1、第五章 三角函数 5.55.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.15.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第4 4课时课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能利用两角和的正、余弦、正切公式推导出二倍 角的正弦、余弦、正切公式(重点) 2.能利用二倍角公式进行化简、求值、证明(难 点) 3.熟悉二倍角公式的常见变形，并能灵活应用(易 错点) 1.通过公式的推 导，培养逻辑推理 素养. 2.借助运算求值， 提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目
2、导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 2 C2 cos 2 T2 tan 2_ 2sin cos cos2sin2 2tan 1tan2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2.余弦的二倍角公式的变形 3正弦的二倍角公式的变形 (1)sin cos 1 2sin 2，cos _. (2)1 sin 2 . 12sin2 1cos 2 2 2cos21 1cos 2 2 sin 2 2sin (sin cos )2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1下列各式中，值为 3 2
3、 的是 ( ) A2sin 15 cos 15 Bcos215 sin215 C2sin215 Dsin215 cos215 B 2sin 15 cos 15 sin 30 1 2；cos 215 sin215 cos 30 3 2 ； 2sin215 1cos 30 1 3 2 ； sin215 cos215 1，故选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2sin 15 cos 15 _. 1 4 sin 15 cos 15 1 22sin 15 cos 15 1 2sin 30 1 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3.1 2cos 2 8_. 2 4 1 2cos 2
4、 8 1 2 1cos 4 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 4若tan 2则tan 2 _. 4 3 tan 2 2tan 1tan2 22 122 4 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 【例1】 (1)cos 7cos 3 7 cos5 7 的值为( ) A.1 4 B1 4 C.1 8 D1 8 (2)求下列各式的值： cos415 sin415 ；12sin275 ；1tan 275 tan 75 ； 1 sin 10 3 cos 10
5、 . 给角求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (1)D cos3 7 cos4 7 ，cos5 7 cos2 7 ， cos 7cos 3 7 cos5 7 cos 7cos 2 7 cos4 7 8sin 7cos 7cos 2 7 cos4 7 8sin 7 4sin2 7 cos2 7 cos4 7 8sin 7 2sin4 7 cos4 7 8sin 7 sin8 7 8sin 7 1 8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (2)解 cos415 sin415 (cos215 sin215 )(cos215 sin215 ) cos215 sin215 cos 3
6、0 3 2 . 12sin275 1(1cos 150 )cos 150 cos 30 3 2 . 1tan 275 tan 75 21tan 275 2tan 75 2 1 tan 150 2 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1 sin 10 3 cos 10 cos 10 3sin 10 sin 10 cos 10 2 1 2cos 10 3 2 sin 10 sin 10 cos 10 4sin 30 cos 10 cos 30 sin 10 2sin 10 cos 10 4sin 20 sin 20 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 对于给角求值问题，一般
7、有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基 本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的 正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条 件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1求下列各式的值 (1)cos 72 cos 36 ； (2) 1 sin 50 3 cos 50 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 解 (1)cos 36 cos 72 2sin 36 cos 36 cos 72 2sin 36 2sin 72 cos
8、 72 4sin 36 sin 144 4sin 36 1 4. (2)原式cos 50 3sin 50 sin 50 cos 50 2 1 2cos 50 3 2 sin 50 1 22sin 50 cos 50 2sin 80 1 2sin 100 2sin 80 1 2sin 80 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 【例2】 (1)已知cos 4 3 5， 2 3 2 ，求cos 2 4 的值； (2)已知 2， 2 ，且sin 2sin 4 ，求. 思路点拨 依据以下角的关系设计解题思路求解： (1) 4与2 2， 4与2 2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2 2
9、与2差 2，用诱导公式联系 给值求值、求角问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 解 (1) 2 3 2 ，3 4 4 7 4 . cos 4 0，3 2 4 7 4 ， sin 4 1cos2 4 1 3 5 24 5， cos 2sin 2 2 2sin 4 cos 4 2 4 5 3 5 24 25， sin 2cos 2 2 12cos2 4 12 3 5 2 7 25， cos 2 4 2 2 cos 2 2 2 sin 2 2 2 24 25 2 2 7 25 31 2 50 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (2)sin 2cos 2 2 2cos2 4 1
10、12cos2 4 ， sin 4 sin 4 cos 2 4 cos 4 ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 原式可化为12cos2 4 cos 4 ， 解得cos 4 1或cos 4 1 2. 2， 2 ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 4 4， 3 4 ， 故 40或 4 2 3 ， 即 4或 5 12. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 1在例2(1)的条件下，求sin 4的值 解 由例2(1)解析知sin 42sin 2cos 22 7 25 24 25 336 625. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 2将例2(1)的条件改为sin 4x 5
