2021年人教版高中数学必修第一册课件:第2章2.2《第1课时基本不等式》(含答案)

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1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.22.2 基本不等式基本不等式 第第1 1课时课时 基本不等式基本不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程(重 点) 2能利用基本不等式证明简单的不 等式及比较代数式的大小. 1.通过不等式的证明,培养逻辑推 理素养 2借助基本不等式形式求简单的最 值问题,提升数学运算素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1重要不等式 a,bR,有 a2b2 ,当且仅当 时,等号成立 2基本不等式 (1)有关概念

2、:当 a,b 均为正数时,把ab 2 叫做正数 a,b 的算术平均 数,把 ab叫做正数 a,b 的几何平均数 (2)不等式:当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们 的算术平均数,即 abab 2 ,当且仅当 时,等号成立 2ab ab ab 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 1不等式a212a中等号成立 的条件是( ) Aa 1 Ba1 Ca1 Da0 B 当a212a,即(a1)20 即a1时,“”成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 2已知a,b(0,1),且ab, 下列各式中最大的是( ) Aa2b2 B2 ab C2ab Dab D a,b(0,1)

3、,a2a, b2b, a2b2ab,又a2b2 2ab(ab), 2aba2b2ab. 又ab2 ab(ab),a b最大 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 3已知ab1,a0,b0,则a b的最小值为( ) A1 B2 C4 D8 B a0,b0,a b2 ab2,当且仅当ab1时取 等号,故ab的最小值为2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 4当a,bR时,下列不等关系 成立的是_ ab 2 ab;ab2 ab; a2b22ab;a2b22ab. 根据x 2y2 2 xy,ab 2 ab成立的条件判断,知 错,只有正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探

4、 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例 1】 给出下面四个推导过程: a、b 为正实数,b a a b2 b a a b2; aR,a0,4 aa2 4 a a4; x、yR,xy0,x y y x x y y x 2 x y y x 2. 其中正确的推导为( ) A B C D 对基本不等式的理解 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 B a、b为正实数,b a、 a b为正实数,符合基本不等式的条 件,故的推导正确 aR,a0,不符合基本不等式的条件, 4 aa2 4 a a4是错误的 由xy0,得x y、 y x均为负数,但在推导过程中将整体 x y

5、 y x提出负号 后, x y 、 y x 均变为正数,符合均值不等式的条件,故正确 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 1基本不等式 abab 2 (a0,b0)反映了两个正数的和与积之 间的关系 2对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条 件是 a、b 都是正数(2)“当且仅当”的含义:当 ab 时, abab 2 的 等号成立,即 abab 2 ab;仅当 ab 时,ab 2 ab的等号成立, 即ab 2 abab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 1下列不等式的推导过程正确的是_ 若x1,则x1 x2 x 1 x2. 若x0,则x4 x x 4 x

6、2x 4 x 4. 若a,bR,则b a a b2 b a a b2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 中忽视了基本不等式等号成立的条件,当x1 x时即x1时, x1 x2等号成立,因为x1,所以x 1 x2,中忽视了利用基本不等 式时每一项必须为正数这一条件 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 15 【例 2】 (1)已知 a,bR ,则下列各式中不一定成立的是( ) Aab2 ab B.b a a b2 C.a 2b2 ab 2 ab D. 2ab ab ab (2)已知 a,b,c 是两两不等的实数,则 pa2b2c2与 qabbc ca 的大小关系是_ 利用基本不等式比较大小

7、 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 16 (1)D (2)a2b2c2abbcac (1)由ab 2 ab得ab2 ab, A成立; b a a b2 b a a b2,B成立; a 2b2 ab 2ab ab2 ab,C成立; 2ab ab 2ab 2 ab ab,D不一定成立 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 17 (2)a、b、c互不相等, a2b22ab,b2c22ac,a2c22ac. 2(a2b2c2)2(abbcac) 即a2b2c2abbcac. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 1在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条 件 2运用基本不等式比较大小

8、时应注意成立的条件,即ab2 ab成 立的条件是a0,b0,等号成立的条件是ab;a2b22ab成立的条件 是a,bR,等号成立的条件是ab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 2如果0ab1,P ab 2 ,Q ab,M ab,那么 P,Q,M的大小顺序是( ) APQM BMPQ CQMP DMQP B 显然ab 2 ab,又因为 ab 2 ab,(由abab 2 4 也 就是ab 4 1可得),所以 ab ab 2 ab.故MPQ. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 【例3】 已知a,b,c是互不相等的正数,且abc1,求证:1 a 1 b 1 c9. 思路点拨 看到1

9、a 1 b 1 c9,想到将“1”换成“abc”,裂项 构造基本不等式的形式,用基本不等式证明 利用基本不等式证明不等式 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 证明 a,b,cR,且abc1, 1 a 1 b 1 c abc a abc b abc c 3b a c a a b c b a c b c 3 b a a b c a a c c b b c 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 32 b a a b2 c a a c2 c b b c 3222 9. 当且仅当abc时取等号, 1 a 1 b 1 c9. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 本例条件不变,求证: 1 a

10、1 1 b1 1 c1 8. 证明 a,b,cR, 且abc1, 1 a1 bc a 0,1 b1 ac b 0,1 c1 ab c 0, 1 a1 1 b1 1 c1 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 24 bc a ac b ab c 2 bc 2 ac 2 ab abc 8, 当且仅当abc时取等号, 1 a1 1 b1 1 c1 8. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 1条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑, 比如本题通过“1”的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用 基本不等式创造条件,另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系 2先局部运用基本不等式

11、,再利用不等式的性质(注意限制条件), 通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技 能,也是证明不等式时的一种常用方法 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 3已知a,b,cR,求证:a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 证明 由基本不等式可得 a4b4(a2)2(b2)22a2b2, 同理,b4c42b2c2, c4a42a2c2, (a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2, 从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 4已知a1,b0,1 a 3 b1,求证:a2b2 67. 证明 由1 a

12、3 b1,得b 3a a1(a1), 则a2ba 6a a1a 6a16 a1 a 6 a16(a1) 6 a17 2 67, 当a1 6 a1时,即a1 6时,取等号 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件,只有当a0,b0 时,才会有 abab 2 .对于“当且仅当时,成立”这句话 要从两个方面理解:一方面,当ab时,ab 2 ab;另一方面:当ab 2 ab时,也有ab. 2应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、 “拆”、“合”、“放缩”等变形,构造出符合基本不等式的条件结 构. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 29 当当

13、堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 1思考辨析 (1)对任意a,bR,a2b22ab,ab2 ab均成立( ) (2)若a0,则a1 a2 a 1 a2.( ) (3)若a0,b0,则ab ab 2 2.( ) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 提示 (1)任意a,bR,有a2b22ab成立,当a,b都为正数时, 不等式ab2 ab成立 (2)只有当a0时,根据基本不等式,才有不等式a1 a2 a 1 a2成 立 (3)因为 abab 2 ,所以ab ab 2 2. 答案 (1) (2) (3) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 2设ab0,则下列不等式中 一定成立的是( ) Aab0 B0a b1 C. abab C ab0,由基本不等式知 ab0,b0,证明:b 2 a a 2 b ab. 证明 a0,b0, b 2 a a2b,a 2 b b2a, b 2 a a 2 b ab. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 35 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !

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