1、10.3 二项式定理最新考纲 考情考向分析1.了解二项式定理.2.理解二项式系数的性质.以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以选择、填空题的形式进行考查，难度中档.1.二项式定理二项式定理 (ab) nC anC an1 b1C ank bkC bn(nN *)0n 1n kn n二项展开式的通项公式Tk1 C ank bk，它表示第 k1 项kn二项式系数 二项展开式中各项的系数 C (k0，1，2，n)kn2.二项式系数的性质(1)C 1，C 1.0n nC C C .mn 1 m 1n mn(2)C
2、C .mn n mn(3)当 n 是偶数时， 项的二项式系数最大；当 n 是奇数时， 与 项的二项式系数12nT 12nT1相等且最大.(4)(ab )n展开式的二项式系数和：C C C C 2 n.0n 1n 2n n概念方法微思考1.(ab) n与(ba) n的展开式有何区别与联系？提示 (ab) n的展开式与( ba) n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.2.二项展开式形式上有什么特点？提示 二项展开式形式上的特点(1)项数为 n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由
3、n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C ，C ，一直到 C ，C .0n 1n n 1n n3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示 不一定最大，当二项式中 a，b 的系数为 1 时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)C ank bk是二项展开式的第 k 项.( )kn(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(3)(ab )n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关.( )(4)(ab )n的展开式第
4、k1 项的系数为 C ank bk.( )kn(5)(x1) n的展开式二项式系数和为2 n.( )题组二 教材改编2.P31 例 2(2)(12x) 5 的展开式中， x2 的系数等于( )A.80 B.40 C.20 D.10答案 B解析 T k1 C (2x)kC 2kxk，当 k2 时，x 2 的系数为 C 2240.k5 k5 253.P31 例 2(2)若 n展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( )(x 1x)A.10 B.20 C.30 D.120答案 B解析 二项式系数之和 2n64，所以 n6， Tk1 C x6 k kC x62k ，当 62k0，即当k6
5、(1x) k6k3 时为常数项，T 4C 20.364.P41B 组 T5若(x1) 4a 0 a1xa 2x2a 3x3a 4x4，则 a0a 2a 4 的值为( )A.9 B.8 C.7 D.6答案 B解析 令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 40，令 x1， 则 a0a 1a 2a 3a 416，两式相加得 a0a 2a 48.题组三 易错自纠5.(xy) n的二项展开式中，第 m 项的系数是( )A.C B.Cmn m 1nC.C D.(1) m1 Cm 1n m 1n答案 D解析 (xy) n二 项展开式第 m 项的通项公式为TmC (y) m1 xnm1 ，m 1n所以系数为
6、C (1) m1 .m 1n6.已知(x1) 10a 1a 2xa 3x2a 11x10.若数列 a1，a 2，a 3，a k(1k11，kN *)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是( )A.5 B.6 C.7 D.8答案 B解析 由二项式定理知，a n C (n1， 2，3，11).n 110又(x1) 10 展开式中二项式系数最大 项是第 6 项，所以 a6C ，则 k 的最大值为 6.5107.(x y )4 的展开式中，x 3y3 项的系数为_.y x答案 6解析 二项展开式的通项是 Tk1 C (x )4k (y )k ，令k4 y x 42(1Ckkxy4 2 3，解得 k2，
7、故展开式中 x3y3 的系数为( 1) 2C 6.k2 k2 24题型一 二项展开式命题点 1 求指定项(或系数)例 1 (1) (1x )6 的展开式中 x2 的系数为( )(1 1x2)A.15 B.20 C.30 D.35答案 C解析 因为(1x) 6 的通项为 C xk，所以 (1x) 6 的展开式中含 x2 的项为 1C x2k6 (1 1x2) 26和 C x4.1x2 46因为 C C 2C 2 30，26 46 266521所以 (1x) 6 的展开式中 x2 的系数为 30.(1 1x2)故选 C.(2)(2018温州市高考适应性测试) 在 9 的展开式中，常数项是( )(1
