1、10.2 排列与组合最新考纲 考情考向分析1.了解排列、组合的概念.2.会用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题.以理解和应用排列、组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析、解决问题的能力，题型以选择、填空题为主，难度为中档.1.排列与组合的概念名称 定义排列 按照一定的顺序排成一列组合从 n 个不同元素中取出 m(mn) 个元素合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用 A 表示.mn(2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所
2、有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用 C 表示.mn3.排列数、组合数的公式及性质公式 (1)A n( n1)(n2)( nm 1) mn n！n m！(2)C mnAmnAm nn 1n 2n m 1m！ n！m！ n m！性质(3)0！1；A n！n(4)C C ；C C Cmn n mn mn 1 mn m 1n概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？提示 (1)排列数与组合数之间的联系为 C A A .mn m mn(2
3、)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？提示 解排列组合综合应用题要从“分析” “分辨” “分类” “分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素” ，哪些是“位置” ；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)所有元素完
4、全相同的两个排列为相同排列.( )(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( )(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )(4)(n1)！n！nn！.( )(5)若组合式 C C ，则 xm 成立.( )xn mn(6)kC nC .( )kn k 1n题组二 教材改编2.P27A 组 T76 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( )A.144 B.120 C.72 D.24答案 D解析 “插空法” ，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择 就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A 43224.343.P19 例 4用数字 1，2，3，
5、 4，5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为( )A.8 B.24 C.48 D.120答案 C解析 末位数字排法有 A 种，其他位置排法有 A 种，12 34共有 A A 48(种)排法，所以偶数的个数为 48.12 34题组三 易错自纠4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A.192 种 B.216 种C.240 种 D.288 种答案 B解析 第一类：甲在最左端，有 A 54321120(种) 排法；5第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有 4A 4432196(种)排法.4所以共有 12096216(种)排法.5.为发展国外孔子学院，
6、教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为( )A.180 B.240 C.540 D.630答案 C解析 依题意，选派方案分为 三类：一个国家派 4 名，另两个国家各派 1 名，有 A 90(种)；一个国家派 3 名，一个国家派 2 名，一个国家派 1 名，有 C C C AC46C12C1A2 3 36 23 1360(种) ；每个国家各派 2 名，有 A 90(种)，故不同的 选派方案种数为3C26C24C2A3 39036090540.6.寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C ，D，
7、E 五个座位( 一排共五个座位) ，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答)答案 45解析 设 5 名同学也用 A，B，C，D，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设 E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位， 则 有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 9545(种).题型一 排列问题1.用 1，2，3，4，5 这五个数字，可以组成比 20 000 大，并且百位数不是数字 3 的没有重复数字的五位数，共有( )
8、A.96 个 B.78 个C.72 个 D.64 个答案 B解析 根据题意知，要求这个五位数比 20 000 大，则首位必须是 2，3，4，5 这 4 个数字中的一个，当首位是 3 时，百位数不是数字 3，符合要求的五位数有 A 24( 个)；当首位是 2，4，54时，由于百位数不能是数字 3，则符合要求的五位数有 3(A A )54( 个)，因此共有4 3542478(个)这样的五位数符合要求.故选 B.2.某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答 )答案 1 560解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中
9、任选两人的排列数，所以全班共写了 A 40391 560(条)留言.2403.6 名同学站成 1 排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法.答案 480解析 方法一 (位置优先法 )先从其他 5 人中安排 2 人站在最左 边和最右边，再安排余下 4人的位置，分为两步：第 1 步，从除甲外的 5 人中选 2 人站在最左边和最右边，有 A 种站法；25第 2 步，余下 4 人(含甲)站在剩下的 4 个位置上，有 A 种站法.4由分步乘法计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法.25 4方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边)，再安排其他
