1、第五章 三角函数 5.55.5 三角恒等变换三角恒等变换 5.5.15.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第第2 2课时课时 两角和与差的正弦、余弦公式两角和与差的正弦、余弦公式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式 及两角和与差的正弦公式 2会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三 角函数的求值、化简、计算等 3熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法. 1.借助公式的推导 过程，培养数学运 算素养 2. 通过公式的灵活 运
2、用，提升逻辑推 理素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余 弦公式 C() cos() ，R 两角和的余 弦公式 C() cos() ，R cos cos sin sin cos cos sin sin 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 2.两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正弦 S() sin() ，R 两角差的正弦 S() sin() ，R 3.重要结论辅助角公式 yasin xbcos x_sin(x
3、)(a，b 不同时为 0)，其中 cos _，sin _. sin cos cos sin sin cos cos sin a2b2 a a2b2 b a2b2 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1cos 57 cos 3 sin 57 sin 3 的值为( ) A0 B1 2 C 3 2 Dcos 54 B 原式cos(57 3 )cos 60 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2sin 245 sin 125 sin 155 sin 35 的值是( ) A 3 2 B1 2 C.1 2 D. 3 2 B sin 245 sin(155 90 ) cos 155 ， s
4、in 125 sin(90 35 )cos 35 ， 原式cos 155 cos 35 sin 155 sin 35 cos(155 35 )cos 120 1 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3若cos 3 5，是第三象限 的角，则sin 4 _. 2 10 cos 3 5， 是第三 象限的角， sin 1cos24 5， sin 4 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 5 2 2 3 5 2 10 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 (1)cos 70 sin 50
5、cos 200 sin 40 的值为( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 (2)若是第二象限角且sin 5 13，则cos(60 )_. (3)求值：(tan 10 3)cos 10 sin 50 . 给角求值问题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 (1)D (2)125 3 26 (1)cos 200 cos(180 20 )cos 20 sin 70 ，sin 40 cos 50 ， 原式cos 70 sin 50 (sin 70 )cos 50 sin(50 70 )sin 120 3 2 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 (2)是第二象限角且si
6、n 5 13， cos 1sin212 13， cos(60 )1 2cos 3 2 sin 1 2 12 13 3 2 5 13 125 3 26 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (3)解 原式(tan 10 tan 60 )cos 10 sin 50 sin 10 cos 10 sin 60 cos 60 cos 10 sin 50 sin50 cos 10 cos 60 cos 10 sin 50 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部 的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则
7、整体变形，否则进行各 局部的变形 (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相 消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用 公式 提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构 是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 1化简求值： (1)sin 50 sin 20 cos 30 cos 20 ； (2)sin(75 )cos(45 ) 3cos(15 ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 解 (1)原式sin20 30 sin 20 cos 30 cos 20 sin 20 cos 30 co
8、s 20 sin 30 sin 20 cos 30 cos 20 cos 20 sin 30 cos 20 sin 30 1 2. (2)设15 ， 则原式sin(60 )cos(30 ) 3cos 1 2sin 3 2 cos 3 2 cos 1 2sin 3cos 0. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 【例2】 (1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且 分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为4 5，点Q的横坐标为 5 13， 则cosPOQ_. (2)已知cos 5 5 ，sin() 10 10 ，且， 0， 2 .求：cos(2 )的值；的值 给值求值、求角问
9、题 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 思路点拨 (1)先由任意角三角函数的定义求xOP和xOQ的正 弦、余弦值，再依据POQxOPxOQ及两角和的余弦公式求 值 (2)先求sin ，cos()，依据2()求cos(2)依据 ()求cos 再求. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 (1)56 65 由题意可得，cosxOP 4 5， 所以sinxOP3 5. 再根据cosxOQ 5 13， 可得sinxOQ12 13， 所以cosPOQcos(xOPxOQ)cosxOP cosxOQ sinxOP sinxOQ4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 栏目导航栏目导航
10、栏目导航栏目导航 20 (2)解 因为， 0， 2 ， 所以 2， 2 ，又sin() 10 10 0， 所以0 2， 所以sin 1cos22 5 5 ， cos() 1sin23 10 10 ， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 cos(2)cos() cos cos()sin sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 10 . cos cos() cos cos()sin sin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 ， 又因为 0， 2 ，所以 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，
