1、第五章 三角函数 5.75.7 三角函数的应用三角函数的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解三角函数是描述周期变化现 象的重要函数模型，并会用三角函 数模型解决一些简单的实际问 题(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模 型(难点) 1.通过建立三角模型解决实际问 题，培养数学建模素养. 2.借助实际问题求解，提升数学运 算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义 A 2 2 x 栏目导航栏目导航 栏目导航
2、栏目导航 5 2解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1函数 y1 3sin 1 3x 6 的周期、振幅、初相 分别是( ) A3，1 3， 6 B6，1 3， 6 C3，3， 6 D6，3， 6 B y1 3sin 1 3x 6 的周期T2 1 3 6，振 幅为1 3，初相为 6. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2函数y3sin 1 2x 6 的频率为 _，相位为_，初相 为_ 1 4 1 2x 6 6 频率为 1 T 1 2 2 1 4，
3、 相位为1 2x 6，初相为 6. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3如图为某简谐运动的图象， 则这个简谐运动需要_s往返 一次 08 观察图象可知此简谐运 动的周期T0.8，所以这个简谐运 动需要0.8 s往返一次 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 4如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度 y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 y6sin 6x 设y与x的函数关系式为yAsin(x)(A0， 0)，则A6，T2 12， 6. 当x9时，ymax6. 故 69 22
4、k，kZ. 取k1得，即y6sin 6x. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例1】 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置 的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s4sin 2t 3 ，t0，)用 “五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题 (1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 思路点拨 确定函数yAsin(x)中的参数A，的物理意义 是解题关键 三角函数模型在物理学中的应用 栏
5、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 解 列表如下： t 6 12 3 7 12 5 6 2t 3 0 2 3 2 2 sin 2t 3 0 1 0 1 0 s 0 4 0 4 0 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 描点、连线，图象如图所示 (1)将t0代入s4sin 2t 3 ，得s4sin 32 3，所以小球开始振动 时的位移是2 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和4 cm. (3)因为振动的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是 s. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数yAsinx表示 物
6、体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置 的最大距离，T2 为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f1 T为 频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220 3 sin 100t 6 来表示，求： (1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 解 (1)当t0时，E110 3(V)，即开始时的电压为110 3 V. (2)T 2 100 1 50(s)，即时间间隔为0.
7、02 s. (3)电压的最大值为220 3 V，当100t 6 2，即t 1 300 s时第一次取 得最大值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 探究问题 在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需要几个步骤？ 提示：(1)根据原始数据给出散点图 (2)通过考察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直 线或拟合曲线 (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式 (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为 决策和管理提供依据 三角函数模型的实际应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 【例2】 已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，
8、其中 0t24，记yf(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，yf(t)的图象可近似地看成是函数yAcos tb的图 象 (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1) 的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行 活动？ 思路点拨 (1)根据y的最大值和最小值求A，b，定周期求. (2)解不等式y1，确定有多少时间可供
9、冲浪者活动 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 解 (1)由表中数据可知，T12， 6.又t0时，y1.5，A b1.5；t3时，y1.0，得b1.0，所以振幅为1 2，函数解析式为y 1 2cos 6t1(0t24) (2)y1时，才对冲浪爱好者开放，y1 2cos 6t11，cos 6t 0,2k 2 6t2k 2，即12k3t12k3，(kZ)又0t24，所 以0t3或9t15或21t24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪 爱好者可以进行活动，即9t15. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 1若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解 由y1 2cos
10、6t11.25得cos 6t 1 2，2k 3 6t2k 3， kZ，即12k2t12k2，kZ. 又0t24，所以0t2或10t14或22t24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即10t 14. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2若本例中海滨浴场某区域的水深y(米)与时间t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 用yAsin tb刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 解 函数yAsi
11、n tb在一个周期内由最大变到最小需93 6(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12 h，因此2 12， 6. 又当t0时，y10；当t3时，ymax13， b10，A13103， 所求函数的解析式为y3sin 6t10(0t24) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 解三角函数应用问题的基本步骤 提醒：关注实际意义求准定义域 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 1曲线yAsin (x)的应用实质上是物理方面的知识所以建立 该类问题的数学模型一定要结合物理知识进行 2解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解 模、还原评价 (1)构建三角函数模型解决具有周期变化现象
12、的实际问题 (2)对于测量中的问题归结到三角形中去处理，应用三角函数的概念 和解三角形知识解决问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1思考辨析 (1)函数y|sin x1 2|的周期为.( ) (2)一个弹簧振子做简谐振动的周期为0.4 s，振幅为5 cm，则该振子 在2 s内通过的路程为50 cm.( ) (3)电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I5sin 100t 3 ，则当t 1 200 s时，电流强度I为 5 2 A( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 提示 (1)错误函
13、数y|sin x1 2|的周期为2. (2)错误一个周期通过路程为20 cm，所以2 s内通过的路程为 20 2 0.4100(cm) (3)正确 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 2在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振 动已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1 5sin 2t 6 ，s210cos 2t确定，则当t2 3 s时，s1与s2的大小关系是( ) As1s2 Bs1s2 Cs1s2 D不能确定 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 C 当t2 3 时，s15sin 4 3 6 5s
14、in3 2 5， 当t2 3 时，s210cos4 3 10 1 2 5， 故s1s2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 3一根长l cm的线，一端固 定，另一端悬挂一个小球，小球摆 动时离开平衡位置的位移s(cm)与时 间t(s)的函数关系式为s 3cos g l t 3 ，其中g是重力加速 度，当小球摆动的周期是1 s时，线 长l_cm. g 42 由已知得 2 g l 1，所以 g l 2，g l 42，l g 42. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 4如图所示，某动物种群数量1月1日低至700,7月 1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化 (1)求出种群
15、数量y关于时间t的函数表达式；(其中t以年初以来的月为 计量单位) (2)估计当年3月1日动物种群数量 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 解 (1)设种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0， 0)，则 Ab700， Ab900， 解得A100，b800. 又周期T2(60)12， 2 T 6，y100sin 6t 800. 又当t6时，y900， 900100sin 66 800， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 sin()1，sin 1， 取 2， y100sin 6t 2 800. (2)当t2时， y100sin 62 2 800750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
