浙江省20届高考数学一轮 第9章 9.8 曲线与方程

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1、9.8 曲线与方程最新考纲 考情考向分析了解方程与曲线的对应关系,会求简单的曲线的方程.以考查曲线的轨迹、轨迹方程为主.题型主要以解答题的形式出现,题目为中档题,有时也会在选择、填空题中出现.1.曲线与方程的定义一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x,y )0 的实数解建立如下的对应关系:那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.2.求动点的轨迹方程的基本步骤概念方法微思考1.f(x0, y0)0 是点 P(x0,y 0)在曲线 f(x,y )0 上的充要条件吗?提示 是.如果曲线 C 的方程是 f(x,y)0,则

2、曲线 C 上的点的坐标满足 f(x,y) 0,以f(x, y) 0 的解为坐标的点也都在曲线 C 上,故 f(x0,y 0)0 是点 P(x0,y 0)在曲线 f(x,y)0 上的充要条件.2.方程 y 与 xy 2 表示同一曲线吗?x提示 不是同一曲线.3.若点 P 到直线 x1 的距离比它到点(2,0)的距离小 1,则点 P 的轨迹是什么图形?提示 依题意知,点 P 到直线 x2 的距离等于它到点(2,0) 的距离,故点 P 的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的?提示 曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解

3、;(2)方程组有几组解,两条曲线就有几个交点;方程组无解,两条曲线就没有交点.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线.( )(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2y 2.( )(3)ykx 与 x y 表示同一直线.( )1k(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.( )题组二 教材改编2.P37T3已知点 F ,直线 l:x ,点 B 是 l 上的动点,若过点 B 垂直于 y 轴的直线(14,0) 14与线段 BF 的垂直平分线交于点 M,则点 M 的轨迹是( )A.双曲线 B.椭圆 C.圆 D

4、.抛物线答案 D解析 由已知|MF | MB|,根据抛物 线的定义知,点 M 的轨迹是以点 F 为焦点,直线 l 为准线的抛物线.3.P35 例 1曲线 C:xy2 上任一点到两坐标轴的距离之积为 _.答案 2解析 在曲线 xy2 上任取一点(x 0,y0),则 x0y02,该点到两坐标轴的距离之积为|x 0|y0|x 0y0|2.4.P37B 组 T1若过点 P(1,1)且互相垂直的两条直线 l1,l 2 分别与 x 轴,y 轴交于 A,B 两点,则 AB 中点 M 的轨迹方程为_.答案 xy10解析 设 M 的坐标为(x ,y),则 A,B 两点的坐标分别是(2x ,0),(0,2y),连

5、接 PM,l 1l 2.|PM |OM|,而|PM | ,|OM| .x 12 y 12 x2 y2 ,x 12 y 12 x2 y2化简,得 xy10,即为所求的 轨迹方程.题组三 易错自纠5.方程(2x3y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10,x 3即 2x3y10(x 3)或 x4,故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.6.已知 M(1,0) ,N (1,0),| PM| PN|2,则动点 P 的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线左支C.一条射线 D.双曲线右支答案 C解析

6、由于|PM| PN|MN| ,所以 D 不正确, 应为以 N 为端点,沿 x 轴正向的一条射线.7.已知 M(2,0) ,N (2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程是_.答案 x 2y 24(x 2)解析 连接 OP,则|OP|2,P 点的轨迹是去掉 M,N 两点的圆,方程为 x2y 24(x 2).题型一 定义法求轨迹方程例 1 已知圆 M:(x 1) 2y 21,圆 N:( x1) 2y 29,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C,求 C 的方程.解 由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0),半径 r11;圆 N 的圆心为 N(

7、1,0),半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x,y),半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,所以| PM|PN |(Rr 1)(r 2R) r 1r 242|MN|. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点, 长半轴长为 2,短半 轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为3 1(x 2).x24 y23思维升华 定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时,若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据曲线的方程,写出所求的轨迹方程 .(2)利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是不是完整的曲线,如果不是完整的曲线,则应对其中的变量 x 或 y 进行限制

8、.跟踪训练 1 在ABC 中,|BC| 4,ABC 的内切圆切 BC 于 D 点,且| BD|CD|2 ,2则顶点 A 的轨迹方程为_.答案 1(x )x22 y22 2解析 以 BC 的中点为原点,中垂线为 y 轴建立如图所示的坐标系, E,F 分别为两个切点.则|BE| |BD|,|CD|CF|,|AE| AF|.所以|AB| AC|2 ).x22 y22 2题型二 直接法求轨迹方程例 2 已知抛物线 C:y 22x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l 2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点.(1)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明