8、x 2x)A.C B.C39 39C.8C D.8C39 39答案 D解析 二项式 9 的展开式的通项公式为 C 9k (2x) k ，令(1x 2x) k9(1x) 392()Ckx0，得 k3，则二项式 9 的展开式中的常数项为(2) 3C 8C ，故 选 D.3k 92 (1x 2x) 39 39(3)(x2xy) 4 的展开式中， x3y2 的系数是_.答案 12解析 方法一 (x 2xy )4(x 2x)y 4，其展开式的第 k1 项的通项公式为 Tk1 C (x2x) 4k yk，k4因为要求 x3y2 的系数，所以 k2，所以 T3C (x2x) 42 y26(x 2x) 2y2
9、.24因为(x 2x) 2 的展开式中 x3 的系数为 2，所以 x3y2 的系数是 6212.方法二 (x 2xy )4 表示 4 个因式 x2xy 的乘积，在这 4 个因式中，有 2 个因式 选 y，其余的 2 个因式中有一个 选 x，剩下的一个 选 x2，即可得到含 x3y2 的项，故 x3y2 的系数是 C C C 12.24 12 1命题点 2 求参数例 2 (1)若(x 2a) 10 的展开式中 x6 的系数为 30，则 a 等于( )(x 1x)A. B. C.1 D.213 12答案 D解析 由题意得 10 的展开式的通项公式是 Tk1 C x10k kC x102k ， 10
10、 的(x 1x) k10 (1x) k10 (x 1x)展开式中含 x4(当 k3 时)，x 6(当 k2 时)项的系数分别为 C ，C ，因此由 题意得 C aC310 210 31012045a30，由此解得 a2，故 选 D.210(2)若 6 的展开式中常数项为 ，则实数 a 的值为( )(x2 1ax) 1516A.2 B. C.2 D.12 12答案 A解析 6 的展开式的通项为 Tk1 C (x2)6k kC kx123k ，令 123k 0，(x2 1ax) k6 (1ax) k6(1a)得 k4.故 C 4 ，即 4 ，解得 a2，故 选 A.46(1a) 1516 (1a)
11、 116思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时 ，指数 为整数等)，解出 项数 k1，代回通 项公式即可.跟踪训练 1 (1)(2018浙江七彩阳光联盟联考) (1x) 6 的展开式中 x3 的系数为(1 1x2)_.答案 14解析 在(1x) 6 的展开式中 x3 的系数为 C 20， (1x) 6 的展开式中 x3 的系数为 C 6，361x2 56所以 (1x) 6 的展开式中 x3 的系数为 20614.(1 1x2)(2)(2018丽水、衢州、湖州三地教学质量检测)若 6 的展开式中 x3 的系数为12，则(x
12、ax2)a_；常数项是_.答案 2 60解析 由于二项展开式的通项 Tk1 C x6k k(a) kC x63k ，令 63k 3， 则 k1，所k6 ( ax2) k6以(a)C 6a12，a2；令 63k0， 则 k2，所以常数项是(2) 2C 41560.16 26题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题例 3 (1)( ax)(1 x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.答案 3解析 设(ax)(1 x) 4a 0a 1xa 2x2a 3x3a 4x4a 5x5，令 x1，得 16(a1)a 0a 1a 2a 3a 4a 5，令 x1，得 0a 0a 1a
13、2a 3a 4a 5.，得 16(a1)2( a1 a3a 5)，即展开式中 x 的奇数次幂的系数之和为 a1a 3a 58(a 1)，所以 8(a1)32，解得 a3.(2)若(x2m) 9a 0a 1(x1) a 2(x1) 2a 9(x1) 9，且(a 0a 2a 8)2(a 1a 3a 9)23 9，则实数 m 的值为_.答案 1 或3解析 令 x0，则(2 m) 9a 0a 1a 2a 9，令 x2，则 m9a 0a 1a 2a 3a 9，又(a 0a 2a 8)2( a1a 3a 9)2(a 0a 1a 2a 9)(a0a 1a 2a 3a 8a 9)3 9，(2m) 9m93 9
14、，m(2m)3，m3 或 m1.(3)若 n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(13x) na 0a 1xa 2x2a nxn，则(x2 1x)a1a 2a n的值为_.答案 255解析 n展开式的第 k1 项为(x2 1x)Tk1 C (x2)n k kC (1) kx2n3k ，kn ( 1x) kn当 k5 时，2n 3k1，n 8.对(13x) 8a 0a 1xa 2x2a 8x8，令 x1，得 a0 a1a 82 8256.又当 x0 时，a 01，a 1a 2a 8255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax b)n，(ax2bxc) m (a，b，cR )
15、的式子求其展开式的各项系数之和，常用 赋值法.(2)若 f(x)a 0 a1xa 2x2a nxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数 项系数之和为 a0a 2a 4 ，偶数项系数之和为 a1a 3a 5 .f1 f 12 f1 f 12跟踪训练 2 已知(12x) 7 a0a 1xa 2x2a 7x7.求：(1)a 1a 2a 7；(2)a1a 3a 5a 7；(3)a0a 2a 4a 6；(4)|a0|a 1| a2|a 7|.解 令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 71.令 x1，则 a0a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 73 7.(1)a 0
