1、3.3 函数的奇偶性与周期性最新考纲 考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于 y 轴对称奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x )，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对
2、于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT) f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期概念方法微思考1如果已知函数 f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数 f(x)g(x)，f(x) g(x)的奇偶性有什么结论？提示 在函数 f(x)，g(x)公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇2已知函数 f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(xa) f( x)(a0)_ (2)f(x
3、a) (a0)_1fx(3)f(xa) f(xb)(ab)_ 提示 (1)T2|a| (2)T 2|a| (3)T|ab|题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)函数 yx 2，x (10，)是偶函数( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点( )(3)若函数 yf(x a)是偶函数，则函数 yf (x)关于直线 xa 对称( )(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数( )(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件( )(6)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)
4、也是函数的周期 ( )题组二 教材改编2P39A 组 T6已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x) x(1x)，则f(1)_.答案 2解析 f(1)122，又 f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.3P45B 组 T4设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1,1)时，f( x)Error!则 f_.(32)答案 1解析 f f 4 221.(32) ( 12) ( 12)4. P39A 组 T6设奇函数 f(x)的定义域为 5,5，若当 x0,5 时，f (x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0 的解集为_答案 (2,0) (2,5解析 由题图可
5、知，当 0x 2 时，f (x)0；当 2x5 时，f(x)0，又 f(x)是奇函数， 当2x0 时，f( x)0，当5x0.综上，f(x) 0 的解集为(2,0)(2,5 题型一 判断函数的奇偶性例 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x) ；3 x2 x2 3(2)f(x) ；lg1 x2|x 2| 2(3)f(x)Error!解 (1)由Error!得 x23，解得 x ，3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3f(x) 0.3 x2 x2 3f(x )f(x )且 f(x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由Error!得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称x
6、20， |x2| 2x，f (x) .lg1 x2 x又f(x) f(x)，lg1 x2x lg1 x2x函数 f(x)为奇函数(3)显然函数 f(x)的定义域为( ， 0)(0，)，关于原点对称当 x0 时， x0，则 f(x )(x) 2x x 2xf (x)；当 x0 时， x0，则 f(x )(x) 2x x 2xf (x)；综上可知，对于定义域内的任意 x，总有 f(x )f (x)，函数 f(x)为奇函数思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称， 这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考 虑定义域；(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关
7、系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 f(x)f(x) 0(奇函数)或 f(x)f(x )0(偶函数)是否成立跟踪训练 1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 ( )Ayxsin 2x Byx 2cos xCy 2x Dyx 2sin x12x答案 D解析 对于 A，f(x )xsin 2(x)(x sin 2x)f(x )，为奇函数；对于 B，f(x)(x )2cos(x)x 2cos xf(x)，为偶函数；对于 C，f(x)2 x 2 x f(x)，为偶函数；12 x 12x对于 D，yx 2sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故 选 D.(2)已知函数
8、 f(x) ，g(x) ，则下列结论正确的是( )x2x 1 x2Ah(x)f(x) g(x)是偶函数Bh(x)f( x)g(x )是奇函数Ch(x)f( x)g(x)是奇函数Dh(x)f(x) g(x)是偶函数答案 A解析 易知 h(x)f(x)g(x) 的定义域为 x|x0因为 f(x) g(x) f (x)g(x )， x2 x 1 x2 x2x1 2x x2 x1 2x x1 2x x2 x2x 1 x2所以 h(x)f(x)g(x) 是偶函数故 选 A.题型二 函数的周期性及其应用1奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1) 为偶函数，且 f(1)2，则 f(4)f(5) 的值为