10、 5 人的位置，分为两步：第 1 步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有 A 种站法；14第 2 步，余下 5 人站在剩下的 5 个位置上，有 A 种站法.5由分步乘法计数原理可知，共有 A A 480(种)不同的站法.14 5思维升华 排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二 组合问题例 1 男运动员 6
11、 名，女运动员 4 名，其中男、女队长各 1 名.现选派 5 人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员 3 名，女运动员 2 名；(2)至少有 1 名女运动员；(3)队长中至少有 1 人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员.解 (1)分两步完成：第一步，选 3 名男运动员，有 C 种选法；36第二步，选 2 名女运动员，有 C 种选法.24由分步乘法计数原理可得，共有 C C 120( 种)选法.36 24(2)方法一 “至少有 1 名女运动员”包括以下四种情况：1 女 4 男，2 女 3 男，3 女 2 男，4 女 1 男.由分类加法计数原理可得总选法共有 C C C
12、 C C C C C 246(种).14 46 24 36 34 26 4 16方法二 “至少有 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员” ，可用间接法求解.从 10 人中任选 5 人有 C 种 选法，其中全是男运 动员的选法有 C 种.所以“至少有 1 名女510 56运动员”的选法有 C C 246( 种).510 56(3)方法一 (直接法 )可分类求解：“只有男队长”的选法种数为 C ；48“只有女队长”的选法种数为 C ；48“男、女队长都入选”的选法种数 为 C ，38所以共有 2C C 196(种)选法.48 38方法二 (间接法)从 10 人中任选 5 人有 C 种选法，510
13、其中不选队长的方法有 C 种 .所以“至少有 1 名队长”的选法有 C C 196(种).58 510 58(4)当有女队长时，其他人任意选，共有 C 种选法；当不选 女队长时，必 选男队长，共有 C 种49 48选法，其中不含女运动员的选 法有 C 种，所以不选女队长时的选法共有(C C )种.所以既45 48 45要有队长又要有女运动员的选法共有 C C C 191(种).49 48 45思维升华 组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”
14、或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题 必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解 .用直接法和间接法都可以求解，当用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.跟踪训练 1 某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货.现从 35 种商品中选取 3 种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？解 (1)从余下的 34 种商品中，选取 2 种
15、有 C 561 种取法，234某一种假货必须在内的不同取法有 561 种.(2)从 34 种可选商品中， 选取 3 种，有 C 种或者 C C C 5 984 种取法.34 35 234 34某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种.(3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C C 2 100 种取法.120 215恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种.(4)选取 2 种假货有 C C 种，选取 3 种假货有 C 种，共有选取方式 C C C 2 120 215 315 120 215 3151004552 555(种).至少有 2 种假货在内
16、的不同的取法有 2 555 种.(5)方法一 (间 接法)选取 3 种商品的总数为 C ，选取 3 种假货有 C 种，因此共有选取方式35 315C C 6 5454556 090( 种).35 315至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.方法二 (直接法)选取 0 种假货有 C 种，选取 1 种假货有 C C 种， 选取 2 种假货有 C C 种，320 15 20 215 120因此共有选取方式 C C C C C 6 090(种).320 215 120 15 20至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种.题型三 排列与组合的综合问题命题点 1 相邻问题例 2
17、 3 名男生、3 名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A.2 B.9 C.72 D.36答案 C解析 可分两步完成：第一步，把 3 名女生作为一个整体，看成一个元素，3 名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有 A 种排法；第二步，3 名女生排在一起有 A 种排2 3法，3 名男生排在一起有 A 种排法，故排法种数 为 A A A 72.3 2 3 3命题点 2 相间问题例 3 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目，2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72 B.120 C.144 D.168答案 B解析 先安