16、C 1，a 1a 2a 3a 72.07(2)( )2，得 a1a 3a 5a 7 1 094. 1 372(3)( )2，得 a0a 2a 4a 6 1 093. 1 372(4)方法一 (12x )7 展开式中，a 0，a2，a4，a6 大于零，而 a1，a3，a5，a7 小于零，|a 0| |a1| a2|a 7|(a 0a 2a 4a 6)( a1a 3a 5a 7)1 093(1 094)2 187.方法二 |a 0| |a1| a2|a 7|即为(1 2x) 7 展开式中各项的系数和，令 x1，|a 0| |a1| a2|a 7|3 72 187.题型三 二项式定理的应用例 4 (
17、1)设 aZ 且 0a13，若 512 012a 能被 13 整除，则 a 等于( )A.0 B.1 C.11 D.12答案 D解析 51 2 012a(52 1) 2 012aC 522 012C 522 011C 52(1) 2 02 12 12 012 2 0112011C (1) 2 012a，2 012C 522 012C 522 011C 52(1) 2 011 能被 13 整除且 512 012a 能被 1302 12 12 012 2 0112整除，C (1) 2 012a1a 也能被 13 整除，因此 a 的值为 12.2 012(2)设复数 x (i 是虚数单位 )，则 C
18、 xC x2C x3C x2 017 等于( )2i1 i 12 017 22 017 32 017 2 017A.i B.iC.1i D.1i答案 C解析 x 1i，2i1 i 2i1 i1 i1 iC xC x2C x3C x2 01712 017 22 017 32 017 2 017(1x )2 0171i 2 0171i1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具 备二 项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.(2)利用二项式定理解决整除问题的思路观察除式与被除式间的关系；将被除式拆成二项式；结合二项式定理得出结论.跟踪训练 3 (1)1
19、90C 90 2C 90 3C (1) k90kC 90 10C 除以 88 的余10 210 310 k10 10数是( )A.1 B.1 C.87 D.87答案 B解析 190C 90 2C 90 3C (1) k90kC 90 10C (190)10 210 310 k10 101089 10(881) 1088 10C 889C 881，10 910前 10 项均能被 88 整除， 余数是 1.(2)若(1 2x)2 018a 0a 1xa 2x2a 2 018x2 018，则 _.a12 a222 a2 01822 018答案 1解析 当 x0 时，左边1，右边a 0，a 01.当
20、x 时，左边 0，右边a 0 ，12 a12 a222 a2 01822 01801 ，a12 a222 a2 01822 018即 1.a12 a222 a2 01822 0181.在 6 的展开式中，常数项为( )(x2 2x)A.240 B.60 C.60 D.240答案 D解析 6 的展开式中，通项公式为 Tk1 C (x2)6k k(2) kC x123k ，令(x2 2x) k6 ( 2x) k6123k0，得 k4，故常数项为 T5(2) 4C 240，故 选 D.462.(2018杭州质检)二项式 5 的展开式中含 x3 项的系数是( )(2x 1x)A.80 B.48 C.4
21、0 D.80答案 D解析 5 展开式的通项为 Tk1 C (2x)5k k(1) k25k C x52k ，52k3，则(2x 1x) k5 ( 1x) k5k1，含 x3 的项为 T2( 1) 124C x380x 3，其中系数为80，故选 D.153.(xy)(2 xy) 6 的展开式中 x4y3 的系数为( )A.80 B.40 C.40 D.80答案 D解析 (2xy) 6 的展开式的通项公式为 Tk1 C (2x)6k (y) k，当 k2 时，T 3240x 4y2，当k6k3 时，T 4160x 3y3，故 x4y3 的系数为 24016080，故选 D.4.(13x) n的展开
22、式中 x5 与 x6 的系数相等，则 x4 的二项式系数为( )A.21 B.35 C.45 D.28答案 B解析 T k1 C (3x)k3 kC xk，由已知得 35C 3 6C ，即 C 3C ，n7，因此， x4 的二kn kn 5n 6n 5n 6n项式系数为 C 35，故选 B.475.(2018浙江省考前热身联考) 3 展开式的常数项为( )(1x2 4x2 4)A.120 B.160 C.200 D.240答案 B解析 3 6，展开式的通项为 Tk1 C 6k (2x)kC 2kx2k6 ，令(1x2 4x2 4) (1x 2x) k6(1x) k62k60，可得 k3，故展开
