1、考点 29 三角函数的图象与性质 【命题解读】【命题解读】 三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简， 然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、 单调性、 奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主. 【基础知识回顾基础知识回顾】 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理： 在正弦函数 ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0) 在余弦函数 ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，2，0
2、 ，(，1)，32，0 ，(2，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定 义 域 R R R R x xR R，且xk2，kZ Z 值域 1,1 1,1 R R 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在22k，22k(kZ Z)上是递增函数， 在22k，322k (kZ Z)上是递减函数 在2k，2k(kZ Z)上是递增函数，在2k，2k(kZ Z)上是递减函数 在2k，2k (kZ Z)上是递增函数 周 周 期 是 2k(k Z Z 且周期是2k(kZ Z周期是 k(k
3、Z Z 且 k0)， 最小正期 性 k0)，最小正周期是 2 且 k0)，最小正周期是 2 周期是 对 称 性 对称轴是 x2k(kZ Z)，对称中心是(k，0)(kZ Z) 对称轴是 xk(kZ Z)，对称中心是 k2，0 (kZ Z) 对称中心是 k2，0 (kZ Z) 1、函数2tan 23yx的定义域为（ ） A|12x x B|12x x C|,12x xkkZ D|,212kx xkZ 【答案】D 【解析】因为2,32xkkZ，所以,212kxkZ 故函数的定义域为 |,212kx xkZ，选 D。 2、下列关于函数 y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是( ) A在，0上是
4、增函数，在0，上是减函数 B在2，2上是增函数，在，2和2， 上是减函数 C在0，上是增函数，在，0上是减函数 D在2， 和，2上是增函数，在2，2上是减函数 【答案】B 【解析】函数 y4sin x 在，2和2， 上单调递减，在2，2上单调递增故选 B. 3、 （安徽省淮南市 2019 届高三模拟） 若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则 等于( ) A.23 B.32 C2 D3 【答案】B 【解析】因为 f(x)sin x(0)过原点， 所以当 0 x2，即 0 x2时，ysin x 是增函数； 当2x32，即2x32时， ysin x 是
5、减函数由 f(x)sin x(0)在0，3 上单调递增， 在3，2 上单调递减知，23，所以 32。 4、下列关于函数tan()3yx的说法正确的是( ) A在区间5(,)66 上单调递增 B最小正周期是 C图象关于(,0)4成中心对称 D图象关于直线6x成轴对称 【答案】AB 【解析】令232kxk，解得566kxk，kZ，显然5(,)66 满足上述关系式，故A正确；易知该函数的最小正周期为，故B正确； 令32kx，解得23kx，kZ，任取k值不能得到4x，故C错误； 正切函数曲线没有对称轴，因此函数tan()3yx的图象也没有对称轴，故D错误 5、 函数 ycos42x 的单调减区间为_
6、【答案】 ：k8，k58(kZ) 【解析】 ：由 ycos42x cos2x4得 2k2x42k(kZ)， 解得 k8xk58(kZ) 所以函数的单调减区间为k8，k58(kZ) 6、 函数 ytan2x4的图象与 x 轴交点的坐标是_ 【答案】 ：k28，0 ，kZ 【解析】 ：由 2x4k(kZ)得，xk28(kZ) 函数 ytan2x4的图象与 x 轴交点的坐标是k28，0 ，kZ 考向一 三角函数的定义域 例 1 (1)函数 y sinxcosx的定义域为 (2)函数 y 12cosxlg(2sinx1)的定义域为 【答案】 （1）x2k4x2k54，kZ （2）32k，562k (k
7、Z) 【解析】 (1)要使函数有意义，必须使 sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出上 ysinx 和 ycosx的图象， 如图所示在0，2内，满足 sinxcosx 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，原函数的定义域为x2k4x2k54，kZ. (2)由题意得12cosx0，2sinx10，根据图象解得32kx562k， 即定义域为32k，562k (kZ) 变式 1、 (1)函数 y1tan x1的定义域为_. (2)函数 ylg(sin x)cos x12的定义域为_. 【答案】 （(1)x|x4k，且x2k，kZ (2)x|2k0，cos x120，即sin
8、 x0，cos x12， 解得2kx2k（kZ），32kx32k（kZ）， 所以 2kx32k(kZ)， 所以函数的定义域为x|2kx32k，kZ . 变式 2、函数 y sin xcos x的定义域为_ 【答案】x 2k4x2k54，kZ Z 【解析】法一：要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sin xcos x的x为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x 2k4x2k54，kZ . 法二：sin xcos x 2sinx40，将 x4视为一个整体，由