18、排小品节目和相声节目，然后 让歌舞节目去插空 .安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品 1，小品 2，相声” “小品 1，相声，小品 2”和“相声，小品 1，小品 2”.对于第一种情况，形式为“小品 1 歌舞 1 小品 2相声” ，有 A C A 36(种)安排方法；同理，2 13 23第三种情况也有 36 种安排方法， 对于第二种情况，三个 节 目形成 4 个空，其形式为“小品1相声小品 2” ，有 A A 48(种)安排方法，故共有 363648120(种)安排方法.2 34命题点 3 特殊元素(位置)问题例 4 (2018浙江省金 华名校 统练)某公司安排五名大学生从事 A，B，C，
19、D 四项工作，每项工作至少安排一人且每人只能安排一项工作，A 项工作仅安排一人，甲同学不能从事 B 项工作，则不同的分配方案的种数为( )A.96 B.120 C.132 D.240答案 C解析 当甲选 A 时，共有 C C A 36( 种)分配方案；当甲不选 A 时，若 B 安排两人，共有24 13 2C C A 24(种)分配方案，若 C 或 D 安排两人，共有 C C C A 72(种) 分配方案.所以一共14 23 2 14 13 23 2有 362472132(种)分配方案.思维升华 解排列、组合问题要遵循的两个原 则按元素(位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步.具体地说，
20、解排列、组合问题常以元素( 位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素 (位置).跟踪训练 2 (1)把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种.答案 36解析 将产品 A 与 B 捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 A A 种方法，将2 4产品 A，B，C 捆绑在一起，且 A 在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 A A 种方法.于2 3是符合题意的摆法共有 A A A A 36(种).2 4 2 3(2)(2017浙江)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队
21、员 2 人组成 4人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答)答案 660解析 方法一 只有 1 名女生时，先 选 1 名女生，有 C 种方法；再选 3 名男生，有 C 种方法；12 36然后排队长、副队长位置，有 A 种方法.由分步乘法计数原理知，共有 C C A 480(种) 选法.24 12 36 24有 2 名女生时，再选 2 名男生，有 C 种方法；然后排队长、副队长位置，有 A 种方法.由分步26 24乘法计数原理知，共有 C A 180(种)选法.所以依据分类 加法计数原理知，共有26 24480180660(种)不同的选法.方法二 不考虑限制条
22、件，共有 A C 种不同的选法，28 26而没有女生的选法有 A C 种，26 24故至少有 1 名女生的选法有 A C A C 840180660(种).28 26 26 241.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中 China 又可以简写为 CN，从“CN Dream”中取 6 个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变) 的不同排列共有( )A.360 种 B.480 种 C.600 种 D.720 种答案 C解析 从其他 5 个字母中任取 4 个，然后与 “ea”进行全排列，共有 C A 600 种，故选 C.45 52.(2018浙江省十校联盟高考适应性考
23、试) 某国际会议在杭州举行，为做好服务工作，若将 4名志愿者分配到主会场附近的 3 个路口维持交通，每个路口至少安排 1 名志愿者，则不同的分配方案种数为( )A.12 B.36 C.72 D.108答案 B解析 由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成：第一步，从 4 名志愿者中选出 2 名志愿者作为一组，其余 2 名志愿者各自为一组 ，共有 C 种选法；第二步，将上述24三组与 3 个路口对应，共有 A 种分配方案.故不同的分配方案种数为 C A 36.故选 B.3 24 33.(2018浙江省镇海中学模拟) 甲、乙、丙、丁四个人到 A，B，C 三个景点旅游，每个人只去一个景
24、点，每个景点至少有一个人去，则甲不到 A 景点的方案有( )A.18 种 B.12 种 C.36 种 D.24 种答案 D解析 甲单独一人时，则甲只能去 B，C 两个景点中的一个，其余三人分为两组，然后分别去剩余的两个景点，则有 C C A 12( 种)；甲与另外一人为一组，去 B，C 两个景点中的一12 23 2个，其余两人分别各去一个景点，则有 C C A 12(种). 由分类加法计数原理可得总的方案13 12 2为 24 种，故选 D.4.(2018杭州七校联考)一个盒中装有黑、白、红三种颜色的卡片共 10 张，其中黑色卡片 3张.已知从盒中任意摸出 2 张卡片，摸出的 2 张卡片中至少
25、有 1 张是白色的情况有 35 种，则盒中红色卡片的张数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 设盒中白色卡片有 x 张， 则 C C 35，210 210 xx 219x700，x5 或 x14(舍去)，红色卡片的 张数为 10352.故选 B.5.(2019台州质检)有 3 位男生， 3 位女生和 1 位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是( )A.144 B.216 C.288 D.432答案 D解析 第一步，老师站中间，分别选一个男生与一个女生站在老 师两边，共有C C A 18(种)排法；第二步剩余的学生全排列，共有
26、A 24( 种)排法，根据分步乘法计数13 13 2 4原理得排法共有 1824432(种) ，故 选 D.6.(2018浙江联盟校联考)近年来，随着高考制度的改革，高考分数不再是高校录取的唯一标准，自主招生、 “三位一体”综合评价招生的出现，使得学生的选择越来越多.2018 年有 3 所高校欲通过“三位一体”综合评价招生共招收 24 名高三学生，若每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同，则不同的招生方法种数是( )A.252 B.253 C.222 D.223答案 C解析 采用隔板法，在 24 名学生排列所形成的 23 个间隔中，任插入 2 个隔板，分成三组，共有 C 253 种，其中三组
