1、第五章 三角函数 5.55.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.25.5.2 简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.能用二倍角公式导出半角公式，能用两角和与 差的三角函数公式导出积化和差、和差化积公 式体会其中的三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三 角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变 换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证 明和一些简单的应用(难点、易错点) 1.通过公式的推导， 培养逻辑推理素养. 2.借助三角恒等变换 的简单应用，提升数
2、 学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 半角公式 (1)sin 2 1cos 2 ， (2)cos 2 1cos 2 ， (3)tan 2 1cos 1cos ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 (4)tan 2 sin 2 cos 2 sin 2 2cos 2 cos 2 2cos 2 sin 1cos ， tan 2 sin 2 cos 2 sin 2 2sin 2 cos 2 2sin 2 1cos sin . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1已知180 360 ，则cos
3、 2的值等于 ( ) A 1cos 2 B. 1cos 2 C 1cos 2 D. 1cos 2 C 180 360 ，90 2180 ， 又cos2 2 1cos 2 ， cos 1cos 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2已知cos 3 5， 3 2 ，2 ，则sin 2等于( ) A. 5 5 B 5 5 C.4 5 D.2 5 5 A 由题知 2 3 4 ， ，sin 2 0，sin 2 1cos 2 5 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3已知24，且 sin 3 5，cos 0，则tan 2 的值等于_ 3 由sin 3 5，cos 0得cos 4 5
4、， tan 2 sin 2 cos 2 2sin 2cos 2 2cos2 2 sin 1cos 3 5 1 4 5 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)设56，cos 2a，则sin 4等于( ) A. 1a 2 B. 1a 2 C 1a 2 D 1a 2 (2)已知3 2 ，化简： 1sin 1cos 1cos 1sin 1cos 1cos . 化简求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 思路点拨 (1)先确定 4的范围，再由sin 2 4 1cos 2 2 得算式求值
5、 (2)1cos 2cos2 2，1cos 2sin 2 2，去根号，确定 2的范围，化 简 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (1)D 56， 2 5 2 ，3 ， 4 5 4 ，3 2 . 又 cos 2a， sin 4 1cos 2 2 1a 2 . (2)解 原式 sin 2cos 2 2 2 cos 2 2 sin 2 sin 2cos 2 2 2 cos 2 2 sin 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 3 2 ， 2 2 3 4 ，cos 20，sin 20， 原式 sin 2cos 2 2 2 sin 2cos 2 sin 2cos 2 2 2 sin
6、2cos 2 sin 2cos 2 2 sin 2cos 2 2 2cos 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 1化简问题中的“三变” (1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、 凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式 (2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一 为弦或统一为切 (3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升 幂、降幂、配方、开方等 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 2利用半角公式求值的思路 (1)看角：看已知角与待求角的 2 倍关系 (2)明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备 (3)选公
7、式：涉及半角公式的正切值时，常用 tan 2 sin 1cos 1cos sin ， 涉及半角公式的正、 余弦值时， 常利用 sin2 2 1cos 2 ， cos2 2 1cos 2 计算 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (4)下结论：结合(2)求值 提醒：已知cos 的值可求 2的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符 号 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 1已知cos 3 5，且180 270 ，求tan 2. 解 法一：180 270 ，90 2135 ，即 2是第二象限角， tan 20， tan 2 1cos 1cos 1 3 5 1 3 5 2. 栏目导航栏目导航
8、栏目导航栏目导航 18 法二：180 270 ，即是第三象限角， sin 1cos21 9 25 4 5， tan 2 1cos sin 1 3 5 4 5 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 【例2】 求证： cos2 1 tan 2 tan 2 1 4sin 2. 思路点拨 法一：切化弦用二倍角公式由左到右证明； 法二：cos2不变，直接用二倍角正切公式变形 三角恒等式的证明 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 证明 法一：用正弦、余弦公式 左边 cos2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos2 cos2 2sin 2 2 sin 2cos 2 cos2
9、sin 2cos 2 cos2 2sin 2 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 cos2sin 2cos 2 cos sin 2cos 2cos 1 2sin cos 1 4sin 2右边， 原式成立 法二：用正切公式 左边 cos2tan 2 1tan2 2 1 2cos 2 2tan 2 1tan2 2 1 2cos 2 tan 1 2cos sin 1 4sin 2右边， 原式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 三角恒等式证明的常用方法 1执因索果法：证明的形式一般化繁为简； 2左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子； 3拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对
10、性地变形，以消除 它们之间的差异，简言之，即化异求同； 4比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”； 5分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件， 直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2求证： 2sin xcos x sin xcos x1sin xcos x1 1cos x sin x . 证明 左边 2sin xcos x 2sinx 2cos x 22sin 2x 2 2sinx 2cos x 22sin 2x 2 2sin xcos x 4sin2x 2 cos2x 2sin 2x 2 栏目导航栏目导航
11、栏目导航栏目导航 24 sin x 2sin2x 2 cos x 2 sinx 2 2cos2x 2 2sinx 2cos x 2 1cos x sin x 右边 所以原等式成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 【例3】 已知函数f(x) 3cos 2x 3 2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期 (2)求证：当x 4， 4 时，f(x)1 2. 思路点拨 化为fxAsinxb由T 2 |求周期 分析fx在 4， 4 上的 单调性 求最小值证明不等式 恒等变换与三角函数图象性质的综合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 解(1)f(x) 3cos 2x 3 2s