23、式的常数 项为 160.6.若在(x1) 4(ax1)的展开式中，x 4 项的系数为 15，则 a 的值为( )A.4 B. C.4 D.52 72答案 C解析 (x1) 4(ax1)(x 44x 36x 24x1)(ax1)， x 4项的系数为 4a115，a4.7.(2018浙江省重点中学高三调研) 9 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )(1x 2x2)A.671 B.671 C.672 D.673答案 B解析 令 x1，可得该二项展开式各项系数之和为1.因为该二项展开式的通项公式为Tk1 C 9k (2x 2)kC (2) kx3k9 ，令 3k90，得 k3，所以该二项展开式
24、中的常数k9(1x) k9项为 C (2) 3672，所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671，故选 B.398.若(13x) 2 018a 0a 1xa 2 018x2 018，xR ，则 a13a 232a 2 01832 018 的值为( )A.22 0181 B.82 0181 C.22 018 D.82 018答案 B解析 由已知，令 x0，得 a01，令 x3，得 a0a 13a 232a 2 01832 018(19) 2 0188 2 018，所以 a13a 232 a 2 01832 0188 2 018a 08 2 0181，故 选 B.9.(2018绍兴诸暨期末)
25、已知(2x1) 6a 6(x1) 6a 5(x1) 5a 4(x1) 4a 1(x1)a 0，则 a0a 1a 2a 6_，a 2_.答案 1 60解析 令 x0，即得 16a 6a 5a 1a 0，又(2x 1)62(x 1)1 6 的展开式的通项为 Tk1 C 2(x1) 6k (1) k，k6则 a2C 22(1) 460.4610.(2018杭州四校联考)已知 n的展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则(ax 13x)n_；若含 x8 项的系数为 ，则常数项为_.55128答案 12 552解析 因为展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，所以展开式共有 13 项， n12，则二项
26、展开式的通项 Tk1 令 12 k8，得 k3，所以 C a9141212332CCkkkaxax ， 43 312，得 a9 ，得 a9 ，即 a .55128 1211106 55128 1512 12令 12 k0，得 k9，43故常数项为 T10C a3 3 .9121211106 (12) 55211.9192 除以 100 的余数是_.答案 81解析 91 92(901) 92C 9092C 9091C 902(C 90C )092 192 902 912 92k10092901k 1008210081(k 为正整数)，所以 9192 除以 100 的余数是 81.12.若(1xx
27、 2)6a 0a 1xa 2x2a 12x12，则 a2a 4a 12_.( 用数字作答)答案 364解析 令 x1，得 a0a 1a 2a 123 6，令 x1，得 a0a 1a 2a 121，a 0a 2a 4a 12 .36 12令 x0，得 a0 1，a 2a 4a 12 1364.36 1213.(2014浙江)在(1x) 6(1y) 4 的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m，n) ，则 f(3，0)f(2，1)f(1，2) f(0 ，3)等于( )A.45 B.60 C.120 D.210答案 C解析 因为 f(m，n)C C ，m6 n4所以 f(3，0)f(2 ，1)f(
28、1，2) f(0，3)C C C C C C C C 120.36 04 26 14 16 24 06 3414.已知 n(nN *)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 p，q，则(x 12x)p64q 的最小值为_.答案 16解析 显然 p2 n.令 x1，得 q .12n所以 p64q2 n 2 16，642n 2n642n当且仅当 2n ，642n即 n3 时取等号，此时 p64 q 的最小值为 16.15.(2018金华模拟)若(32x) 10a 0a 1xa 2x2a 3x3a 10x10，则a12a 23a 34a 410a 10_.答案 20解析 对原等式两边求导，
29、得 20(32x) 9a 12a 2x3a 3x210a 10x9，令 x1，得a12a 23a 34a 410a 1020. 16.若 n展开式中前三项的系数和为 163，求：(x 24x)(1)展开式中所有 x 的有理项；(2)展开式中系数最大的项.解 易求得展开式前三项的系数为 1，2C ，4C .1n 2n由题意得 12C 4C 163，可得 n9.1n 2n(1)设展开式中的有理项为 Tk1 ，由 Tk1 C ( )9k kk9 x (24x) 18349Ck，又0k9，k2，6.故有理项为 T3 144x 3，18322491866479C5 7.x (2)设展开式中 Tk1 项的系数最大，则Error! k ，173 203又kN，k6，故展开式中系数最大的项为 T75 376.
