1、第三章 函数的概念与性质 3.33.3 幂函数幂函数 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(重 点、易混点) 2结合幂函数yx，yx2，yx3，y1 x，yx 1 2的图 象，掌握它们的性质(重点、难点) 3能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点) 1.结合幂函数的图 象，培养直观想象 的数学素养 2借助幂函数的 性质，培养逻辑推 理的数学素养. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 3 自自 主主 预预 习习 探探 新新 知知 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 4 1幂函数的概念 一般地，函数 叫做幂函数，其中
2、是自变量， 是常数 2幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数yx，yx2，yx3，yx 1 2， yx 1的图象如图所示： yx x 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 5 3幂函数的性质 yx yx2 yx3 yx 1 2 yx 1 定义域 R R R 值域 R 0，) R 奇偶性 奇 偶 _ _ 单调性 增函数 x0，) 时， 函数 x(，0 时， 函数 函数 函数 x(0，) 时， 函数 x(，0) 时，减函数 0，) x|x0 0，) y|y0 奇 非奇非偶 奇 增 减 增 增 减 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 6 1下列函数中不是幂函数的是 ( ) Ay x Byx3
3、 Cy3x Dyx 1 C 只有y3x不符合幂函数y x的形式，故选C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 7 2已知f(x)(m1)xm 22是幂函 数，则m( ) A2 B1 C3 D0 D 由题意可知m11，即m 0，f(x)x2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 8 3已知幂函数f(x)x的图象过 点 2， 2 2 ，则f(4)_. 1 2 由f(2) 2 2 可知2 2 2 ，即 1 2， f(4)4 1 21 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 9 合合 作作 探探 究究 提提 素素 养养 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 10 【例1】 已知y(m22m2)xm 2
4、12n3是幂函数，求m，n的 值 幂函数的概念 解 由题意得 m22m21， m210， 2n30， 解得 m3， n3 2， 所以m3，n3 2. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 11 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx为常数的 形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：1指数为常数；2 底数为自变量；3系数为1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 12 1(1)在函数y 1 x2，y2x 2，yx2x，y1中，幂函数的个数为 ( ) A0 B1 C2 D3 (2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)3f(2)，则f 1 2 的值等于
5、_ 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 13 (1)B (2)1 3 (1)y 1 x2x 2，是幂函数； y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； yx2x是两项和的形式，不是幂函数； y1x0(x0)，可以看出，常函数y1的图象比幂函数yx0的图象 多了一个点(0,1)，所以常函数y1不是幂函数 (2)设f(x)x，f(4)3f(2)，432，解得log23，f 1 2 1 2 log231 3. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 14 【例2】 点( 2，2)与点 2，1 2 分别在幂函数f(x)，g(x)的图象 上，问当x为何值时，有： (1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)
6、；(3)f(x)g(x)； (2)当x1时，f(x)g(x)； (3)当x(0,1)时，f(x)cba Babcd Cdcab Dabdc 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 18 (2)函数yx 1 21的图象关于x轴对称的图象大致是( ) A B C D 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 19 (1)B (2)B (1)令a2，b1 2，c 1 3，d1，正好和题目所给 的形式相符合 在第一象限内，x1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增 大，所以abcd.故选B. (2)yx 1 2的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的， 函数yx 1 21的图象可看作由yx 1 2的
7、图象向下平移一个单位得到的(如选 项A中的图所示)，将yx 1 21的图象关于x轴对称后即为选项B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 20 探究问题 1幂函数yx在(0，)上的单调性与有什么关系？ 提示：当0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当0时，幂 函数yx在(0，)上单调递减 幂函数性质的综合应用 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 21 22.3 0.2和2.20.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小 关系如何？ 提示：2.3 0.2和2.20.2可以看作幂函数f(x)x0.2的两个函数值，因 为函数f(x)x 0.2在(0，)上单调递减，所以2.30.22.20.2.
8、栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 22 【例3】 比较下列各组中幂值的大小： (1)0.213,0.233；(2)1.2 1 2，0.9 1 2， 1.1. 思路点拨 构造幂函数，借助其单调性求解 解 (1)函数yx3是增函数，且0.210.23， 0.21310 9 1.1，且yx 1 2在0，)上单调递增， 1.2 1 2 10 9 1 21.11 2，即1.2 1 20.9 1 2 1.1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 23 把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系： (1) 2 5 0.5与 1 3 0.5； (2) 2 3 1与 3 5 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏
9、目导航 24 解 (1)因为幂函数yx0 .5在0，)上是单调递增的， 又2 5 1 3， 所以 2 5 0.5 1 3 0.5. (2)因为幂函数yx 1在(，0)上是单调递减的， 又2 3 3 5 1. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 25 比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若 底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是 “0”或“1”. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 26 1判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合yx(为 常数)的形式 2幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函 数yx(为常数)同五个函数(yx
10、，yx2，yx3，yx 1，yx1 2)图象与 性质的关系 3幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函 数的图象及性质处理幂值大小的比较问题. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 27 当当 堂堂 达达 标标 固固 双双 基基 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 28 1思考辨析 (1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)( ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象 限( ) (3)当幂指数取1,3，1 2时，幂函数yx 是增函 数( ) (4)当幂指数1时，幂函数yx在定义域上 是减函数( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 2
11、9 2幂函数的图象过点(2， 2)， 则该幂函数的解析式是( ) Ayx 1 Byx 1 2 Cyx2 Dyx3 B 设f(x)x，则2 2， 1 2，f(x)x 1 2. 选B. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 30 3函数 yx 5 4的图象是( ) A B C D C 函数 yx 5 4是非 奇非偶函数，故排除 A、B 选项又5 41，故选 C. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 31 4比较下列各组数的大小： (1)3 5 2与3.1 5 2； (2)4.1 2 5，3.8 2 3，(1.9) 3 5. 解 (1)因为函数yx 5 2在(0，)上为减函数， 又33.1 5 2. (2)4.1 2 51 2 51,03.8 2 31 2 31，而(1.9) 3 53.8 2 3( 1.9) 3 5. 栏目导航栏目导航 栏目导航栏目导航 32 课课 时时 分分 层层 作作 业业 点击右图进入点击右图进入 Thank you for watching !