11、一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当 地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角 为同角，具体做法是： 1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. 2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 2已知锐角，满足cos 2 5 5 ，sin()3 5，求sin 的值 解 因为，是锐角，即0 2，0 2， 所以 2 2， 因为sin()3 50， 所以cos()4 5， 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 因为cos 2 5 5 ，所以sin 5 5 ， 所以sin sin()sin cos()c
12、os sin() 5 5 4 5 2 5 5 3 5 2 5 5 . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 探究问题 1能否将函数ysin xcos x(xR)化为yAsin(x)的形式 | 0， 2 ？ 提示：能ysin xcos x 2sin x 4 . 辅助角公式的应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 2如何推导asin xbcos x a2b2sin(x) tan b a 公式 提示：asin xbcos x a2b2 a a2b2sin x b a2b2cos x ， 令cos a a2b2，sin b a2b2，则 asin xbcos x a2b2(sin xcos
13、 cos xsin ) a2b2sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由 tan b a确定，或由sin b a2b2和cos a a2b2共同确定) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 【例3】 (1)sin 12 3cos 12_. (2)已知f(x) 3sin xcos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区 间 思路点拨 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C()、C()、S( )、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 (1) 2 原式2 1 2sin 12 3 2 cos 12 . 法一：(化正弦)原式 2
14、cos 3sin 12sin 3cos 12 2 sin 12cos 3cos 12sin 3 2sin 12 3 2sin 4 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 法二：(化余弦)原式 2 sin 6sin 12cos 6cos 12 2 cos 6cos 12sin 6sin 12 2cos 6 12 2cos 4 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 (2)解 f(x) 3sin xcos x 2 sin x 3 2 cos x 1 2 2 sin xcos 6cos xsin 6 2sin x 6 ， T2 2，值域2,2 由 22kx 6 22k，得递增区间 3
15、2k， 2 3 2k ， kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 1若将例3(2)中函数改为f(x)sin x 3cos x，其他条件不变如何 解答？ 解 f(x)sin x 3cos x2 3 2 cos x1 2sin x2cos x 6 ， T2，值域为2,2， 由2kx 62k，得递增区间 7 6 2k， 62k ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2若将例3(2)中函数改为f(x)msin xmcos x，其中m0，其他条 件不变，应如何解答？ 解 f(x)msin xmcos x 2msin x 4 ， T2，值域为 2m， 2m， 由 22kx 4 22
16、k，得递增区间 3 4 2k， 42k ，kZ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 33 辅助角公式及其运用 1公式形式：公式asin bcos a2b2sin或asin bcos a2b2cos将形如asin bcos a，b不同时为零的三角函数 式收缩为同一个角的一种三角函数式. 2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变 形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质. 提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 34 1两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成 两角和差公式的特例，例如：sin 3 2 sin3
17、2 cos cos3 2 sin cos . 2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin cos()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采 用整体思想，作如下变形： sin cos()cos sin()sin()sin()sin . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有 效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快 捷求解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 36 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 37 1思考辨析 (1)两角和
18、与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的( ) (2)存在，R，使得sin()sin sin 成立( ) (3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立( ) (4)sin 54 cos 24 sin 36 sin 24 sin 30 .( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 38 提示 (1)正确根据公式的推导过程可得 (2)正确当45 ，0 时，sin()sin sin . (3)错误当30 ，30 时，sin()sin sin 成立 (4)正确因为sin 54 cos 24 sin 36 sin 24 sin 54 cos 24 cos 54 sin 24 sin(54 24 )
19、 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 39 2化简 2cos x 6sin x等于 ( ) A2 2sin 6x B2 2cos 6x C2 2sin 3x D2 2cos 3x D 2cos x6sin x22 1 2cos x 3 2 sin x 2 2 cos 3cos xsin 3sin x 2 2cos 3x . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 40 3 cos cos()sin sin() _. cos cos cos()sin sin()cos()cos . 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 41 4已知，均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ，求. 解 ，均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ， sin 3 10 10 ，cos 2 5 5 . sin sin ， 20， sin()sin cos cos sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 ， 4. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 42 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