27、人数都相同的情况是(8 ，8，8)，1 种；有两组人数相同的人数组合情23况是(1，1，22) ，(2，2，20)，(3，3，18)，(4，4，16)，(5，5，14)，(6，6，12)，(7，7，10)，(9，9，6)，(10，10，4)，(11，11，2)，则有两 组人数相同的情况共有 10330 种.所以每所高校至少招收一名学生，且人数各不相同的招生方法有 253130222 种.故选 C.7.(2018浙江)从 1，3，5，7， 9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案 1 260解析 不含有 0 的四位数
28、有 C C A 720(个).25 23 4含有 0 的四位数有 C C C A 540( 个).25 13 13 3综上，四位数的个数为 720 5401 260.8.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人2 张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答)答案 60解析 分两类：第一类：3 张中奖奖券分给 3 个人，共 A 种分法；34第二类：3 张中奖奖券分给 2 个人，相当于把 3 张中奖奖券分两 组再分给 4 人中的 2 人，共有C A 种分法.23 24总获奖情况共有 A C A 60(种).34 23 249.要从甲、乙等 8
29、 人中选 4 人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答)答案 120解析 先从除了甲、乙以外的 6 人中选一人，安排在甲乙中间，有 C A 12(种) ，把这三个人16 2看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有 C A 10( 种)，故不同的发言顺15 2序共有 1210120(种).10.用数字 0，1，2，3，4 组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个.答案 240解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从 1，2，3，4 四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取 3 个在中间三
30、个位置排列，共有 A 60(个) ，根据分步乘法 计数原理知，35有 604240(个).11.(2018温州普通高中高考适应性测试) 学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一节，则不同的功课安排有_种情况.答案 336解析 当语文和数学都安排在上午时，不同的功 课安排有 A A 种情况；当语文和数学有一2 34科安排在上午，一科安排在下午时，不同的功 课安排有 C C A C A 种情况，所以不同的功24 12 3 12 2课安排一共有 A A C C A C A 336(种) 情况.2 34 24
31、12 3 12 212.某宾馆安排 A，B，C，D，E 五人入住 3 个房间，每个房间至少住 1 人，且 A，B 不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答)答案 114解析 5 个人住 3 个房间，每个房 间至少住 1 人， 则有(3，1， 1)和(2，2， 1)两种，当 为(3 ，1，1)时，有 C A 60(种)，A ，B 住同一房间有 C A 18(种 )，故有 601842( 种)，当为35 3 13 3(2，2，1)时，有 A 90(种)，A， B 住同一房间有 C A 18(种) ，C25C23A2 3 23 3故有 901872(种)，根据分类加法计数原理可知，共有
32、 4272114(种).13.7 人站成两排队列，前排 3 人，后排 4 人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A.120 B.240 C.360 D.480答案 C解析 前排 3 人有 4 个空，从甲、乙、丙 3 人中选 1 人插入，有 C C 种方法，对于后排，若插14 13入的 2 人不相邻，有 A 种方法；若相邻，有 C A 种，故共有 C C (A C A )360( 种)，故25 15 2 14 13 25 15 2选 C.14.设三位数 nabc，若以 a，b，c 为三条边的长可以构成一个等腰( 含等边)三角
33、形，则这样的三位数 n 有多少个？解 a，b，c 要能构成三角形的边长， 显然均不为 0，即 a，b，c1，2， 3，9.若构成等边三角形，设这样的三位数的个数 为 n1，由于三位数中三个数字都相同，所以 n1C 9；若19构成等腰(非等边)三角形，设这样 的三位数的个数为 n2，由于三位数中只有 2 个不同数字，设为 a，b，注意到三角形腰与底可以互 换，所以可取的数组( a，b)共有 2C 组，但当大数为底时，29设 ab，必须满 足 ba2b，此时，不能构成三角形的数字是a 9 8 7 6 5 4 3 2b 4，3，2，1 4，3，2，1 3，2，1 3，2，1 1，2 1，2 1 1共
34、 20 种情况.同时，每个数组 (a，b)中的两个数字填上三个数位，有 C 种情况，23故 n2C (2C 20)156.23 29综上，nn 1n 2165.15.设集合 A( x1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，6，7，那么集合 A 中满足条件“1|x 1|x 2|x 3|x 7|4”的元素个数为( )A.938 B.900 C.1 200 D.1 300答案 A解析 A 中元素为有序数组(x 1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的 7 个数中仅有 1 个1，仅有 2 个1，仅有 3 个1 或仅有 4 个1，所
35、以共有C 2C 22C 23C 24938( 个).17 27 37 4716.(2018浙江教育绿色评价联盟高考适应性考试) 有 7 个球，其中红色球 2 个(同色不加区分)，白色，黄色，蓝色，紫色，灰色球各 1 个，将它们排成一行，要求最左边不排白色，2 个红色排一起，黄色和红色不相邻，则有_种不同的排法(用数字回答).答案 408解析 不考虑白色球排列限制，先不排黄色球和红色球，其他球任意排列共有 A 种排法，再4将 2 个红色球(排一起)和黄色球插入 5 个空隙中，有 A 种排法，即此时排法共有25A A 480( 种 )，而最左边排白色球的排法共有 A A 72(种)，故符合条件的排法共有4 25 3 2448072408(种).
