1、考点 09 函数的定义域与值域 【命题解读】【命题解读】 掌握常见函数的定义域以及值域， 【基础知识回顾基础知识回顾】 1、常见函数的定义域： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数被开方式大于或等于 0. (3)一次函数、二次函数的定义域为 R. (4)yax (a0 且 a1)，ysin x，ycos x，定义域均为 R. (5)ytan x 的定义域为x|xR且xk2，kZ . (6)函数 f(x)x的定义域为x|xR 且 x0. 2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导； 1、 （2020 枣庄市第三中学月考）函数的定义
2、域为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 要使函数有意义，则， 得， 2241 logxyx0,2110,222U2,22 2 ,2240010 xxlog x 22012xxx 剟即或， 即函数的定义域为， 故选： 2、函数的 y x26x5值域为( ) A. 0，) B. 0，2 C. 2，) D. (2，) 【答案】B 【解析】 设x26x5()0，则原函数可化为：y . 又x26x5()x3244，04，故 0，2， 函数 y x26x5的值域为0，2.故选B. 3、函数 yf(x)的图象是如图所示的折线段 OAB，其中 A(1，2)，B(3，0)，函数 g(x)x f(x)，
3、那么函数 g(x)的值域为( ) A0，2 B.0，94 C.0，32 D0，4 【答案】B 【解析】 由题图可知，直线OA的方程是y2x；因为kAB02311，所以直线AB的方程为y(x3)x3. 所以f(x)2x，0 x1，x3，1x3， 所以g(x)xf(x)2x2，0 x1，x23x，1x3. 当 0 x1 时，g(x)2x2，此时函数g(x)的值域为0，2； 当 11,4x-31 ,故可知所求的定义域为3(,14。 考向一 求函数的定义域 例 1、 （2020 山东省东明县实验中学月考）函数的定义域是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 由函数，知 解之得： 故选：B 变式
4、1、（2020 届江苏省南通市海门中学高三上学期 10 月检测） 函数12( )log (43)f xx的定义域为_ 23lg 311xf xxx1,31,131 1,3 31,3 23lg 311xf xxx10310 xx 113x【答案】3(,14 【解析】根据题意，由于函数12( )log (43)f xx，则使得原式有意义的 x 的取值范围满足 4x-31,4x-31 ,故可知所求的定义域为3(,14。 变式 2、若函数 ymx1mx24mx3的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( ) A.0，34 B.0，34 C.0，34 D.0，34 【答案】D 【解析】 函数 ymx1m
5、x24mx3的定义域为 R， mx24mx30， m0 或m0，16m212m0， 即 m0 或 0m34， 实数 m 的取值范围是0，34. 变式 3、已知函数 f(x)的定义域为(1，1)，则函数 g(x)fx2f(x1)的定义域为( ) A(2，0) B(2，2) C(0，2) D.12，0 【答案】C 【解析】由题意得1x21，1x11，2x2，0 x2， 0 x1) 【解析】(1)(方法 1)(单调性法)由 y2x1x123x1，结合函数的图像可知，函数在3，5上是单调递增函数，ymax32，ymin54，故所求函数的值域是54，32. (方法 2)(反表示法)由 y2x1x1，得
6、x1y2y.x3，5，31y2y5，解得54y32，即所求函数的值域是54，32. (2)(基本不等式法)令 tx1，则 xt1(t0)， y（t1）24（t1）5tt22t2tt2t2(t0)t2t2t2t2 2，当且仅当 t 2，即 x 21 时，等号成立，故所求函数的值域为2 22，) 变式 1、(2019 深圳调研)函数 y|x1|x2|的值域为_ (2)若函数 f(x)axb(a0)在12，2 上的值域为12，2 ，则 a_，b_ (3)函数 f(x)1x，x1，x22，x1的最大值为_ 【答案】(1)3，) (2)1 52 (3)2 【解析】 (1)图象法 函数 y2x1，x1，3
7、，1x0)在12，2 上是增函数， f(x)minf1212，f(x)maxf(2)2. 即2ab12，a2b2，解得 a1，b52. (3)当 x1 时，函数 f(x)1x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1；当 x0 时，f(x)x4x4， 当且仅当 x2 时取等号； 当 x0 时，x4x4， 即 f(x)x4x4， 当且仅当 x2 取等号， 所以函数 f(x)的值域为(，44，) 变式 3、 (1)函数 f(x)x2 1x的最大值为_； (2)函数 yx 4x2的值域为_ 【答案】(1)2 (2)2 2，2 【解析】 (1)设 1xt(t0)，所以 x1t2.所
