1、2.1 不等关系与不等式最新考纲 考情考向分析了解不等关系，掌握不等式的基本性质.以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合属低档题.1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，bR)(2)作商法Error! (aR，b0)2不等式的基本性质性质 性质内容 特别提醒对称性 abbb，bcac 可加性 abacbc Error!acbc可乘性Error!acbd 同向同正可乘性 Error!ac bd 可乘方性ab0a nbn(nN，n1)a，b 同为正数可开方性 ab0 nanb(nN，n2)a，b 同为正数概念方法
2、微思考1若 ab，且 a 与 b 都不为 0，则 与 的大小关系确定吗？1a 1b提示 不确定若 ab，ab0，则 0b，则 ，即正数大于负数1a 1b2两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示 可以相加但不一定能相乘，例如 21，13.题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，a1，则 ab.( )ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘同一个数，不等号方向不变( )(4)ab0，c d0 .( )adbc(5)ab0，ab 0”是“a 2b 20”的( )a bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要
3、条件答案 A解析 0 a ba 2b2，a b a b但由 a2b 20 0.a b3P74T3设 bbd Dadbc答案 C解析 由同向不等式具有可加性可知 C 正确题组三 易错自纠4若 ab0，c0 B. D. ac，又cd0， ，即 .bdcdaccd bcad5设 a，bR，则“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 若 a2 且 b1，则由不等式的同向可加性可得 ab 213，由不等式的同向同正可乘性可得 ab212.即“a2 且 b1”是“ab3 且 ab2”的充分条件；反之，若“ab3 且
4、ab2”，则“a2 且 b1”不一定成立，如 a6，b .所以“a2 且 b1”是12“ab3 且 ab2”的充分不必要条件故选 A.6若 q Dpq答案 B解析 (作差法)pq abb2a a2b (b 2a 2)b2 a2a a2 b2b (1a 1b) ，b2 a2b aab b a2b aab因为 a0.若 ab，则 pq0，故 pq；若 ab，则 pqb0，比较 aabb与 abba的大小解 ab ，aabbabba aa bba b (ab)又 ab0，故 1，ab0 ，ab ab 1，即 1，(ab) aabbabba又 abba0，a abbabba，a abb与 abba的大
5、小关系为：a abbabba.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：作差；变形；定号；结论(2)作商法：作商；变形；判断商与 1 的大小关系；结论 (3)函数的单调性法跟踪训练 1 (1)已知 pR，M(2 p1)(p3)，N(p6)( p3)10，则 M，N 的大小关系为_答案 M N解析 因为 MN(2p1)(p3)(p6)( p3)10 p22p5( p1) 240，所以MN.(2)若 a0，且 a7，则( )A7 7aa7aa7D7 7aa与 7aa7 的大小关系不确定答案 C解析 7 7a aa7 7a ，77aa7aa7 (7a)则当 a7 时，01，7 7aa7aa7；(7a
6、)当 01,7a0 ，7a则 7a 1，7 7aa7aa7.(7a)综上，7 7aa7aa7.题型二 不等式的性质例 2 (1)若 a，b，cR，则下列说法正确的是( )A若 ab，则 ac bc B若 ab，则 b，则 a2b2 D若 ab，则 ac2bc2答案 A解析 当 a0b 时，B 不正确，当 0ab 时， C 不正确，当 c0 时，D 不正确，由不等式的性质知 A 正确，故选 A.(2)已知四个条件：b0a；0ab；a0b；a b0，能推出 b，ab0 ac Bc(ba)0答案 A解析 由 c0.由 bc，得 abac 一定成立(2)若 |b|；a0，1a1b所以 abb0，给出下