9、正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx4 2k (k Z Z) ， 解 得2k 4x 2k 54(k Z Z) 所 以 定 义 域 为x 2k4x2k54，kZ Z.方法总结：三角函数定义域的求法 (1)以正切函数为例， 应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式 (2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 2简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解 (2)利用三角函数的图象求解 考向二 三角函数的值域(最值) 例 2、 （1）2017 全国高考函数 f( )xsin2x 3cosx34(x0，2)的最大值是_ (2)
10、函数 ysinx2sinx1的值域为_ _ (3)函数 f(x)cos2x6cos(2x)的最大值为_ 【答案】 （1）1； （2）32，) （3）5 【解析】 （1）f(x)1cos2x 3cosx34cos2x 3cosx14cosx3221，由自变量的范围：x0，2可得：cosx0，1，当 cosx32时，函数 f(x)取得最大值 1. (2)ysinx2sinx111sinx1，当 sinx1 时， ymin11232，值域为32，) (3) f(x)cos2x6cos2x 12sin2x6sinx2sinx322112， 当 sinx1 时函数的最大值为 5. 变式 1、(1)函数
11、f(x)3sin2x6在区间0，2上的值域为_ (2)设 x0，2，则函数 ysin 2x2sin2x1的最大值为_ (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 【答案】 (1)32，3 (2)33 (3)12 2，1 【解析】 (1)当 x0，2时，2x66，56， sin2x612，1 ， 故 3sin2x632，3 ， 函数f(x)在区间0，2上的值域为32，3 . (2)因为x0，2，所以 tan x0，ysin 2x2sin2x12sin x cos x3sin2xcos2x2tan x3tan2x123tan x1tan x22 333， 当且仅当 3tan
12、 x1tan x时等号成立，故最大值为33. (3)设tsin xcos x，则 2t 2，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则 sin xcos x1t22， yt22t1212(t1)21. 当t1 时，ymax1；当t 2时，ymin12 2. 函数的值域为12 2，1 . 变式 2、函数2cossin (| |)4yxx x的最大值为_，最小值为_ 【答案】 54 1 22 【解析】 ：(1)由2sin2090 xx ，得,233kxkkxZ . 3x2或 0 x2 函数 ylg(sin 2x) 9x2的定义域为3，20，2 (2)令 tsin x，|x|4，t22，22
13、 yt2t1t12254， 当 t12时，ymax54，当 t22时，ymin1 22 函数2cossin (|)4yxx x的最大值为54，最小值为1 22 方法总结：求三角函数的值域(最值)的 3 种类型及解法思路 (1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如 yasin xcos xb(sin x cos x)c 的三角函数， 可先设 tsin x cos x， 化为关于 t 的二次函数求值域(最值)
14、 考向三 三角函数的单调性 例 3、写出下列函数的单调区间：(1)ysin2x3；(2)y|tan x| 【解析】 ：(1)ysin2x3sin2x3， 它的递增区间是 ysin2x3的递减区间， 它的递减区间是 ysin2x3的递增区间 由 2k22x32k2，kZ， 得 k12xk512，kZ 由 2k22x32k32，kZ， 得 k512xk1112，kZ 故所给函数的递减区间为k12，k512，kZ； 递增区间为k512，k1112，kZ (2)观察图象(图略)可知，y|tan x|的递增区间是k，k2，kZ， 递减区间是k2，k ，kZ 变式变式 1 1：已知 0，函数 f(x)si
15、nx4在2， 上单调递减，则 的取值范围是_ 【答案】 ：12，54 【解析】 ：由2x，0 得，24x44，又 ysin x 在2，32上递减， 所以242342，解得1254 变式变式 2：函数 ycos2x6的单调递增区间为_ 【答案】 ：k712，k12(kZ) 【解析】 ：函数 ycos x 的单调递增区间为2k，2k，kZ 由 2k2x62k，kZ，得 k712xk12，kZ 方法总结： 本题考查三角函数的单调性 首先化成 yAsin(x)的形式， 再把 x 看作整体代入 ysinx的相应单调区间内求 x 的范围即可 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题， 首先，
16、明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想 考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 例 4、 （1） 函数 y2cos24x 1 是_ 最小正周期为 的奇函数； 最小正周期为 的偶函数； 最小正周期为2的奇函数； 最小正周期为2的非奇非偶函数 （2）当 x4时，函数 f(x)sin(x)取得最小值，则函数 yf34x 满足_ 是奇函数且图象关于点2，0 对称； 是偶函数且图象关于点(，0)对称； 是奇函数且图象关于直线 x2对称； 是偶函数且图象关于直线 x 对称 （3） 函数 ycos