8、以 yf(x)x2 1x1t22tt22t1(t1)22.所以当 t1 即 x0 时，ymaxf(x)max2. (2)由 4x20，得2x2， 所以设 x2cos (0，)， 则 y2cos 44cos22cos 2sin 2 2cos4， 因为 44，54， 所以 cos41，22，所以 y2 2，2 变式 4、 .(2015 福建)若函数 6,2,3log,2,axxf xx x (0a 且1a )的值域是4,， 则实数a的取值范围是 【答案】(1,2 【解析】因为6,2( )3log,2axxf xx x ，所以当2x时，( )4f x ；又函数( )f x的值域为4,)，所以13lo
9、g 24aa ，解得12a ，所以实数a的取值范围为(1,2 方法总结： 1. 1. 求函数的值域方法比较灵活，常用方法有： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域； (2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域； (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域； (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求 1、(2014 山东)函数1)(log1)(22xxf的定义域为（ ） A)21
10、0( ， B)2(， C), 2()210(， D)2210(， 【答案】C 【解析】2222(log)10log1log1xxx 或，解得1202xx或 2、(2012 山东)函数的定义域为 A B C D 【答案】B 【解析】故选 B 3、.(2012 课标，文 16)设函数 f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_ 【答案】2 【解析】( )f x=22sin11xxx，设( )g x=( )1f x =22sin1xxx，则( )g x是奇函数，( )f x最大值为 M，最小值为m，( )g x的最大值为 M-1， 最小值为m1，110Mm
11、，Mm=2. 3、 （2017 浙江）若函数2( )f xxaxb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm A与a有关，且与b有关 B与a有关，但与b无关 21( )4ln(1)f xxx 2,0)(0,2U( 1,0)(0,2U 2,2( 1,2210,11,1002.40,xxxxx Q或C与a无关，且与b无关 D与a无关，但与b有关 【答案】B 【解析】函数( )f x的对称轴为2ax ， 当02a，此时(1)1Mfab ，(0)mfb，1Mma ； 当12a，此时(0)Mfb，(1)1mfab ，1Mma ； 当012a ，此时2()24aamfb，(0)Mfb或(1)1Mfab
12、 ，24aMm或214aMma 综上，Mm的值与a有关，与b无关选 B 4、（2020 北京 11）函数1( )=ln1f xxx的定义域是_ 【答案】(0,) 【解析】要使得函数1( )ln1f xxx有意义，则100 xx ，即0 x ，定义域为(0,) 5、(2015 山东)已知函数( )(0,1)xf xab aa 的定义域和值域都是 1,0，则ab 【答案】32- 【解析】当1a 时1010abab ，无解；当01a时1001abab ，解得2b，12a ，则13222ab 6、(2013 北京)函数的值域为 【答案】,2 【解析】当1x时，1122( )loglog 10f xx，
13、当1x时，10222x，值域为,2 7、 （2020 山东师范大学附中高三月考），表示不超过的最大整数.十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”则下列命题中正确的是（ ） A， B， 12log,1( )2 ,1xxxf xx x R xx yx1,0 x 1x x R 1xxC， D函数的值域为 【答案】CD 【解析】 对于 A，而，故 A 错误； 对于 B，因为，所以恒成立，故 B 错误； 对于 C，所以， 当时，此时； 当时，此时， 所以，故 C 正确； 对于 D，根据定义可知，所以函数的值域为，故 D 正确. 故选：CD. , x yR xyxy yxxxR0,101,0 001 1xx 1xx, x yR 01xx 01yy 02xxyy 12xxyy 1xyxy xyxy 01xxyy xyxy xyxy, x yR xyxy 01xx yxxxR0,1
