1、第五章 三角函数 5.65.6 函数函数yAsin(x) 5.6.15.6.1 匀速圆周运动的数学模型匀速圆周运动的数学模型 5.6.25.6.2 函数函数yAsin(x)的图象的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解参数A，对函数yAsin(x)的 图象的影响；能够将ysin x的图象进行变换 得到yAsin(x)，xR的图象(难点) 2.能根据yAsin(x)的部分图象，确定其 解析式(重点) 3.求函数解析式时值的确定(易错点) 1.通过函数图象的变换， 培养直观想象素养. 2.借助函数的图象求解析 式，提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航
2、 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1对ysin(x)，xR的图象的影响 左 右 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2(0)对ysin(x)的图象的影响 3A(A0)对yAsin(x)的图象的影响 缩短 伸长 伸长 缩短 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1把函数ysin x的图象向左平移 3个单位长度 后所得图象的解析式为( ) Aysin x 3 Bysin x 3 Cysin x 3 Dysin x 3 D 根据图象 变换的方法，y sin x的图象向左平 移 3个单位长度后 得到ysin x 3 的 图象
3、 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2为了得到函数y4sin 1 2x 6 ，xR的图象， 只需将函数y4sin x 6 ，xR的图象上的所有点 ( ) A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B横坐标缩短到原来的1 2倍，纵坐标不变 C纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D纵坐标缩短到原来的1 2倍，横坐标不变 A 函数y 4sin x 6 的图象上 各点横坐标伸长为 原来的2倍，纵坐标 不变，得到y 4sin 1 2x 6 的图 象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3函数yAsin(x)1(A 0，0)的最大值为5，则A _. 4 由已知得A15，故A 4. 栏目导航栏目导航
4、栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)将函数y 2cos 2x 3 的图象向左平移 3个单位长度， 再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为_ (2)将ysin x的图象怎样变换可得到函数y2sin2x 41的图象？ 思路点拨 (1)依据左加右减；上加下减的规则写出解析式 (2)法一：ysin x纵坐标伸缩横坐标伸缩和平移向上平移 法二：左右平移横坐标伸缩纵坐标伸缩上下平移 三角函数图象之间的变换 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (1)y 2cos 2x3 y 2cos 2x 3 的图象向左平移
5、3个单位长 度， 得y 2cos 2 x 3 3 2cos(2x) 2cos 2x， 再向下平移3个单位长度得y 2cos 2x3的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (2)解 法一：(先伸缩法)把ysin x的图象上所有点的纵坐标伸 长到原来的2倍，得到y2sin x的图象；将所得图象上所有点的横坐标 缩短到原来的1 2倍，得y2sin 2x的图象；将所得图象沿x轴向左平移 8 个单位，得y2sin 2 x 8 的图象； 将所得图象沿y轴向上平移1个单位， 得y2sin 2x 4 1的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 法二：(先平移法)将ysin x的图象沿x轴向左
6、平移 4个单位，得y sin x 4 的图象；将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍，得y sin 2x 4 的图象；把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来2倍，得 到y2sin 2x 4 的图象；将所得图象沿y轴向上平移1个单位，得y 2sin 2x 4 1的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin(x)(A0，0) 的图象，其变化途径有两条： (1)ysin x 相位变换 ysin(x) 周期变换 ysin(x) 振幅变换 yAsin(x) (2)ysin x 周期变换 ysin x 相位变换 ysin x sin(x ) 振
7、幅变换 yAsin(x) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 提醒：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是 先相位变换后周期变换，平移|个单位(2)是先周期变换后相位变换， 平移| 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 1(1)要得到ycos 2x 4 的图象，只要将ysin 2x的图象( ) A向左平移 8个单位 B向右平移 8个单位 C向左平移 4个单位 D向右平移 4个单位 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 (2)把函数yf(x)的图象上各点向右平移 6个单位，再把横坐标伸长到 原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的
8、2 3倍，所得图象的解析式是y 2sin 1 2x 3 ，则f(x)的解析式是( ) Af(x)3cos x Bf(x)3sin x Cf(x)3cos x3 Df(x)sin 3x 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 (1)A (2)A (1)因为ycos 2x 4 sin 2x 4 2 sin 2x 4 sin 2 x 8 ， 所以将ysin 2x的图象向左平移 8个单位， 得到ycos 2x 4 的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 (2)y2sin 1 2x 3 纵坐标伸长 到原来的3 2倍 y3sin 1 2x 3 横坐标缩短 到原来的1 2倍 y3sin x 3