12、in xcos x 3 2 cos 2x3 2sin 2xsin 2x 1 2 sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 ，所以T2 2 . (2)证明：令t2x 3，因为 4x 4， 所以 62x 3 5 6 ， 因为ysin t在 6， 2 上单调递增，在 2， 5 6 上单调递减， 所以f(x)sin 6 1 2，得证 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略：运用三 角函数的和、差、倍角公式将函数关系式化成yasin xbcos xk的 形式，借助辅助角公式化为yAsinxk或yAcosxk的 形式，将x看作一个整体研究函数
13、的性质. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 3已知函数f(x) 3sin 2x 6 2sin2 x 12 (xR) (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 解 (1)f(x) 3sin 2x 6 2sin2 x 12 3sin 2 x 12 1cos 2 x 12 2 3 2 sin 2 x 12 1 2cos 2 x 12 1 2sin 2 x 12 6 1 2sin 2x 3 1，T2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (2)当f(x)取得最大值时， sin 2x 3 1， 有2x 3
14、2k 2，即xk 5 12(kZ)， 所求x的集合为 x xk5 12，kZ . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 探究问题 1用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量？求定义域 时应注意什么？ 提示：通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、 余弦函数有界性的影响 2建立三角函数模型后，通常要将函数解析式化为何种形式？ 提示：化成yAsin(x)b的形式 三角函数在实际问题中的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 【例4】 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截 成长方形，应怎样截取，才能使OAB的周长最大？ 思路点拨 设AOB建立周长l求l的最大值 解 设A
15、OB，OAB的周长为l，则ABRsin ，OBRcos ， lOAABOB RRsin Rcos R(sin cos )R 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2Rsin 4 R. 0 2， 4 4 3 4 ， l的最大值为 2RR( 21)R，此时， 4 2，即 4， 即当 4时，OAB的周长最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1在例4条件下，求长方形面积的最大值 解 如图所示，设AOB 0， 2 ，则AB Rsin ，OARcos . 设矩形ABCD的面积为S，则S2OA AB， S2Rcos Rsin R2 2sin cos R2sin 2. 0， 2 ，2(0，) 栏
16、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 因此，当2 2， 即 4时，SmaxR 2. 这时点A，D到点O的距离为 2 2 R， 矩形ABCD的面积最大值为R2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 2若例4中的木料改为圆心角为 3的扇形，并将此木 料截成矩形，(如图所示)，试求此矩形面积的最大值 解 如图，作POQ的平分线分别交EF，GH于点M，N，连接 OE， 设MOE， 0， 6 ，在 RtMOE中，MERsin ，OMRcos ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 在RtONH中，NH ONtan 6， 得ON 3NH 3Rsin ， 则MNOMONR(cos 3sin )
17、， 设矩形EFGH的面积为S， 则S2ME MN2R2sin (cos 3sin ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 R2(sin 2 3cos 2 3)2R2sin 2 3 3R2， 由 0， 6 ，则 32 3 2 3 ， 所以当2 3 2， 即 12时，Smax(2 3)R 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 应用三角函数解实际问题的方法及注意事项 1方法：解答此类问题，关键是合理引入辅助角，确定各量之间的 关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求 解. 2注意：在求解过程中，要注意三点：充分借助平面几何性质， 寻找数量关系.注意实际问题中变量
18、的范围.重视三角函数有界性的 影响. 提醒：在利用三角变换解决实际问题时，常因忽视角的范围而致误. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想 方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于 在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2研究形如f(x)asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式 化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角 函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一对一 些特殊的系数a、b应熟练掌握例如sin x cos x 2sin x 4 ；sin x 3cos x
19、2sin x 3 等. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 1思考辨析 (1)cos 2 1cos 2 .( ) (2)存在R，使得cos 2 1 2cos .( ) (3)对于任意R，sin 2 1 2sin 都不成立( ) (4)若是第一象限角，则tan 2 1cos 1cos .( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 提示 (1).只有当 22k 2 22k(kZ)，即 4k4k(kZ)时，cos 2 1cos 2 . (2).当cos 31时，上式成立，但一般情况下不成立 (3).当2k
20、(kZ)时，上式成立，但一般情况下不成立 (4).若是第一象限角，则 2是第一、三象限角，此时tan 2 1cos 1cos 成立 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 2若f(x)cos xsin x在0，a 是减函数，则a的最大值是( ) A. 4 B. 2 C.3 4 D C f(x)cos xsin x 2cosx 4.当x0，a时，x 4 4，a 4，所以结合题意可知，a 4， 即a3 4 ，故所求a的最大值是3 4 .故 选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 3函数f(x)sin2x的最小正周期 为_ 因为f(x)sin2x1c
21、os 2x 2 ， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 46 4北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基础设计的弦图是由四个全等直角三 角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)如果小 正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，求cos 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 47 解 由题意，5cos 5sin 1， 0， 4 ， 所以cos sin 1 5. 由(cos sin )2(cos sin )22， 所以cos sin 7 5， 所以cos 2cos2sin2 (cos sin )(cos sin ) 7 25. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 48 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