9、:ARFQ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.(1)证明 由题意知, F ,设 l1:ya, l2:yb,(12,0)则 ab0,且 A ,B ,P ,Q ,R .(a22,a) (b22,b) ( 12,a) ( 12,b) ( 12,a b2 )记过 A,B 两点的直 线为 l,则 l 的方程为 2x(ab)yab0.由于 F 在线段 AB 上,故 1ab0.记 AR 的斜率为 k1,FQ 的斜率 为 k2,则 k1 b k 2.a b1 a2 a ba2 ab 1a aba b 0 12 12所以 ARFQ .(2)解 设过 AB 的直线为 l,设

10、l 与 x 轴的交点 为 D(x1,0),则 SABF |ba|FD | |b a| ,SPQF .12 12 |x1 12| |a b|2由题意可得|b a| ,|x1 12| |a b|2所以 x11 或 x10(舍去).设满足条件的 AB 的中点为 E(x,y).当 AB 与 x 轴不垂直时,由 kAB kDE可得 (x1).2a b yx 1而 y,所以 y2x1( x1).a b2当 AB 与 x 轴垂直时,E 与 D 重合,此时 E 点坐标为(1,0) ,满足方程 y2x 1.所以所求轨迹方程为 y2x 1.思维升华 直接法求曲线方程 时最关键的就是把几何条件或等量关系翻 译为代数

11、方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐 标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)为动点,F 1,F 2 分别为椭圆 1(a b0)的左、右焦点,已知F 1PF2 为等腰三角形 .x2a2 y2b2(1)求椭圆的离心率 e;(2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足 2,求点 MAM BM 的轨迹方程.解 (1)设 F1(c ,0),F2(c,0)(c0).由题意,可得|PF 2

12、| F1F2|,即 2c,a c2 b2整理得 2 2 10,(ca) ca得 1(舍去)或 ,所以 e .ca ca 12 12(2)由(1)知 a2c ,b c,可得 椭圆方程为 3x24y 212c 2,直线 PF2 的方程为 y (xc).3 3A,B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y 并整理,得 5x28cx0.解得 x10, x2 c,85代入直线方程得Error!Error!不妨设 A ,B(0, c).(85c,335c) 3设点 M 的坐标为(x ,y),则 , (x,y c).AM (x 85c,y 335c) BM 3由 y (xc),得 cx y.333于是 ,

13、 (x, x),AM (8315y 35x,85y 335x) BM 3由 2,AM BM 即 x x2.(8315y 35x) (85y 335x) 3化简得 18x216 xy150.3将 y 代入 cx y,18x2 15163x 33得 c 0.所以 x0.10x2 516x因此,点 M 的轨迹方程是 18x216 xy150( x0).3题型三 相关点法求轨迹方程例 3 (2018丽水调研)如图所示,抛物线 E:y 22px(p0)与圆 O:x 2y 28 相交于 A,B两点,且点 A 的横坐标为 2.过劣弧 AB 上动点 P(x0,y 0)作圆 O 的切线交抛物线 E 于 C,D两

14、点,分别以 C,D 为切点作抛物线 E 的切线 l1,l 2,l 1 与 l2 相交于点 M.(1)求 p 的值;(2)求动点 M 的轨迹方程 .解 (1)由点 A 的横坐标为 2,可得点 A 的坐标为(2,2),代入 y22px,解得 p1.(2)由(1)知抛物线 E:y22x.设 C ,D ,y10, y20,切线 l1 的斜率为 k,则切线 l1:yy 1k ,(y212,y1) (y22,y2) (x y212)代入 y22x,得 ky22y2y 1ky 0,由 0,解得 k ,211y1l 1 的方程为 y x ,1y1 y12同理 l2 的方程为 y x .1y2 y22联立Err

15、or! 解得Error!易知 CD 的方程为 x0xy 0y8,其中 x0,y0满足 x y 8,x 02,2 ,20 20 2由Error! 得 x0y22y 0y160,则Error! 代入Error!可得 M(x,y)满足Error!可得Error!代入 x y 8,并化简,得 y 21,20 20x28考虑到 x02 ,2 ,知 x4, 2 ,2 2动点 M 的轨迹方程为 y 21, x 4, 2 .x28 2思维升华 “相关点法”的基本步骤(1)设点:设被动点坐标为(x ,y),主 动点坐标为(x 1,y1);(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式Error!(3)代换:将上述

16、关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.跟踪训练 3 如图,动圆 C1: x2y 2t 2,16 时,点 P 的轨迹是椭圆,故 选 C.4.设过点 P(x,y) 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点,点 Q 与点 P关于 y 轴对称,O 为坐标原点.若 2 ,且 1,则点 P 的轨迹方程是( )BP PA OQ AB A. x23y 21(x0 ,y0)32B. x2 3y21(x 0,y0)32C.3x2 y21(x 0,y0)32D.3x2 y21(x0 ,y0)32答案 A解析 设 A(a,0),B(0,b),a0,b0.由 2 ,BP PA 得(

