1、9.8 曲线与方程最新考纲 考情考向分析了解方程与曲线的对应关系，会求简单的曲线的方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现，题目为中档题，有时也会在选择、填空题中出现.1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y )0 的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.f(x0， y0)0 是点 P(x0，y 0)在曲线 f(x，y )0 上的充要条件吗？提示 是.如果曲线 C 的方程是 f(x，y)0，则
2、曲线 C 上的点的坐标满足 f(x，y) 0，以f(x， y) 0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上，故 f(x0，y 0)0 是点 P(x0，y 0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件.2.方程 y 与 xy 2 表示同一曲线吗？x提示 不是同一曲线.3.若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2，0)的距离小 1，则点 P 的轨迹是什么图形？提示 依题意知，点 P 到直线 x2 的距离等于它到点(2，0) 的距离，故点 P 的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解
3、；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线.( )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y 2.( )(3)ykx 与 x y 表示同一直线.( )1k(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )题组二 教材改编2.P37T3已知点 F ，直线 l：x ，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线(14，0) 14与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( )A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D
4、.抛物线答案 D解析 由已知|MF | MB|，根据抛物 线的定义知，点 M 的轨迹是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线.3.P35 例 1曲线 C：xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为 _.答案 2解析 在曲线 xy2 上任取一点(x 0，y0)，则 x0y02，该点到两坐标轴的距离之积为|x 0|y0|x 0y0|2.4.P37B 组 T1若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l 2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为_.答案 xy10解析 设 M 的坐标为(x ，y)，则 A，B 两点的坐标分别是(2x ，0)，(0，2y)，连
5、接 PM，l 1l 2.|PM |OM|，而|PM | ，|OM| .x 12 y 12 x2 y2 ，x 12 y 12 x2 y2化简，得 xy10，即为所求的 轨迹方程.题组三 易错自纠5.方程(2x3y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，x 3即 2x3y10(x 3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知 M(1，0) ，N (1，0)，| PM| PN|2，则动点 P 的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线左支C.一条射线 D.双曲线右支答案 C解析
6、由于|PM| PN|MN| ，所以 D 不正确， 应为以 N 为端点，沿 x 轴正向的一条射线.7.已知 M(2，0) ，N (2，0)，则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_.答案 x 2y 24(x 2)解析 连接 OP，则|OP|2，P 点的轨迹是去掉 M，N 两点的圆，方程为 x2y 24(x 2).题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知圆 M：(x 1) 2y 21，圆 N：( x1) 2y 29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程.解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1，0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(
7、1，0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x，y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM|PN |(Rr 1)(r 2R) r 1r 242|MN|. 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点， 长半轴长为 2，短半 轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为3 1(x 2).x24 y23思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程 .(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量 x 或 y 进行限制