9、( )A2 B1 C1 D2答案 A解析 f(x1)为偶函数，f(x 1)f(x 1)，则 f( x)f (x2) ，又 yf(x) 为奇函数， 则 f(x)f(x)f(x2) ，且 f(0)0.从而 f(x4)f(x 2)f(x)，y f(x) 的周期为 4.f(4)f(5)f(0) f(1)022.2已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(2)2 ，且对任意的 x 都有 f(x2) ，则 f(2 31 fx020)_.答案 2 3解析 由 f(x 2) ，得 f(x4) f (x)，所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(2 020)1 fx 1 fx 2f(4)因为 f(22) ，
10、所以 f(4) 2 .故 f(2 020)2 .1 f2 1f2 12 3 3 33若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x)Error!则 f f(294)_.(416)答案 516解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 f f f f(294) (416) (24 34) (24 76)f f f f( 34) ( 76) (34) (76) sin .316 6 5164定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6) f (x)，当3x f(2x1)成立的 x 的取值范围为11 x2_答案 (13，1)解析 由已知得函数 f(x)为偶函
11、数，所以 f(x)f (|x|)，由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|)当 x0 时，f(x) ln(1x) ，11 x2因为 yln(1 x)与 y 在(0 ，) 上都单调递增，所以函数 f(x)在(0 ， ) 上单调递11 x2增由 f(|x|)f(|2x1|)，可得|x |2x1| ，两边平方可得 x2(2x1) 2，整理得 3x24x10 B减函数且 f(x)0 D增函数且 f(x)0，又函数 f(x)为奇函数，(0，12 12log所以在区间 上函数也单调递增，且 f(x)0 时，x0 恒成立axy1 ，ax2令 y0 得 ax 2(x1)，a1.又由当 x1
12、时，y12 020a0，得 a2 021.a 的取值范围是1,2 021)1下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是 ( )Af(x) Bf(x)x1x2Cf(x)2 x2 x Df(x)cos x答案 B解析 函数 f(x) 是偶函数，且在 (1,2)内单调递减，符合题意1x22已知 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)2 xm，则 f(2) 等于( )A3 B C. D354 54答案 A解析 由 f(x)为 R 上的奇函数，知 f(0)0，即 f(0)2 0m0，解得 m1， 则 f(2) f(2)(2 21)3.3(2019金华调研)已知 yf(x)是
13、定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )yf(|x|) ；yf(x )；yxf(x)；yf(x) x.A BC D答案 D解析 由奇函数的定义 f(x)f(x)验证，f(| x |)f(|x|)，为偶函数；f(x)f( x)f(x)，为奇函数；xf(x) xf(x) xf(x) ，为偶函数；f(x )(x)f(x )x ，为奇函数可知正确，故选 D.4已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为 4，且当 x 时，f (x)( 32，0)log2(3x1)，则 f(2 021)等于( )A4 B2 C2 Dlog 27答案 C解析 函数 f(x)是定义在 R 上的
14、奇函数，其最小正周期为 4，f(2 021) f (45051)f(1)f(1) 1 ，且当 x 时，( 32，0) ( 32，0)f(x)log 2(3x 1)，f(1)log 23 (1) 1 2，f(2 021) f(1)2.5(2018浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考) 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上单调递减，若实数 a 满足 f(log3a)f ( a)2f(1)，则 a 的取值范围是( )13logA(0,3 B.(0，13C. D1,313，3答案 C解析 函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0， )上单调递减，故 f(x)在(，0上单调递
15、增因为 f(log3a)f( a)2f(1)，13log所以 f(log3a)f( log 3a)2f(log 3a)2f(1)，即 f(log3a)f(1)f(1)，所以 1log 3a1，解得 a3，故选 C.136已知偶函数 f(x)对于任意 xR 都有 f(x1)f(x)，且 f(x)在区间0,1 上是单调递增的，则 f(6.5)，f(1)，f(0) 的大小关系是( )Af(0)f( 6.5) f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)答案 A解析 由 f(x 1)f(x )，得 f(x2) f (x1) f (x)，函数 f(x
