1、第五章 三角函数 5.45.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第2 2课时课时 单调性与最值单调性与最值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握ysin x，ycos x的最大值与最小值，并 会求简单三角函数的值域和最值(重点、难点) 2.掌握ysin x，ycos x的单调性，并能利用单 调性比较大小(重点) 3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单 调区间(重点、易混点) 1.通过单调性与最值 的计算，提升数学运 算素养. 2.结合函数图象，培 养直观想
2、象素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 解析式 ysin x ycos x 图象 值域 _ _ 1,1 1,1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 单调性 在 22k， 2 2k，kZ上单 调递增， 在 22k， 3 2 2k，kZ上单 调递减 在2k，2k， kZ上单调递增， 在2k，2k，kZ 上单调递减 最值 x 22k，kZ时，ymax1；x 22k，kZ时，ymin1 x2k，kZ时，ymax 1；x2k，kZ时， ymin1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 思考：ysin x和y
3、cos x在区间(m，n)(其中0mn2)上都是减 函数，你能确定m的最小值、n的最大值吗？ 提示：由正弦函数和余弦函数的单调性可知m 2，n. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 1函数ycos x在区间 2， 2 上是( ) A增函数 B减函数 C先减后增函数 D先增后减函数 C 因为ycos x在区间 2， 2 上先增后减，所以ycos x在区间 2， 2 上先减后增 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 2函数ysin x 4x 5 6 的值 域为_ 1 2，1 因为 4x 5 6 ，所以1 2 sin x1，即所求的值域为 1 2，1 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9
4、 3函数y2sin x取得最大值 时x的取值集合为_ x x2k 2，kZ 当sin x 1时，ymax2(1)3， 此时x2k 2，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 4若cos xm1有意义，则m 的取值范围是_ 0,2 因为1cos x1， 要使 cos xm1 有意义，须有1m 11，所以 0m2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 【例 1】 (1)函数 ycos x 在区间，a上为增函数，则 a 的取值范 围是_ (2)已知函数 f(x) 2sin 42x 1，求函数 f(x)
5、的单调递增区间 思路点拨 (1)确定 a 的范围ycos x 在区间，a上为增函数y cos x 在区间，0上是增函数，在区间0，上是减函数a 的范围 (2)确定增区间令 u 42xy 2sin u 的单调递增区间 正弦函数、余弦函数的单调性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (1)(，0 (1)因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是 减函数，所以只有a0时满足条件，故a(，0 (2)解 令u 42x，函数y 2sin u的单调递增区间为 22k， 22k ，kZ，由 22k 42x 22k，kZ， 得3 8 kx 8k，kZ. 所以函数f(x) 2sin 42x 1的单调递增区
6、间是 3 8 k， 8k ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1求形如yAsin(x)b或形如yAcos(x)b(其中A0， 0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于正弦函数、余弦函数的单 调区间，通过解不等式求得 2具体求解时注意两点：要把x看作一个整体，若0，0时，将“x ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单 调区间；当A0时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反 的单调区间 提醒：复合函数的单调性遵循“同增异减”的规律 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1(1)函数ysin 3x 6 ，x 3， 3 的单调递减区间为_ (2)已知
7、函数ycos 32x ，则它的单调减区间为_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1) 3， 2 9 ， 9， 3 (2) k 6，k 2 3 (kZ) (1)由 2 2k3x 6 3 2 2k(kZ)， 得 9 2k 3 x4 9 2k 3 (kZ) 又x 3， 3 ， 所以函数ysin 3x 6 ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 x 3， 3 的单调递减区间为 3， 2 9 ， 9， 3. (2)ycos 32x cos 2x 3 ， 由2k2x 32k，kZ， 得k 6xk 2 3 ，kZ，单调递减区间是 k 6，k 2 3 (kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导
8、航 18 【例2】 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin 18 与sin 10 ； (2)sin 196 与cos 156 ； (3)cos 23 5 与cos 17 4 . 思路点拨 用诱导公式化简 利用函数的单调 性由自变量的大 小推出对应函数 值的大小 利用三角函数的单调性比较大小 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 解 (1) 2 10 18 2， sin 18 sin 10 . (2)sin 196 sin(180 16 )sin 16 ， cos 156 cos(180 24 )cos 24 sin 66 ， 0 16 66 90 ， sin 16 sin
