1、第五章 三角函数 5.45.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.35.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能画出正切函数的图象(重点) 2.掌握正切函数的性质(重点、难点) 3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的 渐近线(易错点) 1.借助正切函数的图象研究问 题，培养直观想象素养. 2.通过正切函数的性质的应 用，提升逻辑推理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 正切函数的图象与性质 解析式 yt
2、an x 图象 定义域 _ 值域 R x xR，且x 2 k，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 周期 奇偶性 _ 对称中心 _ 单调性 在开区间 2k， 2k ，kZ 内都是增函数 奇函数 k 2 ，0 ，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1在下列函数中同时满足： 在 0， 2 上递增；以2为周期； 是奇函数的是( ) Aytan x Bycos x Cytanx 2 Dytan x C A，D的周期为，B中函数 在 0， 2 上递减，故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2函数ytan 2x 6 的 定义域为_ x xk 2 3，kZ 因为2x 6 k 2
3、，kZ， 所以xk 2 3，kZ 所以函数ytan 2x 6 的定义域为 x xk 2 3，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3函数ytan 3x的最小正周期 是_ 3 函数ytan 3x的最小正周期 是 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 4函数ytan x 5 的 单调增区间是_ k3 10，k 7 10 ，kZ 令k 2 x 5k 2，kZ 得k3 10 xk 7 10，kZ 即函数ytan x 5 的单调增区间是 k3 10，k 7 10 ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
4、目导航 11 【例1】 (1)函数y 1 tan x 4x 4且x0 的值域是( ) A(1,1) B(，1)(1，) C(，1) D(1，) (2)函数y3tan 6 x 4 的定义域为_ (3)函数y tan x1lg(1tan x)的定义域为_ 思路点拨 求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解 不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线 有关正切函数的定义域、值域问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (1)B (2) x x4k4 3 ，kZ (3) x 4kx0， 即1tan x1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 在 2， 2 上满足上述不等式的x的取
5、值范围是 4， 4 . 又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为 x 4kx 4k，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1求正切函数定义域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般 要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即x 2k，kZ. (2)求正切型函数yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将 “x”视为一个“整体”令xk 2，kZ，解得x. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 2解形如tan xa的不等式的步骤 提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1函数ylog1 2t
6、an 4x 的定义域是( ) A. x xk 4，kZ B. x k 4xk 4，kZ C. x xk 4，kZ D. x xk 4，kZ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 B 由题意tan 4x 0， 即tan x 4 0， k 2x 4k， k 4xk 4，kZ，故选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2求函数ytan2 3x 3 tan 3x 3 1的定义域和值域 解 由 3x 3k 2，kZ，得 x k 3 18(kZ)，所以函数的定 义域为 x xk 3 18kZ . 设 ttan 3x 3 ， 则 tR，yt2t1 t1 2 23 4 3 4， 所以原函数的值域
7、是 3 4， . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例2】 (1)函数f(x)tan 2x 3 的周期为_ (2)已知函数ytan x 3 ，则该函数图象的对称中心坐标为 _ (3)判断下列函数的奇偶性： y3xtan 2x2x4；ycos 2x tan x. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 思路点拨 (1)形如yAtan(x)(A0)的周期T |，也可以用 定义法求周期 (2)形如yAtan(x)(A0)的对称中心横坐标可由xk 2 ， kZ求出 (3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关 系 栏目导航栏目
8、导航 栏目导航栏目导航 22 (1) 2 (2) k 2 3，0 ，kZ (1)法一：(定义法) tan 2x 3 tan 2x 3 ， 即tan 2 x 2 3 tan 2x 3 ， f(x)tan 2x 3 的周期是 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 法二：(公式法) f(x)tan 2x 3 的周期T 2. (2)由x 3 k 2 (kZ)得xk 2 3(kZ)，所以图象的对称中心坐标为 k 2 3，0 ，kZ. (3)定义域为 x xk 2 4，kZ ，关于原点对称， 又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是 偶函数 栏目导航栏
9、目导航 栏目导航栏目导航 24 定义域为 x xk 2，kZ ，关于原点对称， ycos 2x tan xsin xtan x， 又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan x f(x)，所以它是奇函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 1函数f(x)Atan(x)周期的求解方法： (1)定义法 (2)公式法：对于函数f(x)Atan(x)的最小正周期T |. (3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数 值重复出现 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法： 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原