9、向左平移 6个 单位 y3sin x 6 3 3sin x 2 3cos x 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例2】 (1)已知函数f(x)Acos(x)B A0，0，| 2 的 部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) Ay2cos x 2 4 4 By2cos x 2 4 4 Cy4cos x 2 4 2 Dy4cos x 2 4 2 已知函数图象求解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 (2)函数f(x)Asin(x)中A0，0，| 2，且图象如图所示， 求其解析式 思路点拨 由最大(小)值求A和B，由周期求，由特殊点坐标解方 程求. 栏目导航栏目导航 栏目
10、导航栏目导航 22 (1)A 由函数f(x)的最大值和最小值得 AB6，AB2，所以A2，B4， 函数f(x)的周期为 2 2 44，又0， 所以1 2，又因为点 2，6 在函数f(x)的图象上 所以62cos 1 2 2 4，所以cos 4 1， 所以 42k，kZ，所以2k 4，kZ，又| 2 所以 4，所以f(x)2cos 1 2x 4 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 (2)解 法一：(五点作图原理法)由图象知，振幅A3，T5 6 6 ，所以2，又由点 6，0 ，根据五点作图原理(可判为“五点 法”中的第一点) 620得 3， 所以f(x)3sin 2x 3 . 栏目导航
11、栏目导航 栏目导航栏目导航 24 法二：(方程法)由图象知，振幅A3，T5 6 6 ，所以 2， 又图象过点 6，0 ， 所以f 6 3sin 2 6 0， 所以sin 3 0， 3k(kZ)，又因为| 2，所以k0， 3，所以f(x)3sin 2x 3 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 法三：(变换法)由图象知，振幅A3，T5 6 6 ，所以 2，且f(x)Asin(x)是由y3sin 2x向左平移 6个单位而得到的，解析 式为f(x)3sin 2 x 6 3sin 2x 3 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 确定函数yAsinx的解析式的关键是的确定，常用方法有：
12、1代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，已知或代入图象 与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 2五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 ，0 作为突破口.“五点”的x的值具体如下：,“第一点”即 图象上升时与x轴的交点为x0；,“第二点”即图象的“峰点” 为x 2；,“第三点”即图象下降时与x轴的交点为x ；,“第四点”即图象的“谷点”为x3 2 ；,“第五点”为x 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 2已知函数f(x)Asin(x)，xR 其中A0，0，0 2 的 图象与x轴的交点中，相邻两个交点的
13、距离为 2，且图象上一个最低点为 M 2 3 ，2 ，求f(x)的解析式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 解 由最低点M 2 3 ，2 ，得A2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为 2，故 T 2 2，即T， 2 T 2 2. 由点M 2 3 ，2 在图象上得 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 2sin 22 3 2，即sin 4 3 1，故4 3 2k 2 (kZ)， 2k11 6 (kZ)又 0， 2 ， 6.故f(x)2sin 2x 6 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 探究问题 1如何求函数yAsin(x)与yAcos(x)的对称轴方程？ 提示：与正弦曲线、
14、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和y Acos(x)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x轴 三角函数图象与性质的综合应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 函数yAsin(x)对称轴方程的求法：令sin(x) 1，得x k 2(kZ)，则x 2k12 2 (kZ)，所以函数yAsin(x)的 图象的对称轴方程为x2k12 2 (kZ)； 函数yAcos(x)对称轴方程的求法：令cos(x) 1，得x k(kZ)，则xk (kZ)，所以函数yAcos(x)的图象的对 称轴方程为xk (kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 2如何求函数yAsin(x)与yAcos(x
15、)的对称中心？ 提示：与正弦曲线、余弦曲线一样，函数yAsin(x)和y Acos(x)图象的对称中心即函数图象与x轴的交点 函数yAsin(x)对称中心的求法：令sin(x)0，得x k(kZ)，则xk (kZ)，所以函数yAsin(x)的图象关于点 k ，0 (kZ)成中心对称； 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 函数yAcos(x)对称中心的求法：令cos(x)0，得x k 2(kZ)，则x 2k12 2 (kZ)，所以函数yAcos(x)的图 象关于点 2k12 2 ，0 (kZ)成中心对称 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 【例3】 (1)已知函数f(x)sin x
16、3 (0)，若f 6 f 3 ，且f(x)在 区间 6， 3 上有最小值，无最大值，则( ) A.2 3 B. 14 3 C.26 3 D.38 3 (2)已知函数f(x)sin(x)(0,0)是R上的偶函数，其图象 关于点M 3 4 ，0 对称，且在区间 0， 2 上是单调函数，求和的值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 思路点拨 (1)先由题目条件分析函数f(x)图象的对称性，何时取到 最小值，再列方程求的值 (2)先由奇偶性求，再由图象的对称性和单调性求. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 (1)B 因为f 6 f 3 ，所以直线x 6 3 2 4是函数f(x)图象的一条
17、对 称轴， 又因为f(x)在区间 6， 3 上有最小值，无最大值， 所以当x 4时，f(x)取得最小值 所以 4 32k 2，kZ，解得8k 10 3 ，(kZ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 又因为T2 3 6 6，所以12，又因为0， 所以k1，即810 3 14 3 . (2)解 由f(x)是偶函数，得f(x)f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴 对称， f(x)在x0时取得最值，即sin 1或1. 依题设0，解得 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 由f(x)的图象关于点M对称，可知 sin 3 4 2 0，即3 4 2k，解得 4k 3 2 3，kZ. 又f
