的不等式（）的解集为， 且，则 A B C D 【答案】A 【解析】 由 ()， 得(4) (2) 0 xa xa， 即24axa， 122 ,4xa xa ，x22280 xaxa0a12( ,)x x2115xxa527215415222280 xaxa0a214( 2 )615xxaaa ，15562a 故选 A 3、 （2014 江苏）已知函数若对
18、于任意，都有成立，则实数的取值范围是 【答案】2(,0)2 【解析】由题意可得( )0f x 对于,1xm m上恒成立，即22()210(1)230f mmf mmm，解得202m 4、 （2012 江西）不等式2902xx的解集是_ 【答案】 【解析】不等式可化为采用穿针引线法解不等式即可 5、已知不等式 ax2bx10 的解集是12，13，则不等式 x2bxa0 的解集为_ 【答案】(2,3) 【解析】由题意知12，13是方程 ax2bx10 的两根， 所以由根与系数的关系得 1213ba，12131a. 解得 a6，b5， 不等式 x2bxa0 即为 x25x60，解集为(2,3) 6、
19、解关于 x 的不等式2(1)1 0()axaxaR 【解析】 ：若0a ，原不等式等价于10 x ，解得1x 若0a ，原不等式等价于1()(1)0 xxa，解得1xa或1x 若0a ，原不等式等价于1()(1)0 xxa 当1a 时，11a，1()(1)0 xxa无解； , 1)(2mxxxf 1,mmx0)(xfm( 3,2)(3,)(3)(2)(3)0 xxx当1a 时，11a，解1()(1)0 xxa得11xa； 当01a时，11a， 解1()(1)0 xxa得11xa 综上所述：当0a 时，解集为1x xa或1x ； 当0a 时， 解集为1x x ； 当01a时， 解集为11xxa；
20、 当1a 时， 解集为； 当1a 时，解集为11xxa 7、 （1）若210(0)1m xmmx对一切4x 恒成立，则实数m的取值范围是 （2）设2( )1f xmxmx，求使( )0f x ，且1m 恒成立的x的取值范围 【答案】 （1） 1,2 （2）15 15(,)22 【解析】 由题4,是解集的子集 当0m 时，211xmm，当0m 时，解集可能是1xm或21xm，也可能是21xm或1xm因为不等式对一切4x 恒成立，所以211xmm不能满足，因此0m 且21414mm，所以12m本题恒成立问题，从不等式出发，利用解集形式得出不等关系 （2） 将不等式( )0f x 整理成关于m的不等式为2()1 0 xx m 令2( ) ()1 ,1 , 1gmxxmm 则( 1)0,(1)0,gg即2210,10 xxxx 解得151522x， 即x的取值范围为15 15(,)22 2101m xmx