10、 点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x) 的关系 提醒：ytan x，xk 2，kZ的对称中心坐标为 k 2 ，0 ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 3判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)tan 2 xtan x tan x1 ； (2)f(x)tan x 4 tan x 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 解 (1)由 xk 2，kZ， tan x1， 得f(x)的定义域为 x xk 2且xk 4，kZ ， 不关于原点对称， 所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 (2)函数定义
11、域为 x xk 4且xk 4，kZ ， 关于原点对称， 又f(x)tan x 4 tan x 4 tan x 4 tan x 4 f(x)， 所以函数f(x)是奇函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 探究问题 1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？ 正切函数单调性的应用 提示：不是正切函数的图象被直线xk 2(kZ)隔开，所以它的 单调区间只在 k 2，k 2 (kZ)内，而不能说它在定义域内是增函 数假设x1 4，x2 5 4，x1x2，但tan x1tan x2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 2如果让你比较tan 4 3 与tan 11 5 的大小，你应该
12、怎样做？ 提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由 正切函数的单调性进行比较 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 【例3】 (1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为 _ (2)求函数y3tan 42x 的单调区间 思路点拨 (1)利用ytan x在 2， 3 2 上为增函数比较大小，注意tan 1tan(1) (2)先将原函数化为y3tan 2x 4 ，再由 2k2x 4 2k， kZ，求出单调减区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 (1)tan 2tan 3tan 4tan 1 (1)ytan x在区间 2， 3 2 上是单调
13、增 函数，且tan 1tan(1)， 又 22341 3 2 ， 所以tan 2tan 3tan 4tan 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 (2)y3tan 42x 3tan 2x 4 ， 由 2k2x 4 2k，kZ得， 8 k 2x 3 8 k 2，kZ， 所以y3tan 42x 的减区间为 8 k 2， 3 8 k 2，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 1将本例(2)中的函数改为“y3tan 1 2x 4 ”，结果又如何？ 解 由k 2 1 2x 4k 2(kZ)， 得2k 2x2k 3 2(kZ)， 函数y3tan 1 2x 4 的单调递增区间是2k 2
14、，2k 3 2(kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？ 解 因为函数ylg x在(0，)上为增函数 所以函数ylgtan x的单调递增区间 就是函数ytan x(tan x0)的递增区间， 即 k， 2k ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1求函数 yAtan(x)(A0，0，且 A， 都是常数)的单调 区间的方法 (1)若 0， 由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数， 故可用“整 体代换”的思想，令 k 2xk 2，kZ，解得 x 的范围即可 (2)若 0，可利用诱导公式先把 yAtan(x)
15、转化为 yAtan( x)Atan(x)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换” 的思想，求得 x 的范围即可 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 2运用正切函数单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内 (2)运用单调性比较大小关系 提醒：yAtan(x)(A0，0)只有增区间；yAtan(x)(A 0，0)只有减区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 1利用单位圆中的正切线作正切函数的图象，作图较为准确，但画 图时较繁，我们常用“三点两线”法作正切曲线的简图 2正切函数与正弦函数、余弦函数的性质比较 性质 正切函数 正弦函数、余弦函数
16、定义域 x x 2k，kZ R 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 值域 R 1,1 最大值为1 最值 无 最小值为1 单调性 仅有单调递增区间，不存 在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区 间均存在 正弦函数是奇函数 奇偶性 奇函数 余弦函数是偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 周期性 T T2 对称性 有无数个对称中心，不存 在对称轴 对称中心和对称轴均有无数 个 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 1思考辨析 (1)正切函数的定义域和值域都是R.( ) (2)正切函数图象是中心
17、对称图形，有无数个对称中心( ) (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk 2， kZ.( ) (4)正切函数是增函数( ) 提示 由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4). 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 2若tan x1，则( ) A2k 4x2k(kZ) Bx(2k1)(kZ) Ck 4xk(kZ) Dk 4xk 2(kZ) D 因为tan x1tan 4. 所以 4kx 2k，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 3求函数ytan(x)， x 4， 3 的值域为_ ( 3，1) ytan(x) tan x， 在
18、 4， 3 上为减函数， 所以值域为( 3，1) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 46 4求函数ytan x 2 3 的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的 对称中心 解 由x 2 3k 2，kZ，得x2k 5 3 ，kZ，函数的定 义域为 x x2k5 3，kZ . T 1 2 2， 函数的最小正周期为2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 47 由k 2 x 2 3k 2，kZ，得2k 3x2k 5 3 ，kZ， 函数的单调递增区间为 2k 3，2k 5 3 ， kZ. 由x 2 3 k 2 ，kZ，得xk2 3 ，kZ， 函数图象的对称中心是 k2 3 ，0 ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 48 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
