1、第五章 三角函数 5.55.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.15.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第1 1课时课时 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解两角差的余弦公式的推导过程(重点) 2 理解用向量法导出公式的主要步骤 (难点) 3 熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征， 并能利用该公式进行求值、计算(重点、易 混点) 1. 通过两角差的余弦公式 的推导，培养数学运算素 养 2. 借助公式的变形、 正用、 逆用，提升逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
2、航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 两角差的余弦公式 公式 cos() 适用条件 公式中的角 ， 都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的 连接符号相反 cos cos sin sin 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1 sin 14 cos 16 sin 76 cos 74 ( ) A 3 2 B1 2 C 3 2 D1 2 B sin 14 cos 76 ，cos 74 sin 16 ， 原式cos 76 cos 16 sin 76 sin 16 cos(76 16 )cos 60 1 2. 栏
3、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2cos(15 )的值是( ) A. 6 2 2 B. 6 2 2 C. 6 2 4 D. 6 2 4 D cos(15 )cos 15 cos(45 30 )cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3cos 65 cos 20 sin 65 sin 20 _. 2 2 cos 65 cos 20 sin 65 sin 20 cos(65 20 )cos 45 2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养
4、栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 【例1】 (1)cos13 12 的值为( ) A. 6 2 4 B. 6 2 4 C. 2 6 4 D 6 2 4 给角求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 (2)求下列各式的值： cos 75 cos 15 sin 75 sin 195 ； sin 46 cos 14 sin 44 cos 76 ； 1 2cos 15 3 2 sin 15 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (1)D cos13 12 cos 12 cos 12 cos 4 6 cos 4cos 6sin 4sin 6 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2
5、 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (2)解：cos 75 cos 15 sin 75 sin 195 cos 75 cos 15 sin 75 sin(180 15 ) cos 75 cos 15 sin 75 sin 15 cos(75 15 )cos 60 1 2. sin 46 cos 14 sin 44 cos 76 sin(90 44 )cos 14 sin 44 cos(90 14 ) cos 44 cos 14 sin 44 sin 14 cos(44 14 )cos 30 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 1 2cos 15 3 2 sin
6、 15 cos 60 cos 15 sin 60 sin 15 cos(60 15 )cos 45 2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结 构形式，然后逆用公式求值 2两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦 (2)把所得的积相加 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1化简下列各式： (1)cos(21 )cos(24 )sin(21 )sin(24 )； (2)si
7、n 167 sin 223 sin 257 sin 313 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 解 (1)原式cos21 (24 )cos 45 2 2 . (2)原式sin(180 13 )sin(180 43 )sin(180 77 ) sin(360 47 ) sin 13 sin 43 sin 77 sin 47 sin 13 sin 43 cos 13 cos 43 cos(13 43 )cos(30 ) 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 探究问题 1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？ 提示：cos cos() cos()cos sin()sin
8、 . 2利用()可得cos 等于什么？ 提示：cos cos()cos cos()sin sin() 给值(式)求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 【例 2】 (1)已知 sin sin 1 3 2 ，cos cos 1 2，则 cos( )( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 (2)已知 sin 3 12 13， 6， 2 3 ，求 cos 的值 思路点拨 (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关 系和公式 C()求 cos() (2)由已知角 3 与所求角 的关系即 3 3寻找解题思路 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 (1)D 因为
9、sin sin 1 3 2 ， 所以sin22sin sin sin2 1 3 2 2， 因为cos cos 1 2，所以cos 22cos cos cos2 1 2 2， ，两式相加得12cos()11 33 4 1 4 所以2cos() 3 所以cos() 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (2)解 6， 2 3 ， 3 2， ， cos 3 1sin2 3 1 12 13 2 5 13. 3 3， cos cos 3 3 cos 3 cos 3sin 3 sin 3 5 13 1 2 12 13 3 2 12 35 26 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21
10、1将例2(2)的条件改为“sin 4 4 5，且 4 3 4 ”，如何解答？ 解 sin 4 4 5，且 4 3 4 ， 2 4， cos 4 1 4 5 23 5， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 cos cos 4 4 cos 4 cos 4sin 4 sin 4 3 5 2 2 4 5 2 2 2 10 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2将例2(2)的条件改为“sin 3 12 13， 6， 5 6 ”，求 cos 12 的值 解 6 5 6 ， 2 3 6， 又sin 3 12 130， 2 30，cos 3 1sin2 3 5 13， 栏目导航栏目导航 栏目导
11、航栏目导航 24 cos 12 cos 12 cos 3 4 2 2 cos 3 2 2 sin 3 2 2 5 13 2 2 12 13 7 2 26 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 给值求值问题的解题策略 1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注 意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵 活地进行拆角或凑角.常见角的变换有： ； 2 2 ； 2； 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 【例 3】 已知 sin()4 3 7 ，cos()1
12、3 14，0 2，求角 的大小 思路点拨 求cos 、sin 求cos cos 求 给值求角问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 解 因为sin()4 3 7 ， 所以sin 4 3 7 .因为0 2， 所以cos 1sin21 7. 因为cos()13 14， 且0 2，所以0 2， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 所以sin() 1cos23 3 14 ， 所以cos cos()cos cos()sin sin()1 7 13 14 4 3 7 3 3 14 1 2.因为0 2，所以 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 已知三角函数值求角的解题步骤 1界定角
13、的范围，根据条件确定所求角的范围. 2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的 三角函数. 3结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答 案. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 2已知，均为锐角，且cos 2 5 5 ，cos 10 10 ，求的值 解 ，均为锐角， sin 5 5 ，sin 3 10 10 ， cos()cos cos sin sin 2 5 5 10 10 5 5 3 10 10 2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 又sin sin ， 0 2， 20， 故 4. 栏目导航栏目导航
14、栏目导航栏目导航 33 1给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角 的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变 角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形 用，有时需运用拆角、拼角等技巧 2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一 个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所 在的范围(找一个单调区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函 数值，要根据具体题目而定 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1思考辨析 (1)cos
15、(60 30 )cos 60 cos 30 .( ) (2)对于任意实数，cos()cos cos 都不成立( ) (3)对任意，R，cos()cos cos sin sin 都成立( ) (4)cos 30 cos 120 sin 30 sin 120 0.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 提示 (1)错误cos(60 30 )cos 30 cos 60 cos 30 . (2)错误当45 ，45 时，cos()cos(45 45 ) cos(90 )0，cos cos cos(45 )cos 45 0，此时cos() cos cos . (3)正确结论为两角差的余弦公式 (
16、4)正确cos 30 cos 120 sin 30 sin 120 cos(120 30 )cos 90 0. 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 2已知为锐角，为第三象限 角，且cos 12 13，sin 3 5，则 cos()的值为( ) A63 65 B33 65 C.63 65 D.33 65 A 为锐角，cos 12 13， sin 1cos2 5 13， 为第三象限角，sin 3 5， cos 1sin24 5， cos()cos cos sin sin 12 13 4 5 5 13 3 5 63 65. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
17、航 38 3cos(35 )cos(25 ) sin(35 )sin(25 )_. 1 2 原式cos(35 )( 25 ) cos(60 )cos 60 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 4已知sin 4 5，sin 5 13，且180 270 ，90 180 ， 求cos()的值 解 因为sin 4 5，180 270 ， 所以cos 3 5. 因为sin 5 13，90 180 ， 所以cos 12 13， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 所以cos()cos cos sin sin 3 5 12 13 4 5 5 13 36 65 20 65 16 65. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