17、(3x)的图象关于原点成中心对称图形，则 _ 【答案】 ： （1）（2） （3）k2(kZ) 【解析】 ： （1）因为 ycos22x sin 2x，所以是最小正周期为 的奇函数 （2）当 x4时，函数 f(x)取得最小值， sin4 1，2k34(kZ) f(x)sinx2k34sinx34 yf34x sin(x)sin x yf34x 是奇函数，且图象关于直线 x2对称 （3）由题意，得 ycos(3x)是奇函数，故 k2(kZ) 变式 1、(1)若函数 f(x)3sin2x3 ，(0，)为偶函数，则 的值为_ (2)若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6，0 ，则 的最小值
18、为_ 【答案】（1）56.（2）2 【解析】 (1)由题意知 f(x)为偶函数，关于 y 轴对称，f(0)3sin3 3， 3k2，kZ，又 0，56. (2)由题意知66k2(kZ)，6k2(kZ)，又 N*，min2. 变式 2、下列函数，最小正周期为的偶函数有( ) Atanyx B|sin|yx C2cosyx Dsin(2 )2yx 【答案】BD 【解析】 ：函数tanyx的最小正周期为，且该函数为奇函数，故排除A； 函数|sin|yx的最小正周期为，且该函数为偶函数，故B满足条件； 函数2cosyx的最小正周期为2，且该函数为偶函数，故C不满足条件，故排除C； 函数sin(2 )c
19、os22yxx的最小正周期为22，且该函数为偶函数，故D满足条件， 方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性求 f(x)的对称轴，只需令x2k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将 yAsin(x)转化为 yAsinx 或 yAcosx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想 1、【2019 年高考全国卷理数】函数 f(x)=在, 的图象大致为 A B C D 【答案】D 【解析】 由22sin()()sin()( )cos()()cosxxxxfxf xxxxx ， 得( )f x是奇函
20、数， 其图象关于原点对称，排除 A又221422( )1,2( )2f2()01f ，排除 B，C，故选 D 2、 【2019 年高考全国卷理数】关于函数( )sin |sin |f xxx有下述四个结论： f(x)是偶函数 f(x)在区间（2，）单调递增 f(x)在, 有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A B C D 【答案】C 2sincosxxxx【解析】 sinsinsinsin,fxxxxxf xf xQ为偶函数，故正确 当2x时， 2sinf xx，它在区间,2单调递减，故错误 当0 x时， 2sinf xx，它有两个零点：0 ；当0 x 时， si
21、nsinf xxx 2sinx，它有一个零点：，故 f x在, 有3个零点：0 ，故错误 当2, 2xkkkN时 ， 2 s i nfxx； 当2, 22xkkk N时 ， s i ns i n0fxxx，又 f x为偶函数， f x的最大值为2，故正确 综上所述，正确，故选 C 3、【2019 年高考全国卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是 Af(x)=|cos2x| Bf(x)=|sin2x| Cf(x)=cos|x| Df(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为sin |yx的图象如下图 1，知其不是周期函数，排除 D； 因为coscosyxx，周期为2
22、，排除 C； 作出cos2yx图象如图 2，由图象知，其周期为2，在区间(4，2)单调递增，A 正确； 作出sin2yx的图象如图 3，由图象知，其周期为2，在区间(4，2)单调递减，排除 B， 故选 A 图 1 图 2 图 3 4、【2018 年高考全国卷 II 理数】若 cossinf xxx在, a a是减函数，则a的最大值是 A4 B2 C34 D 【答案】A 【解析】因为 cossin2cos4f xxxx， 所以由02 2 ()4kxkkZ得32 2 ()44kxkkZ， 因此 33,044444a aaaaaa ，从而a的最大值为4， 故选 A. 5、【2019 年高考北京卷理数
23、】函数 f（x）=sin22x 的最小正周期是_ 【答案】2 【解析】函数 2sin 2f xx1cos42x，周期为2. 6、 【2020 年高考全国 III 卷理数】.关于函数 f（x）=1sinsinxx有如下四个命题： f（x）的图象关于 y 轴对称 f（x）的图象关于原点对称 f（x）的图象关于直线 x=2对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_ 【答案】 【解析】对于命题，152622f，152622f ，则66ff， 所以，函数 f x的图象不关于y轴对称，命题错误； 对于命题，函数 f x的定义域为,x xkkZ，定义域关于原点对称， 111sinsinsinsinsinsinfxxxxf xxxx ， 所以，函数 f x的图象关于原点对称，命题正确； 对于命题，11sincos22cossin2fxxxxxQ， 11sincos22cossin2fxxxxx，则22fxfx， 所以，函数 f x的图象关于直线2x对称，命题正确； 对于命题，当0 x 时，sin0 x，则 1sin02sinf xxx， 命题错误. 故答案为：. 7、【2018 年高考全国理数】函数 cos 36f xx在0，的零点个数为_ 【答案】3 【解析】0 xQ，193666x，由题可知3336262xx，或5362x，解得 4,99x ，或79，故有 3 个零点.
