1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.22.2 基本不等式基本不等式 第第2 2课时课时 基本不等式的应用基本不等式的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.熟练掌握利用基本不等式求函数 的最值问题(重点) 2会用基本不等式求解实际应用 题(难点) 1.通过基本不等式求最值， 提升数学 运算素养 2借助基本不等式在实际问题中的 应用，培养数学建模素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 已知 x、y 都是正数， (1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 x
2、y 取得最 值S 2 4 . (2)若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最 值 2 p. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大 大 小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1已知 a0，b0，ab2，则 y1 a 4 b的最小值是( ) A.7 2 B4 C. 9 2 D5 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 C ab2，ab 2 1. 1 a 4 b 1 a 4 b ab 2 5 2 2a b b 2a 5 22 2a b b 2a 9 2 当且仅当2a b b 2a，即b2a时，等号成立 . 故 y1 a 4 b的最小值为 9 2. 栏目导航栏目导航 栏目
3、导航栏目导航 7 1已知 a0，b0， ab2，则 y1 a 4 b的最 小值是( ) A.7 2 B4 C.9 2 D5 C ab2，ab 2 1. 1 a 4 b 1 a 4 b ab 2 5 2 2a b b 2a 5 22 2a b b 2a 9 2 当且仅当2a b b 2a，即b2a时，等号成立 . 故 y1 a 4 b的最小值为 9 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2若 x0，则 x2 x的最小值是 _ 2 2 x2 x2 x 2 x2 2，当 且仅当 x 2时，等号成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 3设 x，yN*满足 xy20， 则 xy 的最大值为
4、_ 100 x，yN*，20 x y2 xy， xy100. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 【例 1】 (1)已知 x5 4，求 y4x2 1 4x5的最大值； (2)已知 0 x1 2，求 y 1 2x(12x)的最大值 思路点拨 (1)看到求 y4x2 1 4x5的最值，想到如何才能出现 乘积定值；(2)要求 y1 2x(12x)的最值，需要出现和为定值 利用基本不等式求最值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 解 (1)x0， y4x2 1 4x5 54x 1 54x 3231， 当且仅
5、当 54x 1 54x，即 x1 时，上式等号成立， 故当 x1 时，ymax1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (2)0 x0， y1 42x(12x) 1 4 2x12x 2 21 4 1 4 1 16. 当且仅当 2x12x 0 x0，求函数 yx 25x4 x 的最小值； (2)已知 0 x0)的最小值为 9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (2)法一：0 x0. yx(13x)1 3 3x(13x) 1 3 3x13x 2 21 12. 当且仅当 3x13x，即 x1 6时，等号成立 当 x1 6时，函数取得最大值 1 12. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
6、航 17 法二：0 x0. yx(13x)3 x 1 3x 3 x1 3x 2 2 1 12， 当且仅当 x1 3x，即 x 1 6时，等号成立 当 x1 6时，函数取得最大值 1 12. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 【例 2】 已知 x0，y0，且满足8 x 1 y1.求 x2y 的最小值 解 x0，y0，8 x 1 y1， x2y 8 x 1 y (x2y)10 x y 16y x 102 x y 16y x 18， 利用基本不等式求条件最值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 当且仅当 8 x 1 y1， x y 16y x ， 即 x12， y3 时，等号成立， 故
7、当 x12，y3 时，(x2y)min18. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 若把“8 x 1 y1”改为“x2y1”，其他条件不变，求 8 x 1 y的最小 值 解 x，yR， 8 x 1 y(x2y) 8 x 1 y 816y x x y210 16y x x y102 1618. 当且仅当16y x x y时取等号， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 结合 x2y1，得 x2 3，y 1 6， 当 x2 3，y 1 6时， 8 x 1 y取到最小值 18. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形， 配凑出满足基
8、本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会 变形 2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形 式有 f(x)axb x型和 f(x)ax(bax)型 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2已知 a0，b0，a2b1，求1 a 1 b的最小值 解 法一：1 a 1 b 1 a 1 b 1 1 a 1 b (a2b) 12b a a b23 2b a a b32 2b a a b 32 2， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 当且仅当 2b a a b， a2b1， 即 a 21， b1 2 2 时等号成立 1 a 1 b的最小值为 32 2. 栏
9、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 法二：1 a 1 b a2b a a2b b 12b a a b2 32b a a b32 2， 当且仅当 2b a a b， a2b1， 即 a 21， b1 2 2 时，等号成立， 1 a 1 b的最小值为 32 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 【例 3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可 利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有 36 m 长的钢筋网材料，每 间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ 利用基本不等式解决实际问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 解 设每间虎笼长 x m，宽 y
10、m， 则由条件知，4x6y36，即 2x3y18. 设每间虎笼面积为 S，则 Sxy. 法一：由于 2x3y2 2x 3y2 6xy， 所以 2 6xy18，得 xy27 2 ， 即 Smax27 2 ，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由 2x3y18， 2x3y， 解得 x4.5， y3. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 法二：由 2x3y18，得 x93 2y. x0，0y6，Sxyy 93 2y 3 2y(6y) 0y0. S3 2 6yy 2 227 2 . 当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时
11、x4.5. 故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 1在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系， 把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问 题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 2对于函数 yxk x(k0)，可以证明 0 x k及 kx0 上均为 减函数，在 x k及 x k上都是增函数求此函数的最值时，若所给 的范围含 k时，可用基本不等式，不包含 k
12、时，可用函数的单调性求 解(后面第三章 3.2 函数的基本性质中学习) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 3某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至 少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10) 层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平 方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用 平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用 建筑总面积) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 解 设将楼房建为 x 层， 则每平方米的平均购地费用为2 16010 4 2 000 x 10
13、 800 x . 每平方米的平均综合费用 y56048x10 800 x 56048 x225 x . 当 x225 x 取最小值时，y 有最小值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 x0，x225 x 2x 225 x 30. 当且仅当 x225 x ，即 x15 时，上式等号成立 当 x15 时，y 有最小值 2 000 元 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正二定三相等”， 三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用基本不等式的三个条件， 需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等
14、变形手段，创设一个适合应用基 本不等式的情境 2不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，基本不等式是 经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1思考辨析 (1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小 值( ) (2)若 a0，b0 且 ab4，则 ab4.( ) (3)当 x1 时，函数 yx 1 x12 x x1，所以函数 y 的最小值是 2 x x1.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 提示 (1)由 ab2
15、ab可知正确 (2)由 ab ab 2 24 可知正确 (3) x x1不是常数，故错误 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 2若实数 a、b 满足 ab2， 则 ab 的最大值为( ) A1 B2 2 C2 D4 A 由基本不等式得， ab ab 2 21. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 3已知 0 x1，则 x(33x)取最 大值时 x 的值为( ) A.1 2 B.3 4 C.2 3 D.2 5 A 0 x0， 则 x(33x)3x(1 x)3 x1x 2 23 4， 当且仅当 x1x，即 x1 2时取 等号 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 4已知 x0，求 y 2x x21的最大值 解 y 2x x21 2 x1 x . x0，x1 x2 x 1 x2， y2 21，当且仅当 x 1 x，即 x1 时等号成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
