1、第五章 三角函数 5.45.4 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 5.4.25.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质 第第1 1课时课时 周期性与奇偶性周期性与奇偶性 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定 义 2会求函数yAsin(x)及yAcos(x )的周期(重点) 3掌握函数ysin x，ycos x的奇偶性，会 判断简单三角函数的奇偶性(重点、易混点) 1.通过周期性的研究，培 养逻辑推理素养 2借助奇偶性及图象的关 系，提升直观想象素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自
2、 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个 ，使得当 x 取 定义域内的每一个值时，都有 ，那么这个函数的周期为 . (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小 的 ，那么这个最小 就叫做 f(x)的 非零常数 T f(xT)f(x) T 正数 正数 最小正周期 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 ysin x ycos x 周期 2k(kZ 且 k0) 2k(kZ 且 k0) 最小正周期 2 _ 奇偶性 _ _ 2 奇函数
3、 偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1函数 y2sin 2x 2 是( ) A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 2 的奇函数 D周期为 2 的偶函数 B y2sin 2x 2 2cos 2x， 它是周期为的偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2函数f(x) 2sin 2x的奇偶性 为( ) A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数 A f(x) 2sin 2x的定义域为 R，f(x) 2sin 2(x) 2sin 2xf(x)，所以f(x)是奇函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3函数f(x) 3sin x 2 4 ， xR的最小正周
4、期为_ 4 由已知得f(x)的最小正周期T 2 2 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 4若函数yf(x)是以2为周期的函 数，且f(5)6，则f(1)_. 6 由已知得f(x2)f(x)， 所以f(1)f(3)f(5)6. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 【例1】 求下列函数的周期： (1)ysin 2x 4 ； (2)y|sin x|. 思路点拨 (1)法一：寻找非零常数T，使f(xT)f(x)恒成立 法二：利用yAsin(x)的周期公式计算 (2)作函数图象，观察出周期 三角函数的周期
5、问题及简单应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 解 (1)法一：(定义法)ysin 2x 4 sin 2x 42 sin 2x 4 ， 所以周期为. 法二：(公式法)ysin 2x 4 中2，T2 2 2 . (2)作图如下： 观察图象可知周期为. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 求三角函数周期的方法： (1)定义法：即利用周期函数的定义求解 (2)公式法：对形如yAsin(x)或yAcos(x)(A，是常 数，A0，0)的函数，T 2 |. (3)图象法：即通过观察函数图象求其周期 提醒：y|Asin(x)|(A0，0)的最小正周期T |. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目
6、导航 14 1利用周期函数的定义求下列函数的周期 (1)ycos 2x，xR； (2)ysin 1 3x 4 ，xR. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 解 (1)因为 cos 2(x)cos(2x2)cos 2x，由周期函数的定义 知，ycos 2x 的周期为 . (2)因为 sin 1 3x6 4 sin 1 3x2 4 sin 1 3x 4 ，由周期函数的 定义知，ysin 1 3x 4 的周期为 6. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 【例2】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)sin 1 2x 2 ； (2)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)； (3
7、)f(x)1sin xcos 2x 1sin x . 三角函数奇偶性的判断 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 思路点拨 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 解 (1)显然xR，f(x)cos1 2x， f(x)cos 1 2x cos 1 2xf(x)， f(x)是偶函数 (2)由 1sin x0， 1sin x0， 得1sin x1， 解得定义域为 x xR且xk 2，kZ ， f(x)的定义域关于原点对称 又f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 f(x)lg1sin(x)lg1sin(x) lg(1sin x)lg(1s
8、in x)f(x)， f(x)为奇函数 (3)1sin x0，sin x1， xR且x2k 2，kZ. 定义域不关于原点对称， 该函数是非奇非偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 1判断函数奇偶性应把握好的两个方面： 一看函数的定义域是否关于原点对称； 二看f(x)与f(x)的关系 2对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化 简后再判断 提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 2判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)cos 3 22x x 2sin x； (2)f(x) 12cos x 2cos x1. 栏目导航栏目导
