1、高考专题突破五 高考中的立体几何问题题型一 求空间几何体的表面积与体积例 1 (1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于 2 的正方形，则这个几何体的表面积为( )A.164 B.1643 5C.204 D.2043 5答案 D解析 由三视图可知，该几何体是棱 长为 2 的正方体的内部挖去一个底面 边长为 2 的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为 S52 24 2 204 ，故选 D.12 5 5(2)(2018浙江省嘉兴市第一中学期中) 如图，已知 AB 为圆 O 的直径，C 为圆上一动点，PA圆 O 所在平面，且 PAAB
2、2，过点 A 作平面 PB，交 PB，PC 分别于 E，F，当三棱锥 PAEF 体积最大时，tanBAC_.答案 2解析 PB平面 AEF，AFPB，又 ACBC，APBC，ACAPA， AC，AP平面 PAC，BC平面 PAC，又AF 平面 PAC，AFBC，又PB BCB，PB ，BC平面 PBC，AF平面 PBC，AFE90，设BAC ，在 RtPAC 中，AF .APACPC 22cos 21 cos2 2cos 1 cos2在 Rt PAB 中， AEPE ，EF ，2 AE2 AF2V 三棱锥 PAEF AFEFPE AF 1312 16 2 AF2 2 26 2AF2 AF4 ，
3、26 AF2 12 1 26当 AF1 时，三棱锥 PAEF 的体积取最大值 ，26此时 1，且 0二面角 AQRP 的平面角二面角 APRQ 的平面角，即 0).(1)证明：BC 1平面 AB1D；(2)若直线 BC1 与平面 ABB1A1 所成角的大小为 ，求 h 的值.6(1)证明 方法一 如图 1，连接 A1B，交 AB1 于点 E，连接 DE，则 DE 是A 1BC1 的中位线，图 1所以 DEBC 1.又 DE平面 AB1D，BC1平面 AB1D，所以 BC1平面 AB1D.方法二 如图 2，取 AC 的中点 F，连接 BF，C1F，DF.图 2因为 AFDC 1，且 AFDC 1
4、，所以四边形 AFC1D 是平行四边形，故 ADFC 1.又 FC1平面 BFC1，AD平面 BFC1，所以 AD平面 BFC1.因为 DFB 1B，且 DFB 1B，所以四 边形 DFBB1 是平行四 边形，故 DB1FB .又 FB平面 BFC1，DB1平面 BFC1，所以 DB1平面 BFC1.又 ADDB 1D，AD ，DB1平面 ADB1，所以平面 ADB1平面 BFC1.又 BC1平面 BFC1，故 BC1平面 AB1D.(2)解 方法一 取 A1B1 的中点 H，连接 C1H，BH.因为A 1B1C1 与ABC 都是正三角形，所以 C1HA 1B1.在直三棱柱 ABCA1B1C1
5、 中，平面 ABB1A1平面 A1B1C1，平面 ABB1A1平面A1B1C1A 1B1，又 C1H平面 A1B1C1，故 C1H平面 ABB1A1.所以C 1BH 就是 BC1 与平面 ABB1A1 所成的角，即C 1BH .6在 Rt C1BH 中，BC 12HC 12 ，3在 Rt BCC1 中，BC 1 .BC2 CC21 h2 4所以 2 ，解得 h2 .h2 4 3 2方法二 以 AB 的中点 O 为坐 标原点，OB，OC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点 O 且与平面ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图 3 所示，图 3则 B(1，0，0)，C1(0， ，h
6、).3易得平面 ABB1A1 的一个法向量为 n(0 ，1，0).又 (1， ，h)，BC1 3所以 sin |cos ，n| ，6 BC1 |BC1 n|BC1 |n|即 ，解得 h2 .3h2 4 12 213.(2018绍兴市适应性考试) 如图，在ABC 中，ACB 90，CAB，M 为 AB 的中点.将ACM 沿着 CM 翻折至ACM，使得 AMMB，则 的取值不可能为( )A. B. C. D.9 6 5 3答案 A解析 如图，设点 A在平面 BMC 上的射影为 A，则由题意知，点 A在直线 CM 的垂线 AA上.要使 AMMB，则 AMMB ，所以只需考虑其临界情况，即当 AMMB
7、 时，点 A 与点 A关于直线 CM 对称，所以AMDAMDBMC ，又 AMMC，所以AMC 是以MAC 为底角的等腰三角4形，所以CAMMCA2 ，所以 .因此当 时，有 AMMB，所以 的取值4 8 8不可能为 ，故选 A.914. (2018温州高考适 应性测试) 已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面，B，C 是圆上的两点，H 是点 B 在 AC 上的射影，当 C 运动时，点 H 运动的轨迹( )A.是圆B.是椭圆C.是抛物线D.不是平面图形答案 A解析 设在定圆内过点 B 的直径与圆的另一个交点为点 D，过点 B 作 AD 的垂线，垂足为点E，连 接 EH，CD.因为 BD 为定圆的
8、直径，所以 CDBC ，又因为 AB 垂直于定圆所在的平面，所以 CDAB ，又因为 ABBC B，所以 CD平面 ABC，所以 CDBH，又因为BHAC，ACCDC，所以 BH平面 ACD，所以 BHEH，所以 动点 H 在以 BE 为直径的圆上，即点 H 的运动轨迹为圆，故 选 A.15.(2018浙江省镇海中学模拟) 已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB 1，CC 1 分别交于三点 M，N，Q，若MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A.2 B.4 C.2 D.22 3答案 D解析 取
9、D，D1 分别为 AC，A1C1 的中点，连接 DD1，DB，根据 题意以 D 为原点，DB，DC，DD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如 图所示的空 间直角坐标系，点 M 在侧棱 AA1 上，设 M(0，1，a)，点 N 在 BB1 上，设 N( ，0，b)，点 Q 在 CC1 上，设3Q(0，1，c)，不妨设 cba，则 ( ，1，ba) ， ( ，1，bc).因为MNQ 为直角三MN 3 QN 3角形，由 cba，得MNQ 为 直角，所以 0，即 (ba)(bc)20，斜边 MQMN QN 2 ，当且仅当4 a c2 4 a b b c2 4 4a bb c 4 42 3abbc
10、 时取等号，故选 D.16.已知三棱锥 PABC 中，点 P 在底面 ABC 上的投影正好在等腰直角三角形 ABC 的斜边AB 上( 不包含两端点)，点 P 到底面 ABC 的距离等于等腰直角三角形 ABC 的斜边 AB 的长.设平面 PAC 与底面 ABC 所成的角为 ，平面 PBC 与底面 ABC 所成的角为 ，则 tan()的最小值为_.答案 427解析 设点 P 在底面 ABC 上的投影为 H，连接 PH，则 PH平面 ABC.过 H 作 HMAC 于M，HNBC 于 N，连接 PM，PN，则 PMH， PNH .设 ACBC1，AHt(0t )，2则 PHAB .因为ABC 为等腰直角三角形，所以 MHAH sin 45 ，NHBHsin 4522t2 ，所以 tan ，tan ，2 2 t2 PHMH 222t 2t PHNH 222 2 t 22 t所以 tan() .tan tan 1 tan tan 2t 22 t1 2t 22 t 22t2 2t 422(t 22)2 72因为 0t ，所以当 t 时，tan( )取得最小值，最小值为 .222 427