8、.跟踪训练 1 在ABC 中，|BC| 4，ABC 的内切圆切 BC 于 D 点，且| BD|CD|2 ，2则顶点 A 的轨迹方程为_.答案 1(x )x22 y22 2解析 以 BC 的中点为原点，中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系， E，F 分别为两个切点.则|BE| |BD|，|CD|CF|，|AE| AF|.所以|AB| AC|2 ).x22 y22 2题型二 直接法求轨迹方程例 2 已知抛物线 C：y 22x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l 2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明
9、：ARFQ；(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知， F ，设 l1：ya， l2：yb，(12，0)则 ab0，且 A ，B ，P ，Q ，R .(a22，a) (b22，b) ( 12，a) ( 12，b) ( 12，a b2 )记过 A，B 两点的直 线为 l，则 l 的方程为 2x(ab)yab0.由于 F 在线段 AB 上，故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率 为 k2，则 k1 b k 2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b 0 12 12所以 ARFQ .(2)解 设过 AB 的直线为 l，设
10、l 与 x 轴的交点 为 D(x1，0)，则 SABF |ba|FD | |b a| ，SPQF .12 12 |x1 12| |a b|2由题意可得|b a| ，|x1 12| |a b|2所以 x11 或 x10(舍去).设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y).当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE可得 (x1).2a b yx 1而 y，所以 y2x1( x1).a b2当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1，0) ，满足方程 y2x 1.所以所求轨迹方程为 y2x 1.思维升华 直接法求曲线方程 时最关键的就是把几何条件或等量关系翻 译为代数
11、方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(a，b)为动点，F 1，F 2 分别为椭圆 1(a b0)的左、右焦点，已知F 1PF2 为等腰三角形 .x2a2 y2b2(1)求椭圆的离心率 e；(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A，B 两点，M 是直线 PF2 上的点，满足 2，求点 MAM BM 的轨迹方程.解 (1)设 F1(c ，0)，F2(c，0)(c0).由题意，可得|PF 2
12、| F1F2|，即 2c，a c2 b2整理得 2 2 10，(ca) ca得 1(舍去)或 ，所以 e .ca ca 12 12(2)由(1)知 a2c ，b c，可得 椭圆方程为 3x24y 212c 2，直线 PF2 的方程为 y (xc).3 3A，B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理，得 5x28cx0.解得 x10， x2 c，85代入直线方程得Error!Error!不妨设 A ，B(0， c).(85c，335c) 3设点 M 的坐标为(x ，y)，则 ， (x，y c).AM (x 85c，y 335c) BM 3由 y (xc)，得 cx y.333于是 ，
13、 (x， x)，AM (8315y 35x，85y 335x) BM 3由 2，AM BM 即 x x2.(8315y 35x) (85y 335x) 3化简得 18x216 xy150.3将 y 代入 cx y，18x2 15163x 33得 c 0.所以 x0.10x2 516x因此，点 M 的轨迹方程是 18x216 xy150( x0).3题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2018丽水调研)如图所示，抛物线 E：y 22px(p0)与圆 O：x 2y 28 相交于 A，B两点，且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0，y 0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C，D两
14、点，分别以 C，D 为切点作抛物线 E 的切线 l1，l 2，l 1 与 l2 相交于点 M.(1)求 p 的值；(2)求动点 M 的轨迹方程 .解 (1)由点 A 的横坐标为 2，可得点 A 的坐标为(2，2)，代入 y22px，解得 p1.(2)由(1)知抛物线 E：y22x.设 C ，D ，y10， y20，切线 l1 的斜率为 k，则切线 l1：yy 1k ，(y212，y1) (y22，y2) (x y212)代入 y22x，得 ky22y2y 1ky 0，由 0，解得 k ，211y1l 1 的方程为 y x ，1y1 y12同理 l2 的方程为 y x .1y2 y22联立Err
15、or! 解得Error!易知 CD 的方程为 x0xy 0y8，其中 x0，y0满足 x y 8，x 02，2 ，20 20 2由Error! 得 x0y22y 0y160，则Error! 代入Error!可得 M(x，y)满足Error!可得Error!代入 x y 8，并化简，得 y 21，20 20x28考虑到 x02 ，2 ，知 x4， 2 ，2 2动点 M 的轨迹方程为 y 21， x 4， 2 .x28 2思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x ，y)，主 动点坐标为(x 1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换：将上述