9、航 栏目导航栏目导航 22 解 (1)f(x)sin 2xx2sin x， 又xR，f(x)sin(2x)(x)2sin(x) sin 2xx2sin xf(x)，f(x)是奇函数 (2)由 12cos x0， 2cos x10， 得cos x1 2， f(x)0，x2k 3，kZ， f(x)既是奇函数又是偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 探究问题 1试举例说明哪些三角函数具有奇偶性？ 提示：奇函数有y2sin x，ysin 2x，y5sin 2x，ysin xcos x 等偶函数有ycos 2x1，y3cos 5x，ysin x sin 2x等 2若函数yf(x)是周期T2的
10、周期函数，也是奇函数，则f(2 018)的 值是多少？ 提示：f(2 018)f(01 0092)f(0)0. 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是 ( ) Aycos|2x| By|sin 2x| Cysin 22x Dycos 3 2 2x (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正 周期为，且当x 0， 2 时，f(x)sin x，则f 5 3 等于( ) A1 2 B. 1 2 C 3 2 D. 3 2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 思路点拨
11、(1)先作出选项A，B中函数的图象，化简选项C、D中函 数的解析式，再判断奇偶性、周期性 (2)先依据f(x)f(x)化简f 5 3 ；再依据f(x)是偶函数和x 0， 2 ，f(x) sin x求值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 (1)D (2)D (1)ycos|2x|是偶函数，y|sin 2x|是偶函数，y sin 22x cos 2x是偶函数，ycos 3 2 2x sin 2x是奇函数，根据公 式得其最小正周期T. (2)f 5 3 f 5 3 f 2 3 f 2 3 f 3 f 3 sin 3 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 1若本例(2)中的“偶
12、函数”改为“奇函数”，“”改为“11 12 ”， 其他条件不变，结果如何？ 解 f 5 3 f 5 3 11 12 2 f 6 f 6 sin 6 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 2若本例(2)中的周期“”改为“ 2”，其他条件不变，求f 19 6 . 解 f(x)的周期为 2，且为偶函数，f 19 6 f 3 6 f 6 f 6 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 1三角函数周期性与奇偶性的解题策略 探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为yAsin(x )或yAcos(x)的形式，再利用公式求解 2与三角函数奇偶性有关的结论 (1)要使yAsi
13、n(x)(A0)为奇函数，则k(kZ)； (2)要使yAsin(x)(A0)为偶函数，则k 2(kZ)； (3)要使yAcos(x)(A0)为奇函数，则k 2(kZ)； (4)要使yAcos(x)(A0)为偶函数，则k(kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 1“f(xT)f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个 值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的增加 值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次 2周期函数定义中的“f(xT)f(x)”是对定义域中的每一个x值来 说的，只有个别的x值满足f(xT)f(x)，不能说T是yf(x)的周期 3在数轴上，定义域
14、关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个必要 条件因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于原点对 称若是，再判断f(x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既不是奇函 数，也不是偶函数. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 1思考辨析 (1)若sin 2 3 6 sin 6，则 2 3 是函数ysin x的一个周期( ) (2)所有的周期函数都有最小正周期( ) (3)函数y sin x是奇函数( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 提示 (1).因为对任意x，sin 2 3 x 与sin x
15、并不一定相等 (2).不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)5是周期函数， 就不存在最小正周期 (3).函数y sin x的定义域为x|2kx2k，kZ，不关于 原点对称，故非奇非偶 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 2如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其 中不是周期函数的图象的是( ) D 观察 图象易知，只 有D选项中的图 象不是周期函 数的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 3若函数yf(x)是定义在R上 的周期为3的奇函数且f(1)3，则f(5) _. 3 由已知得f(x3)f(x)， f(x)f(x)，所以f(5)f(2)f(1) f(1)3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 4判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)2cos 3x； (2)f(x)xsin(x) 解 (1)f(x)2cos 3(x) 2cos 3xf(x)，xR， 所以f(x)2cos 3x为偶函数 (2)f(x)xsin(x)xsin x，xR， 所以f(x)xsin(x)xsin xf(x)， 故函数f(x)为偶函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