18、(x)在 0， 2 上是单调函数， 所以T，即2 . 2，又0， k1时，2 3；k2时，2. 故 2，2或 2 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 1将本例(2)中“偶”改为“奇”，“其图象关于点M 3 4 ，0 对称， 且在区间 0， 2 上是单调函数”改为“在区间 3 2 ， 2 上为增函数”，试 求的最大值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 解 因为f(x)是奇函数，所以f(0)sin 0，又0，所以0. 因为f(x)sin x在 2， 2 上是增函数 所以 3 2 ， 2 2， 2 ， 于是 0， 3 2 2 2 2， ，解得01 3， 所以的最大值为1 3. 栏
19、目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 2本例(2)中增加条件“1”，求函数yf2(x)sin 2x， x 8， 8 的最大值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 43 解 由条件知f(x)sin 2x 2 cos 2x， 由x 8， 8 得2x 4， 4 ， sin 2x 2 2 ， 2 2 yf2(x)sin 2xcos22xsin 2x1sin22xsin 2x(sin 2x1 2) 25 4 所以当sin 2x1 2时ymax 5 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 44 1正弦余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数yAsin(x)和余弦型函数yAcos(x)不一定具备 奇偶性对
20、于函数yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数，当 k 2(kZ)时为偶函数；对于函数yAcos(x)，当k(kZ)时为 偶函数，当k 2(kZ)时为奇函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 45 2与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 (2)确定函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用 “换元”法整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即 通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用 诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 46 1准确理解“图象变换法” (1
21、)由ysin x到ysin (x)的图象变换称为相位变换，由ysin x到 ysin x图象的变换称为周期变换；由ysin x到yAsin x图象的变换称 为振幅变换 (2)由ysin x的图象，通过变换可得到函数yAsin (x)的图象， 其变换途径有两条，注意两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有 所不同：是先相位变换后周期变换，平移|个单位是先周期变换 后相位变换，平移| 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 47 (3)类似地yAcos (x)(A0，0)的图象也可以由ycos x的图 象变换得到 2由yAsin (x)的图象性质或部分图象确定解
22、析式的关键在于 确定参数A，.其基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法 求解. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 48 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 49 1思考辨析 (1)ysin 3x的图象向左平移 4个单位所得图象的解析式是y sin 3x 4 .( ) (2)ysin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象的解 析式是ysin 2x.( ) (3)ysin x的图象上所有点的纵坐标都变为原来的2倍所得图象的解 析式是y1 2sin x( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 50 提示 (1)错误ysin 3x的图象向
23、左平移 4个单位得ysin 3 x 4 sin 3x3 4 . (2)错误ysin 2x应改为ysin1 2x. (3)错误y1 2sin x应改为y2sin x. 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 51 2函数ycos x图象上各点的 纵坐标不变，把横坐标变为原来的2 倍，得到图象的解析式为ycos x，则的值为_ 1 2 函数ycos x纵坐标不变，横坐标变为 原来的2倍 ycos1 2x. 所以1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 52 3由y3sin x的图象变换到y3sin 1 2x 3 的图象主要有两个过程： 先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者
24、需向左平移_个单位，后者 需向左平移_个单位 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 53 3 2 3 y3sin x 向左平移 3 个单位 y3sin x 3 横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变 y3sin 1 2x 3 ， y3sin x 横坐标变为原来的 2倍，纵坐标不变 y3sin 1 2x 向左平移2 3 个单位 y3sin 1 2 x2 3 3sin 1 2x 3 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 54 4已知函数f(x)3sin x 2 6 3(xR)，用图象变换法画出它在一个 周期内的闭区间上的图象 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 55 解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 56 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