16、关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练 3 如图，动圆 C1： x2y 2t 2，16 时，点 P 的轨迹是椭圆，故 选 C.4.设过点 P(x，y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A，B 两点，点 Q 与点 P关于 y 轴对称，O 为坐标原点.若 2 ，且 1，则点 P 的轨迹方程是( )BP PA OQ AB A. x23y 21(x0 ，y0)32B. x2 3y21(x 0，y0)32C.3x2 y21(x 0，y0)32D.3x2 y21(x0 ，y0)32答案 A解析 设 A(a，0)，B(0，b)，a0，b0.由 2 ，BP PA 得(
17、x，y b) 2(ax，y )，所以Error!即 a x0，b3y0.32由题意得，点 Q(x，y )，故由 1，得(x，y)( a， b)1，OQ AB 即 axby1.将 a，b 代入 axby1 得所求的轨迹方程为 x23y 21( x0，y0).故选 A.325.在ABC 中，B( 2，0)，C(2，0)，A( x，y )，给出ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：条件 方程ABC 周长为 10 C1：y 225ABC 面积为 10 C2：x 2y 24(y0)ABC 中，A90 C3： 1(y0)x29 y25则满足条件，的轨迹方程依次为( )
18、A.C3，C 1，C 2 B.C1，C 2，C 3C.C3，C 2，C 1 D.C1，C 3，C 2答案 A解析 ABC 的周长为 10，即 |AB|AC |BC |10，又| BC|4，所以| AB|AC |6|BC |，此时动点 A 的轨迹为椭圆，与 C3对应；ABC 的面积为 10，所以 |BC|y|10，即| y|5，与12C1对应；因为A90，所以 ( 2x，y)(2 x，y)x 2y 240，与 C2对应.AB AC 故选 A.6.(2015浙江)如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB 30，则点 P 的轨迹是( )A.直线 B.抛
19、物线 C.椭圆 D.双曲线的一支答案 C解析 可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB 与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆.故选 C.7.已知两定点 A(2，0) ，B(1，0)，如果动点 P 满足|PA| 2| PB|，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_.答案 4解析 设 P(x，y)，由 |PA|2|PB|，得 2 ，x 22 y2 x 12 y23x 23y 212x 0，即 x2y 24x0.P 的轨迹为以(2，0) 为圆心，2 为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于 4.8.直线 1 与
20、 x，y 轴交点的中点的轨迹方程是_.xa y2 a答案 xy1(x 0 且 x1)解析 直线 1 与 x，y 轴的交点为 A(a，0)，B(0，2a)，设 AB 的中点为 M(x，y)，则xa y2 ax ，y1 ，消去 a，得 xy1.因为 a0 且 a2，所以 x0 且 x1.a2 a29.已知圆的方程为 x2y 24，若抛物线过点 A(1，0)，B(1，0) 且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_.答案 1(y 0)x24 y23解析 设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB 1|2|OO 1|4，由抛物线定义得|AA 1|B
21、B 1|FA| FB|，所以|FA| |FB|42，故F 点的轨迹是以 A，B 为焦点， 长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点).10.如图，P 是椭圆 1(ab0) 上的任意一点，F 1， F2 是它的两个焦点，O 为坐标原点，x2a2 y2b2且 ，则动点 Q 的轨迹方程是_.OQ PF1 PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ，OQ PF1 PF2 又 2 2 ，PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x，y)，则 ，OP 12OQ ( x2， y2)即 P 点坐标为 ，又 P 在椭圆上，( x2， y2)则有 1，即 1.( x2)2a2( y2)2b2 x24a2 y2
22、4b211.已知定圆 M：(x 3) 2y 216 和圆 M 所在平面内一定点 A，点 P 是圆 M 上一动点，线段PA 的垂直平分线 l 交直线 PM 于点 Q.(1)讨论 Q 点的轨迹可能是下面情形中的哪几种：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线；一个点.(2)若定点 A(5，0)，试求QMA 的面积的最大值.解 (1)由题意知| QP|QA|，当 A 在圆 M 外时，|MA |4，且|QA| QM|PM| 4|MA| ，所以 Q 点的轨迹是以 M，A 为 焦点的椭圆，见图(2).当 A 在圆 M 上时，l 过定点 M，l 与 PM 的交点 Q 就是点 M，所以点 Q 的轨迹就是一个点，见图(3