17、x,y b) 2(ax,y ),所以Error!即 a x0,b3y0.32由题意得,点 Q(x,y ),故由 1,得(x,y)( a, b)1,OQ AB 即 axby1.将 a,b 代入 axby1 得所求的轨迹方程为 x23y 21( x0,y0).故选 A.325.在ABC 中,B( 2,0),C(2,0),A( x,y ),给出ABC 满足的条件,就能得到动点 A 的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件 方程ABC 周长为 10 C1:y 225ABC 面积为 10 C2:x 2y 24(y0)ABC 中,A90 C3: 1(y0)x29 y25则满足条件,的轨迹方程依次为( )

18、A.C3,C 1,C 2 B.C1,C 2,C 3C.C3,C 2,C 1 D.C1,C 3,C 2答案 A解析 ABC 的周长为 10,即 |AB|AC |BC |10,又| BC|4,所以| AB|AC |6|BC |,此时动点 A 的轨迹为椭圆,与 C3对应;ABC 的面积为 10,所以 |BC|y|10,即| y|5,与12C1对应;因为A90,所以 ( 2x,y)(2 x,y)x 2y 240,与 C2对应.AB AC 故选 A.6.(2015浙江)如图,斜线段 AB 与平面 所成的角为 60,B 为斜足,平面 上的动点 P 满足PAB 30,则点 P 的轨迹是( )A.直线 B.抛

19、物线 C.椭圆 D.双曲线的一支答案 C解析 可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为 30,然后用平面 去截,使直线 AB 与平面 的夹角为 60,则截口为 P 的轨迹图形,由圆锥曲线的定义可知,P 的轨迹为椭圆.故选 C.7.已知两定点 A(2,0) ,B(1,0),如果动点 P 满足|PA| 2| PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面积为_.答案 4解析 设 P(x,y),由 |PA|2|PB|,得 2 ,x 22 y2 x 12 y23x 23y 212x 0,即 x2y 24x0.P 的轨迹为以(2,0) 为圆心,2 为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于 4.8.直线 1 与

20、 x,y 轴交点的中点的轨迹方程是_.xa y2 a答案 xy1(x 0 且 x1)解析 直线 1 与 x,y 轴的交点为 A(a,0),B(0,2a),设 AB 的中点为 M(x,y),则xa y2 ax ,y1 ,消去 a,得 xy1.因为 a0 且 a2,所以 x0 且 x1.a2 a29.已知圆的方程为 x2y 24,若抛物线过点 A(1,0),B(1,0) 且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程是_.答案 1(y 0)x24 y23解析 设抛物线焦点为 F,过 A,B,O 作准线的垂线 AA1,BB1,OO1,则|AA1|BB 1|2|OO 1|4,由抛物线定义得|AA 1|B

21、B 1|FA| FB|,所以|FA| |FB|42,故F 点的轨迹是以 A,B 为焦点, 长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点).10.如图,P 是椭圆 1(ab0) 上的任意一点,F 1, F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,x2a2 y2b2且 ,则动点 Q 的轨迹方程是_.OQ PF1 PF2 答案 1x24a2 y24b2解析 由于 ,OQ PF1 PF2 又 2 2 ,PF1 PF2 PM PO OP 设 Q(x,y),则 ,OP 12OQ ( x2, y2)即 P 点坐标为 ,又 P 在椭圆上,( x2, y2)则有 1,即 1.( x2)2a2( y2)2b2 x24a2 y2

22、4b211.已知定圆 M:(x 3) 2y 216 和圆 M 所在平面内一定点 A,点 P 是圆 M 上一动点,线段PA 的垂直平分线 l 交直线 PM 于点 Q.(1)讨论 Q 点的轨迹可能是下面情形中的哪几种:椭圆;双曲线;抛物线;圆;直线;一个点.(2)若定点 A(5,0),试求QMA 的面积的最大值.解 (1)由题意知| QP|QA|,当 A 在圆 M 外时,|MA |4,且|QA| QM|PM| 4|MA| ,所以 Q 点的轨迹是以 M,A 为 焦点的椭圆,见图(2).当 A 在圆 M 上时,l 过定点 M,l 与 PM 的交点 Q 就是点 M,所以点 Q 的轨迹就是一个点,见图(3

23、).当 A 与 M 重合 时,l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点,所以点 Q 的轨迹就是圆,见图(4).综上所述,Q 点的轨迹可能是四种.(2)因为 A(5,0)在圆 M 内,由(1)知,点 Q 的 轨迹是以 M,A 为焦点的椭圆,且|MA |22c,|MP|42a,所以 b ,3由椭圆的几何性质可知,Q 为短轴端点时,S MQA 最大,所以 SMQA 的最大值为 2cb .12 312.(2018浙江省普通高中高考模拟考试) 已知抛物线 C:x 22py (p0)过点 M(2,4).(1)求抛物线 C 的方程;(2)若过点 P(1,1)的直线 l 交抛物线 C 于 P1,P 2 两