16、)的周期是 2.函数 f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5) ，f(1)f(1)f(x)在区间0,1 上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1) ，即 f(0)f(6.5)f(1)7如果函数 f(x)x 2sin xa 的图象过点(，1)且 f(t)2，那么 a_，f(t)_.答案 1 0解析 由已知得 f() 2sin aa1，所以 a1，所以 f(x)x 2sin x1，而 f(t)t 2sin t12，所以 t2sin t1，所以 f(t) (t) 2sin(t)1t 2sin t1110.8若函数 f(x)Error!为奇函数，则 a_，f (g(2) _.答案 0
17、25解析 由题意，得 af(0) 0.设 x0，则x0，f(x)x 22x1f(x)，g(2x)x 2 2x1，g(2)4，f(g(2)f(4)168125.9已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f(x)4 x，则f f(1)_.( 52)答案 2解析 函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且周期 为 2，f(2)f(0)0，f(1)f(1)f(12)f(1)，f(1)0，f f f 2，( 52) ( 12) (12) 14f f(1)2.( 52)10(2018宁波十校联考)定义：函数 f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数 f(x)的极
18、差若定义在区间2b, 3b1 上的函数 f(x)x 3ax 2( b2)x 是奇函数，则ab_，函数 f(x)的极差为_答案 1 4解析 由 f(x)在2b,3b1上为奇函数，所以区间关于原点对称，故2b3b10， b1，又由 f(x) f(x )0 可求得 a0，所以 ab1.又 f(x)x 33x，f(x) 3x 23，易知 f(x)在(2，1) ，(1,2)上单调递增，f (x)在(1,1)上单调递减，所以在2,2 上的最大值、最小 值分别为 f(1) f(2)2，f(1) f(2) 2，所以极差 为 4.11设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2)f(x
19、) 当 x0,2时，f(x)2xx 2.(1)求证：f(x) 是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式(1)证明 f(x2)f( x)，f(x 4)f(x 2)f(x) f(x)是周期为 4 的周期函数(2)解 x2,4 ，x 4，2 ，4x0,2，f(4x) 2(4x)(4x) 2x 26x8.f(4x) f(x )f(x) ，f(x )x 26x 8，即 f(x)x 26x8，x2,412设 f(x)是定义域为 R 的周期函数，最小正周期为 2，且 f(1x)f(1x) ，当1x0时，f(x )x.(1)判定 f(x)的奇偶性；(2)试求出函数 f(x)在区间 1,2上的表达
20、式解 (1)f(1 x)f(1 x)，f (x)f (2x)又 f(x 2)f(x )，f(x )f(x) 又 f(x)的定义域为 R，f(x)是偶函数(2)当 x0,1时 ，x 1,0，则 f(x)f(x) x；从而当 1x2 时，1x20，f(x)f (x2)(x 2) x2.故 f(x)Error!13(2018浙江杭州四中期中) 设函数 f(x)，g(x)的定义域为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，设 h(x)|f (x1)|g(x1)，则下列结论中正确的是( )Ah(x)关于(1,0) 对称 Bh(x)关于( 1,0)对称Ch(x)关于 x1 对称 Dh(x) 关于 x1
21、 对称答案 C解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以| f(x)|是偶函数，即 |f(x)|与 g(x)均为偶函数，其图象关于 y轴对称，所以|f (x1)|与 g(x1)的图象都关于直线 x1 对称，即 h(x)|f (x1)|g(x1)的图象关于直线 x1 对称，故选 C.14已知函数 f(x)Error!是偶函数，则 ， 的可能取值是( )A， B2 3C ， D ， .3 6 4 34答案 C解析 因为函数 f(x)Error!是偶函数，所以当 x0 时，cos( x )sin(x )，利用两角和差公式展开并整理，得 sin x(sin cos )cos x(cos sin )0 对
22、x0 恒成立，因而Error! 将两式两边平方后相加可得，22(sin cos cos sin )0，因而 sin()1，故 2k ，kZ，故 选 C.215(2018宁波九校联考)已知函数 f(x)| x22axb|(xR) ，给出下列命题：f(x)必是偶函数；当 f(0)f(2)时，f(x)的图象关于直线 x1 对称；若 a2b0，则 f(x)在a，) 上是增函数；若 a0，在a，a上 f(x)有最大值|a 2b|.其中正确的命题序号是_答案 解析 对于，当且仅当 a 0 时，函数 f(x)|x 22ax b|为偶函数， 错误；对于，当a0，b2 时，满足 f(0)2f (2)，此 时函数
23、图象不关于直线 x1 对称， 错误；对于，当 a2b0 时，ba 20，所以 f(x)x 22axb， 则 f(x)在 a， )上是增函数，正确；对于，当 a1，b4 时，满足 a0，此时 f(x)|x 22x 4|在1,1 上的最大值为 f(1)|(1)22(1) 4|7|1 24| ，错误综上所述，正确命题的序号为.16已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f (x )x 2，且对任意的 x1，x 20，) 均有 (x1x 2)若 f(4m2)f(2m)6m 2 8m20，求实数 m 的取值范围fx1 fx2x1 x2 x1 x22解 设 g(x)f(x) ，因为 g(x)g( x)f (x) f (x) 0，故 g(x)为奇函数x22 x22 x22又gx1 gx2x1 x2 fx1 fx2 x2 x212x1 x2 0，fx1 fx2x1 x2 x1 x22故 g(x)在 R 上单调递增，g(4m2) g(2m)f(4m2) f(2m) (4m2) 2(2m )2 f(4m2)f(2m)126m 28m20，所以 g(4m2) g(2m )，所以 4m22m，解得 m1.