11、13，0 x 4，求 cos 2x cos 4x 的值 解 0 x 4， 4x 0， 4 . 又sin 4x 5 13， cos 4x 12 13. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 又cos 2xsin 22x 2sin 4x cos 4x 2 5 13 12 13 120 169， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 cos 4x sin 2 4x sin 4x 5 13， 原式 120 169 5 13 24 13. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 解决条件求值问题的方法 1有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的 关系，看是否适合相关公式的使用，
12、注意常见角的变换和角之间的二倍 关系. 2当遇到f 4 x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件 与结论沟通. cos 2xsin 22x 2sin 4x cos 4x . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 类似的变换还有： cos 2xsin 22x 2sin 4x cos 4x ， sin 2xcos 22x 2cos 2 4x 1， sin 2xcos 22x 12cos 2 4x 等. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 探究问题 1解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情 况，通常要如何处理？ 提示：通常要切化弦后再进行变形 2证明三角恒等式时，
13、通常的证明方向是什么？ 提示：由复杂一侧向简单一侧推导 化简证明问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 【例3】 (1)化简： 1 tan 1 1 tan 1_. (2)证明： 3tan 12 3 sin 12 4cos212 24 3. 思路点拨 (1)通分变形 (2)切化弦通分，构造二倍角的余弦二倍角的正弦约分求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 (1)tan 2 原式 tan 1tan 1 tan 1tan 1 2tan tan21 2tan 1tan2 tan 2. (2)证明 左边 3sin 12 3cos 12 cos 12 2sin 12 2cos212 1 2
14、 3 1 2sin 12 3 2 cos 12 2sin 12 cos 12 cos 24 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2 3sin12 60 sin 24 cos 24 2 3sin 48 1 2sin 48 4 3右边，所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 证明三角恒等式的原则与步骤 1观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降 低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两 头凑”的思想. 2证明恒等式的一般步骤： 先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异； 本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集 中
15、”等原则，设法消除差异，达到证明的目的. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2求证：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B； (2)cos2(1tan2)cos 2. 证明 (1)左边1cos2A2B 2 1cos2A2B 2 cos2A2Bcos2A2B 2 1 2(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B) cos 2Acos 2B右边， 等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 (2)法一：左边cos2 1 sin2 cos2 cos2sin2cos 2右边 法二：右边cos 2cos2si
16、n2 cos2 1 sin2 cos2 cos2(1tan2)左边 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1对于“二倍角”应该有广义上的理解，如： 8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是3 2的二倍； 2 是 4的二倍； 3是 6的二倍； 2n 2 2n 1(nN*) 2二倍角余弦公式的运用 在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛二 倍角余弦公式的常用形式：1cos 22cos2，cos21cos 2 2 ， 1cos 22sin2，sin21cos 2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏
17、目导航栏目导航 38 1思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角( ) (2)存在角，使得sin 22sin 成立( ) (3)对于任意的角，cos 22cos 都不成立( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 提示 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二 倍角的正切公式，要求 2k(kZ)且 4k(kZ)，故此说法错 误 (2).当k(kZ)时，sin 22sin . (3).当cos 1 3 2 时，cos 22cos . 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 2已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则 (
18、 ) Af(x)的最小正周期为，最大值为3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为4 Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3 Df(x)的最小正周期为2，最大值为4 B 易知f(x)2cos2x sin2x23cos2x13 2 (2cos2x1)3 21 3 2cos 2x 5 2，则f(x)的最小正周期为 ，当xk(kZ)时，f(x) 取得最大值，最大值为4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 3设sin 2sin ， 2， ，则tan 2的值是 _ 3 sin 2sin ， 2sin cos sin . 由 2， 知sin 0， cos 1 2， 2 3 ， tan 2tan4 3 tan 3 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 4已知 2，cos 4 5. (1)求tan 的值； (2)求sin 2cos 2的值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 解 (1)因为cos 4 5， 2，所以sin 3 5， 所以tan sin cos 3 4. (2)因为sin 22sin cos 24 25， cos 22cos21 7 25， 所以sin 2cos 224 25 7 25 17 25. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