24、点,点 Q 在线段 P1P2 上,且满足 ,求点 Q 的轨迹方程.1|PP1| 1|PP2| 2|PQ|解 (1)把点 M(2,4)代入抛物线 C:x22py(p0) 得 48p,所以 p ,所以抛物线 C 的方程为 x2y.12(2)显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y1k (x 1).联立,得Error!消去 y 得 x2kx(k 1)0,所以 k24(k 1)0,所以 k2 2 .2 2设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),Q(x,y),则 x1x 2k,x 1x2k1,又点 P1,P2,Q 均在直线 l 上,所以 y1k(x 1),y 11k( x11) ,y21

25、k(x 21).由 得 ,1|PP1| 1|PP2| 2|PQ| 1x1 12 y1 12 1x2 12 y2 12 2x 12 y 12即 .1|x1 1| 1|x2 1| 2|x 1|又(x 1 1)(x21)x 1x2x 1x 21k 1k120,点 Q 在线段 P1P2 上,所以 x11, x21, x1 均同号,所以 ,1x1 1 1x2 1 2x 1所以 x2 1 ,x1x2 x1 x2 1x1 x2 2 2 kk 2yk(x 1)1 .3k 2k 2由得 k (x1),代入 得 y12x,2 2xx 1所以 2xy10(x 1).又 k22 ,2 2所以 x ( 1, 1),且

26、x1.2 kk 2 2 2所以点 Q 的轨迹方程为 2xy10,x( 1,1)(1, 1).2 213.若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(5,0),B(5,0) 距离之差的绝对值为 8,则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是 “好曲线”的是( )A.xy5 B.x2y 29C. 1 D.x216yx225 y29答案 B解析 M 到平面内两点 A(5, 0),B(5,0)距离之差的绝对值为 8,M 的轨迹是以A(5,0) ,B(5,0)为焦点的双曲线,方程 为 1.x216 y29A 项,直线 xy 5 过点(5,0),故直 线与 M 的轨迹有交点,满足题意;B 项,x 2

27、y 2 9 的圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意;C 项, 1 的右顶点为(5,0),故 椭圆 1 与 M 的轨迹有交点,满足题意;x225 y29 x225 y29D 项,方程代入 1,可得 y 1,即 y29y90,0, 满足题意.x216 y29 y2914.设点 P(x,y) 是曲线 a|x| b|y|1( a0,b0)上的动点,且满足 x2 y2 2y 12 ,则 a b 的取值范围为( )x2 y2 2y 1 2 2A.2,) B.1,2C.1,) D.(0,2答案 A解析 设 F1(0,1) ,F2(0,1),则满足 2 的点 P 的轨迹是以 F1(

28、0, 1),F2(0,1)为焦点的椭x2 y 12 x2 y 12 2圆,其方程为 1.x21 y22曲线 a|x|b|y|1(a0 ,b0)为如图所示的菱形 ABCD,C ,D .(1a,0) (0,1b)由于 2 ,x2 y 12 x2 y 12 2所以菱形 ABCD 在椭圆上或其内部,所以 1, ,即 a1,b .1a 1b 2 22所以 a b1 2. 故选 A.2 22215.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2,0)和 F 2(2,0) 的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨迹.给出下列三个结论:曲线 C 过坐标原点;曲线 C 关于坐标原点对称;若点 P 在曲线 C 上,则

29、F1PF2 的面积不大于 a2.12其中,所有正确结论的序号是_.答案 解析 因为原点 O 到两个定点 F1(2, 0),F2(2,0)的距离的积是 4,又 a24,所以曲线 C 不过原点,即错误;设动点 P 在曲线 C 上,因为 F1(2,0),F 2(2,0)关于原点对称,所以 |PF1|PF2|a 2对应的轨迹关于原点对称,即正确;因为 |PF1|PF2|sinF 1PF2 |PF1|PF2| a2,12FPSA12 12 12即F 1PF2 的面 积不大于 a2,即正确.1216.在ABC 中,已知 A(2,0),B(2,0) ,G ,M 为平面上的两点且满足 0,| | | |, ,求顶点 C 的轨迹方程.GA GB GC MA MB MC GM AB 解 设 C(x,y)(y0),则由 0,GA GB GC 可知 G 为ABC 的重心,得 G .(x3,y3)又| | | |,即 M 为 ABC 的外心,MA MB MC 所以点 M 在 y 轴上,又 ,则有 M .GM AB (0,y3)由| | | |,所以 x2 24 ,MC MA (y y3) y29所以顶点 C 的轨迹方程为 1,y0.x24 y212

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