23、).当 A 与 M 重合 时，l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点，所以点 Q 的轨迹就是圆，见图(4).综上所述，Q 点的轨迹可能是四种.(2)因为 A(5，0)在圆 M 内，由(1)知，点 Q 的 轨迹是以 M，A 为焦点的椭圆，且|MA |22c，|MP|42a，所以 b ，3由椭圆的几何性质可知，Q 为短轴端点时，S MQA 最大，所以 SMQA 的最大值为 2cb .12 312.(2018浙江省普通高中高考模拟考试) 已知抛物线 C：x 22py (p0)过点 M(2，4).(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 P(1，1)的直线 l 交抛物线 C 于 P1，P 2 两
24、点，点 Q 在线段 P1P2 上，且满足 ，求点 Q 的轨迹方程.1|PP1| 1|PP2| 2|PQ|解 (1)把点 M(2，4)代入抛物线 C：x22py(p0) 得 48p，所以 p ，所以抛物线 C 的方程为 x2y.12(2)显然直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 y1k (x 1).联立，得Error!消去 y 得 x2kx(k 1)0，所以 k24(k 1)0，所以 k2 2 .2 2设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Q(x，y)，则 x1x 2k，x 1x2k1，又点 P1，P2，Q 均在直线 l 上，所以 y1k(x 1)，y 11k( x11) ，y21
25、k(x 21).由 得 ，1|PP1| 1|PP2| 2|PQ| 1x1 12 y1 12 1x2 12 y2 12 2x 12 y 12即 .1|x1 1| 1|x2 1| 2|x 1|又(x 1 1)(x21)x 1x2x 1x 21k 1k120，点 Q 在线段 P1P2 上，所以 x11， x21， x1 均同号，所以 ，1x1 1 1x2 1 2x 1所以 x2 1 ，x1x2 x1 x2 1x1 x2 2 2 kk 2yk(x 1)1 .3k 2k 2由得 k (x1)，代入 得 y12x，2 2xx 1所以 2xy10(x 1).又 k22 ，2 2所以 x ( 1， 1)，且
26、x1.2 kk 2 2 2所以点 Q 的轨迹方程为 2xy10，x( 1，1)(1， 1).2 213.若曲线 C 上存在点 M，使 M 到平面内两点 A(5，0)，B(5，0) 距离之差的绝对值为 8，则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是 “好曲线”的是( )A.xy5 B.x2y 29C. 1 D.x216yx225 y29答案 B解析 M 到平面内两点 A(5， 0)，B(5，0)距离之差的绝对值为 8，M 的轨迹是以A(5，0) ，B(5，0)为焦点的双曲线，方程 为 1.x216 y29A 项，直线 xy 5 过点(5，0)，故直 线与 M 的轨迹有交点，满足题意；B 项，x 2
27、y 2 9 的圆心为(0，0)，半径为 3，与 M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项， 1 的右顶点为(5，0)，故 椭圆 1 与 M 的轨迹有交点，满足题意；x225 y29 x225 y29D 项，方程代入 1，可得 y 1，即 y29y90，0， 满足题意.x216 y29 y2914.设点 P(x，y) 是曲线 a|x| b|y|1( a0，b0)上的动点，且满足 x2 y2 2y 12 ，则 a b 的取值范围为( )x2 y2 2y 1 2 2A.2，) B.1，2C.1，) D.(0，2答案 A解析 设 F1(0，1) ，F2(0，1)，则满足 2 的点 P 的轨迹是以 F1(
28、0， 1)，F2(0，1)为焦点的椭x2 y 12 x2 y 12 2圆，其方程为 1.x21 y22曲线 a|x|b|y|1(a0 ，b0)为如图所示的菱形 ABCD，C ，D .(1a，0) (0，1b)由于 2 ，x2 y 12 x2 y 12 2所以菱形 ABCD 在椭圆上或其内部，所以 1， ，即 a1，b .1a 1b 2 22所以 a b1 2. 故选 A.2 22215.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2，0)和 F 2(2，0) 的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨迹.给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则
29、F1PF2 的面积不大于 a2.12其中，所有正确结论的序号是_.答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(2， 0)，F2(2，0)的距离的积是 4，又 a24，所以曲线 C 不过原点，即错误；设动点 P 在曲线 C 上，因为 F1(2，0)，F 2(2，0)关于原点对称，所以 |PF1|PF2|a 2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为 |PF1|PF2|sinF 1PF2 |PF1|PF2| a2，12FPSA12 12 12即F 1PF2 的面 积不大于 a2，即正确.1216.在ABC 中，已知 A(2，0)，B(2，0) ，G ，M 为平面上的两点且满足 0，| | | |， ，求顶点 C 的轨迹方程.GA GB GC MA MB MC GM AB 解 设 C(x，y)(y0)，则由 0，GA GB GC 可知 G 为ABC 的重心，得 G .(x3，y3)又| | | |，即 M 为 ABC 的外心，MA MB MC 所以点 M 在 y 轴上，又 ，则有 M .GM AB (0，y3)由| | | |，所以 x2 24 ，MC MA (y y3) y29所以顶点 C 的轨迹方程为 1，y0.x24 y212