7、列四个不等式：a 2b2；2 a2b1 ； ；a b a ba 3b 32a2b.其中一定成立的不等式为( )A BC D答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2 x在 R 上是增函数，f(a)f( b1) ，即 2a2b1 ，成立；ab0， ，a b( )2( )2a b a b2 2b2 ( )0，ab b a b ，成立；a b a b若 a3，b2，则 a3b 335,2a 2b36，a3b 3b2，2 a2b1 ， 均成立，而a 3b 32a2b 不成立，故选 A.a b a b命题点 2 求代数式的取值范围例 4 已知1
8、Ba 2bn|b|a| |b| 1|a| 1答案 C解析 (特值法)取 a2，b 1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确；C 项， 0，0b，cd，则 acbdB若 acbc，则 abC若 b，cd，则 ac bd答案 C解析 A 项，取 a2，b1，c1， d2，可知 A 错误 ；B 项，当 cbca0，所以 ab2 B1 b a(12) (12)C. beaba ab答案 D解析 由题意知，b a1， 2，(12) (12) ba abbeb0，ba0，be aae b，ae bbea，故选 D.3若 ab0，则下列不等式中一定成立的是( )Aa b B. 1b 1a bab 1a 1
9、Ca b D. 1b 1a 2a ba 2bab答案 A解析 取 a2，b1，排除 B 与 D；另外，函数 f(x)x 是(0，)上的增函数，但函数 g(x)1xx 在(0,1上单调递减，在1， ) 上单调递增，所以，当 ab0 时， f(a)f(b)必定成立，即1xa b a b ，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.1a 1b 1b 1a4已知 xyz，xy z0，则下列不等式成立的是( )Axyyz Bxz yzCxy xz Dx|y |z|y|答案 C解析 xyz 且 xy z0，3xxyz0,3z0，zz，xyxz.5(2015浙江)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用
10、一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x，y ，z，且 xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为 a，b，c，且 abc.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元) 是( )Aaxbycz BazbycxCay bzcx Daybxcz答案 B解析 令 x1，y2，z3，a1，b2， c3.A 项：axbycz14914；B 项：azbycx34310；C 项：ay bzcx26311；D 项：aybxcz22913.故选 B.6若 ， 满足 0，则 与 的大小关系是_ab2 ba2 1a 1b答案 ab2 ba2 1a 1b解析 ab2
11、ba2 (1a 1b) a bb2 b aa2(ab) .(1b2 1a2) a ba b2a2b2ab0，( ab) 20， 0.a ba b2a2b2 .ab2 ba2 1a 1b8已知有三个条件：ac 2bc2； ；a 2b2，其中能成为 ab 的充分条件的是acbc_答案 解析 由 ac2bc2 可知 c20，即 ab，故 “ac2bc2”是“ ab”的充分条件；当 cb 的充分条件9(2019杭州模拟)已知 a， b，c ，d 均为实数，有下列命题：若 ab0，bcad0，则 0；ca db若 ab0， 0，则 bcad0；ca db若 bcad0， 0，则 ab0.ca db其中正
12、确的命题是_(填序号)答案 解析 ab0， bcad0， 0，正确；ca db bc adabab0，又 0，即 0，ca db bc adabbcad0，正确；bcad0，又 0，即 0，ca db bc adabab0，正确故都正确10设 ，T 1cos(1 )，T 2cos(1) ，则 T1 与 T2 的大小关系为_(0，12)答案 T 10，求证： ；a bb c dd(2)已知 cab0，求证： .ac a bc b证明 (1)bcad，bd0， ，cd ab 1 1，cd ab .a bb c dd(2)cab0 ，ca0，c b0,00， .ac a bc b12已知 1n2，所以 mn4；结合定义及 pq2，可得Error! 或Error!即 qbln a Baln bbea，故选 B.16(2018浙江衢州二中模拟) 已知非负实数 a，b，c 满足 abc1，求(ca)( cb)的取值范围解 因为 a，b，c 为非负实数，且 abc1，则 ab1c,0c 1，故|( ca )(cb)|c a| cb|c 21，即1(ca)(cb)1；又(ca )(cb)c 2(1 c )cab2 2 .(c 14) 18 18综上， (c a)(cb)1.18