9、 66 ， 从而sin 16 sin 66 ， 即sin 196 cos 156 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 (3)cos 23 5 cos23 5 cos 43 5 cos 3 5， cos 17 4 cos17 4 cos 4 4 cos 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 0 4 3 5，且ycos x在0，上是减函数， cos3 5cos 4， 即cos 23 5 cos 17 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 三角函数值大小比较的策略 1利用诱导公式，对于正弦函数来说，一般将两个角转化到 2， 2 或 2， 3 2 内；对于余弦函数来说，
10、一般将两个角转化到，0 或0，内. 2不同名的函数化为同名的函数. 3自变量不在同一单调区间化至同一单调区间内，借助正弦、余弦 函数的单调性来比较大小. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2(1)已知，为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 ( ) Asin sin Bcos sin Ccos cos Dcos cos (2)比较下列各组数的大小： cos15 8 ，cos14 9 ；cos 1，sin 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 (1)B ，为锐角三角形的两个内角， 2， 2， 0， 2 ， 2 0， 2 ， 所以cos cos 2 sin . 栏目导航栏目导
11、航 栏目导航栏目导航 25 (2)解 cos15 8 cos 8，cos 14 9 cos4 9 ，因为0 8 4 9 ，而y cos x在0，上单调递减， 所以cos 8cos 4 9 ， 即cos15 8 cos14 9 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 因为cos 1sin 21 ，而0 211 2且ysin x在 0， 2 上单调 递增，所以sin 21 sin 1， 即cos 1sin 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 探究问题 1函数ysin x 4 在x0，上最小值是多少？ 提示：因为x0，所以x 4 4， 5 4 ，由正弦函数图象可知函 数的最小值为
12、2 2 . 2函数yAsin xb，xR的最大值一定是Ab吗？ 提示：不是因为A0时最大值为Ab，若A0时最大值应为A b. 正弦函数、余弦函数的最值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 【例3】 (1)函数ycos2x2sin x2，xR的值域为_ (2)已知函数f(x)asin 2x 3 b(a0)当x 0， 2 时，f(x)的最大值 为 3，最小值是2，求a和b的值 思路点拨 (1)先用平方关系转化，即cos2x1sin2x，再将sin x看 作整体，转化为二次函数的值域问题 (2)先由x 0， 2 求2x 3的取值范围，再求sin 2x 3 的取值范围，最 后求f(x)min
13、，f(x)max，列方程组求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 (1)4,0 ycos2x2sin x2 sin2x2sin x1(sin x1)2. 因为1sin x1，所以4y0， 所以函数ycos2x2sin x2，xR的值域为4,0 (2)解 0 x 2， 32x 3 2 3 ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 3 2 sin 2x 3 1， f(x)maxab 3， f(x)min 3 2 ab2. 由 ab 3， 3 2 ab2， 得 a2， b2 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 1求本例(1)中函数取得最小值时x的取值集合 解 因为ycos2x
14、2sin x2sin2x2sin x1(sin x1)2， 所以当sin x1时，ymin4， 此时x的取值集合为 x x2k 2，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2将本例(1)中函数改为ycos2xsin x，xR结果又如何？ 解 ycos2xsin x1sin2xsin x sin x1 2 25 4. 因为1sin x1， 所以1y5 4， 所以函数ycos2xsin x，xR的值域为 1，5 4 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 三角函数最值问题的常见类型及求解方法： 1yasin2xbsin xca0，利用换元思想设tsin x，转化为二次 函数yat
15、2btc求最值，t的范围需要根据定义域来确定. 2yAsinxb，可先由定义域求得x的范围，然后求得 sinx的范围，最后得最值. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1确定三角函数单调区间的方法有多种，如换元法、列表法、图象 法等，解题时需适当选取，同时要注意，求函数的单调区间必须在这个 函数的定义域内进行 2函数单调性最基本的应用是比较大小与求值域，求三角函数值域 的方法很多，如果函数式中含有多个三角函数式，往往要先将函数式进 行变形. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 1思考辨析 (1)ys
16、in x在(0，)上是增函数( ) (2)cos 1cos 2cos 3.( ) (3)函数y1 2sin x，x 0， 2 的最大值为0.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 提示 (1)错误ysin x在 0， 2 上是增函数，在 2， 上是减函 数 (2)正确ycos x在(0，)上是减函数，且0123，所以cos 1cos 2cos 3. (3)正确函数y1 2sin x在x 0， 2 上为减函数，故当x0时，取 最大值0. 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 2y2cos x2的值域是( ) A2,2 B0,2 C2,0 DR A 因为
17、xR，所以x20，所 以y2cos x22,2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 3sin2 7 _sin 15 8 (填 “”或“”) sin 15 8 sin 2 8 sin 8， 因为 0 8 2 7 2，ysin x 在 0， 2 上是增函数， 所以 sin 8sin 2 7 ， 即 sin2 7 sin 15 8 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 4函数y1sin 2x的单调递增区间 解 求函数y1sin 2x的单调递增区间，转化为求函数ysin 2x 的单调递减区间， 由 22k2x 3 2 2k，kZ， 得 4kx 3 4 k，kZ，即函数的单调递增区间是 4k， 3 4 k (kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
